湖南省2024年初中学业水平考试联考（一）数学试卷（解析版）

这是一份湖南省2024年初中学业水平考试联考（一）数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列实数-1，0，2，-3，其中最小的是（ ）
A．-1B．0C．2D．-3
【答案】D
【解析】由题意知，-1=1，-3=3，
∵11．
23．如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，△ABC是等边三角形，AE是⊙O的切线，D是AC的中点，CD的延长线交AE于点E．
(1)求证：AE∥BC；
(2)若DE=2，求△ADE的面积．
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°．
连接OA,OC，
∵AC=AC
则∠AOC=2∠B=120°．
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=180°-120°÷2=30°
∵AE是⊙O的切线，
∴∠OAE=90°．
∴∠EAC=∠OAE-∠OAC=90°-30°=60°．
∴∠EAC=∠ACB．
∴AE∥BC．
(2)解：∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠B=60°．
∴∠ADC=180°-60°=120°
∵D是AC的中点，
∴AD=DC
∴∠DAC=∠DCA=30°．
∵∠EAC=60°
∴∠EAD=30°,∠E=90°
∴△AED为直角三角形．
∴AD=2DE=4．
∴AE=AD2-DE2=23．
∴△ADE的面积为12⋅AE⋅DE=12×23×2=23．
24．在人们高度关注我国神舟十七号载人飞船成功发射的时候，某商家看准商机，推出了“神舟”和“天宫”两种航天模型进行销售．已知每个天宫模型的成本比神舟模型低4元，商家购进10个天宫模型和8个神舟模型共花费320元．
(1)每个神舟模型和天宫模型的成本分别是多少元？
(2)该商家计划购进两种模型共100个，每个神舟模型的售价为34元，每个天宫模型的售价为26元．设其中购进的神舟模型为a个，销售这批模型所得利润为w元．
①求w与a之间的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，则购进神舟模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
解：（1）设每个神舟模型的成本为x元，每个天宫模型的成本为y元．
依题意，得x-y=48x+10y=320解得x=20y=16
答：每个神舟模型的成本为20元，每个天宫模型的成本为16元．
（2）①∵购进的神舟模型为a个，则购进的天宫模型为100-a个．
∴w=34-20a+26-16100-a，
即w=4a+1000．
②∵购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，
∴a≤12100-a，解得a≤1003．
∵w=4a+1000,w随a的增大而增大，a为整数，
∴当a=33时，w最大=4×33+1000=1132（元）．
答：购进神舟模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润为1132元．
25．已知抛物线y=x2-4x的顶点为A，M，N是抛物线上的两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+2（m为常数，且m>0），将抛物线y=x2-4x向上平移3个单位得到抛物线y1，抛物线y1与y轴交于点C，与x轴交于B，D两点（点B在点D的左侧）．
(1)求顶点A的坐标；
(2)连接MN，若MN∥x轴，求m的值；
(3)如图，在直线CD上方的抛物线y1上是否存在点P，使得∠PCD=∠OCB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵y=x2-4x=x-22-4，
∴顶点A的坐标为2,-4．
（2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线x=2．
∵MN∥x轴，
∴点M,N关于对称轴对称，
又∵m>0，∴m+m+22=2，
解得m=1．
（3）存在点P，使得∠PCD=∠OCB．
过点D作DG⊥DC，与直线CP交于点G，过点G作GE⊥x轴于点E．
∵点P在直线CD的上方，
∴点G在x轴上方，如图所示．
∵抛物线y=x2-4x向上平移3个单位得到抛物线y1，
∴y1=x2-4x+3，
当x=0时，y1=3，
∴C0,3，
当y1=0时，0=x2-4x+3，
解得：x1=1,x2=3，
∴D3,0,B1,0,
∴OD=OC=3,OB=1,DC=32，
则∠ODC=∠OCD=45°．
∴∠GDE=45°,△GDE是等腰直角三角形．
∴EG=ED．
∵∠CDG=∠COB=90°,∠PCD=∠OCB，
∴△GCD∽△BCO．
∴DCOC=DGOB，即323=DG1，
∴DG=2．
∴EG=ED=DG⋅cs45°=1，
∴G4,1，
设直线CG的解析式为y=kx+3，
由点G4,1，可得k=-12．
∴直线CG的解析式为y=-12x+3．
令-12x+3=x2-4x+3，
解得x=0（舍去）或x=72．
∴点N的坐标为72,54．
26．已知直角三角板ACB中，∠ACB=90°,CB=CA，将该三角板绕点C旋转α(0°