江西省赣抚吉高中联盟2026届高三上学期12月联考数学试卷含解析（word版）

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1. 在复平面内,复数 z 对应的点的坐标是 1,3 ,则 z⋅z= ( )
A. 2−23i B. -2i C. -4 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的几何意义得到 z=1+3i ,再利用共轭复数的概念和复数的乘法计算法则即可得到答案.
【详解】由题意得 z=1+3i ,则 z⋅z=1+3i1−3i=1+3=4 .
故选:D.
2. 设集合 A={x∣00,lg2b>0 ,
∴lg2a⋅lg2b=1⇒1≤lg2a+lg2b22⇒1≤lg2ab22 ,
即 lg2ab≥2,∴ab≥4 ,当且仅当 lg2a=lg2b ,即 a=b=2 时取等号.
故选: A.
5. 已知平面 α⊥ 平面 β,α∩β=l ,下列结论中正确的是 ( )
A. 若直线 m⊥ 平面 α,m//β ；
B. 若平面 γ⊥ 平面 α ,则 γ//β ;
C. 若平面 γ⊥ 直线 l ,则 γ⊥β ;
D. 若直线 m⊥ 直线 l ,则 m⊥β .
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意, 结合线面位置关系的判定与性质, 逐项分析判断, 即可求解.
【详解】由平面 α⊥ 平面 β ,且 α∩β=l ,
对于 A ,若 m⊥ 平面 α ,可得 m//β 或 m⊂β ,所以 A 不正确;
对于 B ,若平面 γ⊥ 平面 α ,则 γ//β 或 γ 与 β 相交或 γ 与 β 重合,所以 B 不正确;
对于 C ,若平面 γ⊥l ,且 l⊂β ,所以 γ⊥β ,所以 C 正确;
对于 D ,如图所示,直线 m⊥ 直线 l ,则可能 m 与 β 相交或 m//β 或 m⊂β ,所以 D 不正确.
故选: C.

6. 已知双曲线 x24−y2b2=1b>0 ,若直线 l:y=x−2 交双曲线右支于 A,B 两点,则双曲线的虚轴长的取值范围为( )
A. 0,2 B. 0,4 C. 1,2 D. 2,+∞
【答案】B
【解析】
【分析】联立双曲线与直线方程,根据根的判别式及韦达定理得到不等式,求出 b∈0,2 ,得到虚轴长的取值范围.
【详解】联立 x24−y2b2=1b>0 与 l:y=x−2 可得
b2−4x2+16x−16−4b2=0 ,设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,
需满足 b2−4≠0Δ=256+4b2−416+4b2>0x1+x2=−16b2−4>0x1x2=−16−4b2b2−4>0 ,
由于直线 l:y=x−2 恒过双曲线右顶点 0,2 ,故 x=2 是方程的一个根,
另一根为 x2 ,要使直线与右支有两个不同交点,需 x2>2 ,
由韦达定理知 2+x2=−16b2−4 ,可得 x2=−16b2−4−2 ,由 x2>2 得 −16b2−4−2>2 , 又 b>0 ,解得 b∈0,2 ,所以虚轴长 2b∈0,4 .
故选: B
7. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,an=3n−19⋅5n ，则使得 Sn 最小时的 n 是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根据数列的通项公式分析数列的性质, 即可确定结果.
【详解】根据题意,数列 an=3n−19⋅5n ,
当 n≤6 时,有 an0 .
则当 n=6 时， Sn 最小.
故选: C.
【点睛】
8. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 满足 sin2A+sin2B+sin2C=1 ，其面积 S=2 ，则 △ABC 的外接圆半径 R 为( )
A. 2 B. 22 C. 4 D. 42
【答案】A
【解析】
【分析】先用和、差角的正弦公式及二倍角公式化简得到 sinBsinAsinC=14 ,再利用三角形的面积公式结合正弦定理即可求得结果.
【详解】 sin2A+sin2C+sin2B=1
即 sinA+C+A−C+sinA+C−A−C+2sinBcsB=1
即 2sinA+CcsA−C+2sinBcsB=1
又 A+B+C=π ,故 sinA+C=sinB,csA+C=−csB
所以 2sinBcsA−C−2sinBcsA+C=1
所以 2sinBcsA−C−csA+C=1
4sinBsinAsinC=1,sinBsinAsinC=14
因为 S△ABC=12absinC=2 ,
又因为 a=2RsinA,b=2RsinB ,
12⋅2RsinA⋅2RsinB⋅sinC=2,
所以 R2sinAsinBsinC=1 ,
所以 R2=4 ,解得 R=2 .
故选: A.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符 合题目要求.全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知平面向量 a=1,3,b=−2,1 ，则( )
A. a=10
B. 2a−b⊥b
C. a 与 b 的夹角为锐角
D. a 在 b 上的投影向量为 −25,15
【答案】ACD
【解析】
【分析】A 利用向量的模的计算公式; B 利用数量积的运算律以及向量的坐标运算; C 利用公式 csa,b=a⋅ba⋅b;D 利用公式 a⋅bb2⋅b
【详解】因 a=1,3 ,则 a=12+32=10 ,故 A 正确;
因 a⋅b=1×−2+3×1=1,b=−22+12=5 ,
则 2a−b⋅b=2a⋅b−b2=2−5≠0 ,故 B 错误;
csa,b=a⋅ba⋅b=110×5=210>0 ,故 C 正确;
a 在 b 上的投影向量为 a⋅bb2⋅b=15b=−25,15 ,故 D 正确.
故选: ACD
10. 下列有关说法正确的是( )
A. 数据11,13,5,6,8,1,3,9的下四分位数是 3
B. 若随机变量 X 服从正态分布 Nμ,4 ，则不论 μ 取何值， Pμ−4