江西省赣抚吉十二校2026届高三第一次联考数学试卷（解析版）

这是一份江西省赣抚吉十二校2026届高三第一次联考数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在复平面内，(1-2i)(1+3i)对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】因为(1-2i)(1+3i)=1+i-6i2=7+i，则所求复数对应的点为(7,1)，位于第一象限.
故选：A.
2．已知集合A={-2,0,2,4,6},B=x∣y=lnx2-4x-5，则A∩∁RB=（ ）
A．{-2,0,2,4}B．{0,2,4}C．{-2,0,2}D．{-2,0,2,4,6}
【答案】B
【解析】B=x∣y=lnx2-4x-5=x∣x2-4x-5>0={x∣x5}，
则∁RB={x∣-1≤x≤5}，又因为A={-2,0,2,4,6}，
所以A∩∁RB={0,2,4}.
故选：B.
3．已知函数f(x)为偶函数，当x0，得x>1，
故f(x)=ex-1-x在(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以f20262025>f(1),f20242025>f(1)，
即e20262025-1-20262025>0,e20242025-1-20242025>0，
得e12025>20262025,e-12025>20242025，即1e12025>20242025，所以e12025e12025>20262025，即a>b>c.
故选：D.
二、多选题
9．一个三棱锥和一个三棱柱的所有棱长与一个表面积为S的正方体的棱长相等，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的表面积为36S
B．三棱柱的表面积为(3+3)S3
C．三棱锥、三棱柱、正方体的高之比为63:1:1
D．三棱锥、三棱柱、正方体的体积之比为212:34:1
【答案】ACD
【解析】对于A项，设正方体的棱长为a，则S=6a2，解得a=S6，
则三棱锥的表面积为4×12a2sin60°=3a2 =3×S6=36S，故A正确；
对于B项，三棱柱的表面积为2×12a2sin60°+3a2=32a2+3a2=(3+6)S12，故B错误；
对于C项，易知该三棱锥为正四面体，如图，
高h=AO=AD2-OD2=AD2-23DE2=a2-32a×232=63a，
则三棱锥、三棱柱、正方体的高之比为63a:a:a=63:1:1，故C正确；
对于D项，V三棱锥=13×12a2sin60°h =13⋅34a2⋅63a=212a3,
V三棱柱=12a2sin60°a=34a3, V正方体=a3，
所以三棱锥、三棱柱、正方体的体积之比为212a3:34a3:a3=212:34:1，故D正确.
故选：ACD.
10．对于任意的x,y∈R，函数f(x)满足f(x+1)-f(x-1)=f(2)+4x-6,f(-2)=6，则下列结论正确的是（ ）
A．f(0)=1B．f(2)=6
C．f(2026)-f(2024)=8100D．f(6)=36
【答案】BC
【解析】根据题意可知，函数f(x)满足f(x+1)-f(x-1)=f(2)+4x-6，
令x=1，得f(2)-f(0)=f(2)+4-6，解得f(0)=2，故A错误；
令x=-1，得f(0)-f(-2)=f(2)-4-6，即f(2)+f(-2)=f(0)+10，
因为f(0)=2,f(-2)=6，所以f(2)=6，故B正确；
因为f(2)=6，则f(x+1)-f(x-1)=4x，
令x=2025，则f(2026)-f(2024)=4×2025=8100，故C正确；
又f(6)=f(4)+4×5=f(4)+20,f(4)=f(2)+4×3=18，
则f(6)=18+20=38，故D错误.
故选：BC.
11．已知点C为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，以C为圆心，半径为5的圆C与抛物线E交于M,N两点，且∠MON=90°.在圆C的劣弧MN上有异于M,N的动点A，过点A作垂直于y轴的直线l与抛物线E相交于点B，与优弧MN相交于点D，则下列说法正确的是（ ）
A．p=2或p=10
B．sin∠MCN=2425
C．若l不经过原点O，则△ABC周长的取值范围是(10,12)
D．若l不经过原点O，记△ACD的面积为S，若S取12,252中的任何一个定值，则满足题意的点A一定有2个
【答案】BC
【解析】对于A项，因为∠MON=90°，所以∠MOC=∠NOC=45°，不妨设点M在第一象限，则xM=yM，
由抛物线的定义可得|MC|=xM+p2=5，所以xM=5-p2，又yM2=2pxM，所以5-p22=2p5-p2，
解得p=10（此时圆C与抛物线E只有1个交点，与题目条件矛盾，舍去）或p=2，故A错误；
对于B项，抛物线E的方程为y2=4x，所以C(1,0)，则圆C的方程为(x-1)2+y2=25，
由于圆C与抛物线E交于M，N两点，所以由抛物线定义可得|MC|=|NC|=xM+1=xN+1=5，即xM=xN=4，
则yM2=4xM=16,yN2=4xN=16,yM=4,yN=-4，所以M(4,4),N(4,-4).
sin∠MCx=45,cs∠MCx=35，则sin∠MCN=2sin∠MCx⋅cs∠MCx=2×45×35=2425，故B正确；
对于C项，由圆C的方程(x-1)2+y2=25，令y=0，得x=6或x=-4，由于劣弧MN上有异于M，N的动点A，
由图可得点A横坐标的取值范围是(4,6]，抛物线的准线方程为x=-1，设准线与直线l的交点为Q，如图所示：
由抛物线的定义可得|BC|=|BQ|，则△ABC周长为|AC|+|BC|+|AB|=5+|BQ|+|AB|=5+|AQ|=5+ xA+1=xA+6，
由于l不经过原点O，所以xA∈(4,6)，所以△ABC周长的取值范围是(10,12)，故C正确；
对于D项，S△ACD=12AC⋅CD⋅sin∠ACD=12×5×5×sin∠ACD=252sin∠ACD，当点A与点M重合时，
sin∠ACD2=cs∠MCx=35,cs∠ACD2=sin∠MCx=45，
所以sin∠ACD=2sin∠ACD2⋅cs∠ACD2=2×35× 45=2425，此时S△ACD=252sin∠ACD=12，
此时sin∠ACD2=cs∠MCx=35b'>0的离心率为e',C1与C2相似，且C1与C2的相似比为k:1，若△AF2B的面积为S，求△A'F1'F2'的面积（用e'，k，S表示）；
（3）若椭圆C3:x22+y2=1，写出与椭圆C3相似且长半轴长为a，焦点在x轴上的椭圆Ca的标准方程.若在椭圆Ca上存在两点M，N关于直线y=x2-3对称，求椭圆Ca的“焦顶三角形”的周长的取值范围.
（1）证明：若两个椭圆是“相似椭圆”，则“焦顶三角形”的三个对应角相等.
如图，以焦点为顶点的三角形内角必为钝角，故∠AF2B相等，则∠AF2O相等，
所以tan∠AF2O=|AO|F2O=bc相等，而bc=a2c2-1，所以ca相等，即离心率相等；
若离心率相等，则ca相等，则tan∠ABO=|AO||BO|=ba相等，则∠ABO相等；
同理，tan∠AF2O=|AO|F2O=bc相等，则∠AF2O相等，所以AF2B相等；
所以两个椭圆的“焦顶三角形”相似，所以两个椭圆是“相似椭圆”.
故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等.
（2）解：设椭圆C1的半焦距为c.
因为椭圆C2的离心率为e'，椭圆C2与椭圆C1相似，所以椭圆C1的离心率也为e'，
若△AF2B的面积为S，又△AF1F2的面积与△AF2B的面积之比为2c:(a-c)，
所以△AF1F2的面积为2cSa-c．
因为C1与C2的相似比为k:1，
所以△AF1F2的面积与△A'F1'F2'的面积的比为k2:1，
所以△A'F1'F2'的面积为2cS(a-c)k2=2caS1-cak2=2e'S1-e'k2．
（3）解：由离心率相等可知椭圆Ca的方程为x2a2+y2a22=1(a>0)，
如图，设直线MN的方程为y=-2x+t,Mx1,y1,Nx2,y2,MN的中点为x0,y0．
由y=-2x+t,x2+2y2=a2,消去y并整理得9x2-8tx+2t2-a2=0，
则Δ=64t2-362t2-a2>0，即a2>29t2,x0=x1+x22=49t,y0=t9，
由MN的中点在直线y=x2-3上，得t9=29t-3，解得t=27，
因此a2>162，而a>0，解得a>92，
椭圆Ca:x2a2+y2a22=1(a>0)中，短半轴长b=a22=22a，半焦距c=a2-b2=22a，
所以椭圆Ca的“焦顶三角形”的周长为a+a-c+a2+b2=a+a-22a+a2+22a2
=2a-22a+62a>2×92-22×92+62×92=182-9+93.
故椭圆Ca的“焦顶三角形”的周长的取值范围是(182-9+93,+∞)．