江西省赣抚吉十二校2026届高三上学期第一次联考 数学试卷（含答案）

这是一份江西省赣抚吉十二校2026届高三上学期第一次联考 数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 在复平面内，对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【详解】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
或，则，又因为，
所以.
故选：B.
3. 已知函数为偶函数，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为函数为偶函数，所以，当时，，
则.
故选：D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为，所以，即，
所以.
故选：D.
5. 已知椭圆的方程为，且离心率与双曲线的离心率互为倒数，则下列椭圆方程不满足上述条件的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为双曲线的离心率为，
所以椭圆的离心率为，
椭圆的方程为，
则该椭圆的长、短半轴长分别为，
离心率，解得，
对于A，，符合；
对于B，，不符合；
对于C，，符合；
对于D，，符合.
故选：B.
6. 儿童牙齿是否健康与早晚是否都刷牙有关.据调查，某幼儿园大约有的学生牙齿健康，大约有的学生早晚都刷牙，且其中早晚都刷牙的学生中约有的学生牙齿健康.现从不是早晚都刷牙的学生中任意调查一名学生，则他的牙齿健康的概率约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】不是早晚都刷牙且牙齿健康的学生占.
记“该学生不是早晚都刷牙”为事件A，“该学生牙齿健康”为事件B，
则，所以.
故选；A.
7. 若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知正项数列是“对数2底数列”且，则当且时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为正项数列是“对数2底数列”，所以，所以，
所以且，
以上式子相乘得，所以，
所以，得，
即，得，因为，所以；
同理，，所以，所以，
所以.故.
故选：C.
8. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】令，则，令，得；
令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即，
得，即，所以，
所以，即.
故选：D.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 一个三棱锥和一个三棱柱的所有棱长与一个表面积为的正方体的棱长相等，则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥的表面积为
B. 三棱柱的表面积为
C. 三棱锥、三棱柱、正方体的高之比为
D. 三棱锥、三棱柱、正方体的体积之比为
【答案】ACD
【详解】对于A项，设正方体的棱长为，则，解得，
则三棱锥的表面积为，故A正确；
对于B项，三棱柱的表面积为，故B错误；
对于C项，易知该三棱锥为正四面体，如图，
高，

则三棱锥、三棱柱、正方体的高之比为，故C正确；
对于D项，
，
所以三棱锥、三棱柱、正方体的体积之比为，故D正确.
故选：ACD.
10. 对于任意的，函数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【详解】根据题意可知，函数满足，
令，得，解得，故A错误；
令，得，即，
因为，所以，故B正确；
因为，则，
令，则，故C正确；
又，
则，故D错误.
故选：BC.
11. 已知点为抛物线的焦点，为坐标原点，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，且.在圆的劣弧上有异于的动点，过点作垂直于轴的直线与抛物线相交于点，与优弧相交于点，则下列说法正确的是（ ）
A. 或
B.
C. 若不经过原点，则周长取值范围是
D. 若不经过原点，记的面积为，若取中的任何一个定值，则满足题意的点一定有2个
【答案】BC
【详解】对于A项，因为，所以，不妨设点在第一象限，则，
由抛物线的定义可得，所以，又，所以，
解得（此时圆与抛物线只有1个交点，与题目条件矛盾，舍去）或，故A错误；
对于B项，抛物线的方程为，所以，则圆的方程为，
由于圆与抛物线交于M，N两点，所以由抛物线定义可得，即，
则，所以.
，则，故B正确；
对于C项，由圆的方程，令，得或，由于劣弧上有异于M，N的动点，
由图可得点横坐标的取值范围是，抛物线的准线方程为，设准线与直线的交点为，如图所示：
由抛物线的定义可得，则周长为，
由于不经过原点，所以，所以周长的取值范围是，故C正确；
对于D项，，当点与点重合时，
，
所以，此时，
此时，则，所以，
因为，所以，所以，如下图，
当点与点重合，即的位置时，；
当点在的位置时，；
当点在的位置时，；
因此，在轴的上方，若取中的任何一个定值，在劣弧上，都有与等距离的两点满足题意；
根据对称性，在轴的下方，满足题意的点也同样有2个.
所以满足题意的点一定有4个.故D错误.
故选：BC.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知向量满足，则______.
【答案】
【详解】因为，解得，
则，所以.
故答案为：
13. 直线与圆相交于A，B两点，且（为坐标原点），则_____________.
【答案】
【详解】由，得，
知点到直线的距离为，
所以，得.
故答案为：.
14. 定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得；②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为_____________.
【答案】
【详解】当时，说明与一个取最小值，一个取最大值，
而要想在一个闭区间内能同时取得最小值和最大值，闭区间最少要为半个周期，
因此，若闭区间的长度小于半个周期，则一定不能同时取得最小值和最大值，所以，解得，
所以.不妨设，如图所示：

依次讨论对应为点C，A，D，E四种情况，且，
若对应为点（或点之后），则，即，不合题意；
若求的最大值，即的最小值，即与之间相位跨度最大，
若对应为点，则直线为图象的对称轴，
又是函数图象的一个对称中心，且，
则，解得，则.
所以取值的最大值为.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知数列首项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
数列的首项，可得，
而，故，故，
即数列是首项和公比均为3的等比数列，可得，即.
【小问2详解】
若恒成立，即为，即恒成立，
设，可得，.
即数列是单调递减数列，可得，
所以，即实数的取值范围是
16. 某平台为了研究用户日均观看短视频的时长，随机抽取了200名用户进行调查，得到数据如下表：
（1）估计这200名用户日均观看时长的第70百分位数；
（2）若平台规定“日均观看时长不少于30分钟的用户为潜在高粘性用户”，现从样本中有放回地抽取次，每次抽取1人，记抽到潜在高粘性用户的人数为.
（i）当时，求的分布列和数学期望；
（ii）若平台希望至少抽到1名潜在高粘性用户的概率不低于，至少需抽取多少次？（参考数据：）
【答案】（1）
（2）（i）分布列见解析，；（ii）11次
【小问1详解】
将数据按时长升序排列，第70百分位数位置为，
前两组累计频数，前3组累计频数，
故第70百分位数落在区间，
则第70百分位数约为；
小问2详解】
（i）潜在高粘性用户的频率为，.
易得的可能取值有0，1，2，3，
则，
，.
故的分布列为
；
（ii）设至少需抽取次，则，即，.
即，
故至少需抽取11次.
17. 如图，在三棱锥中，点分别是底边的中点，平面和平面相交于直线.

（1）求证：平面；
（2）若平面平面是直线上的一点，，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）或
【小问1详解】
证明：因为点分别是底边的中点，所以，.
因为平面平面PAB，所以平面，
因为平面和平面的交线为，平面，
所以，
因为平面平面ABC，
所以平面.
【小问2详解】
因为，点为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又.
所以以为原点，分别以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，所以，又，
则，
由（1）可知，因为，
若，又，所以，所以
若，又，所以，所以
因为，设平面PBC的法向量为，
则，不妨取，解得，
设直线与平面所成角为，
当点的坐标为时，.
则；.
当点的坐标为时，，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为或.
18. 已知函数.
（1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，记函数的最大值为，证明：.（参考数据：）
【答案】（1）（或）
（2）证明见解析
【小问1详解】
由，得，
令，则，
设，，
则，因为，所以.
所以在单调递增，
所以.
所以时，，可知，
所以在上单调递减，
所以，
故（或）.
【小问2详解】
由可知，的定义域为，
设，
，所以在上单调递减，
，
存在，使得，即，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以在处取得唯一的极大值，也是最大值，.
所以，
令，
则在区间上单调递增，
故，
所以.
19. 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在短轴同侧）及短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”.如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.
（1）求证：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；
（2）如图，已知椭圆，椭圆的离心率为与相似，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，k，S表示）；

（3）若椭圆，写出与椭圆相似且长半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【小问1详解】
若两个椭圆是“相似椭圆”，则“焦顶三角形”的三个对应角相等.
如图，以焦点为顶点的三角形内角必为钝角，故相等，则相等，

所以相等，而，所以相等，即离心率相等；
若离心率相等，则相等，则相等，则相等；
同理，相等，则相等，所以相等；
所以两个椭圆的“焦顶三角形”相似，所以两个椭圆是“相似椭圆”.
故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等.
【小问2详解】
设椭圆的半焦距为.
因为椭圆的离心率为，椭圆与椭圆相似，所以椭圆的离心率也为，
若的面积为，又的面积与的面积之比为，
所以的面积为．
因为与的相似比为，
所以的面积与的面积的比为，
所以的面积为．
【小问3详解】
由离心率相等可知椭圆的方程为，
如图，设直线MN方程为的中点为．

由消去并整理得，
则，即，
由MN的中点在直线上，得，解得，
因此，而，解得，
椭圆中，短半轴长，半焦距，
所以椭圆的“焦顶三角形”的周长为
故椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围是．日均时长（分钟）
[40，50]
频数
30
50
80
30
10
0
1
2
3