陕西省汉中市普通高中十校联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份陕西省汉中市普通高中十校联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线，则直线在轴上的截距为（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】C
【解析】令直线中，则.
故选：C.
2. 若向量是直线的一个方向向量，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由直线的一个方向向量为，则斜率，
故选：B.
3. 直线被圆：截得的弦长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，圆心到直线的距离为，
所以，所截弦长为.
故选：D.
4. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 相离B. 相切C. 相交D. 内含
【答案】C
【解析】圆化为标准方程得，圆心为，半径为，
圆化为标准方程得，圆心为，半径为，
因为，，
所以两圆相交.故选：C.
5. 已知椭圆的两焦点分别为，，直线过交椭圆于M，N两点，则的周长为（ ）
A. B. 8C. 12D. 16
【答案】B
【解析】由题知，，
由椭圆定义可知，的周长.
故选：B.

6. 双曲线上一点到该双曲线的一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离是（ ）
A. B. C. ，D. ，
【答案】A
【解析】由已知双曲线，可知，，
设双曲线的两焦点分别为，，
不妨设，则,
解得或，
又双曲线上的点到焦点的距离，所以，
故选：A.
7. 若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，点在椭圆内，
所以，解得或.
故选：D.
8. 在平面内作直线，使得点、点到直线的距离分别为1和2，则这样的直线有（ ）条
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】易知，当直线的斜率不存在时不满足题意；
过点作垂直于直线，垂直分别，
则，所以，所以，
又，所以直线过原点，
设直线方程为，即，
由题知，，解得或或，
所以满足条件的直线有4条.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（3个正确选项的每选对1个得2分；2个正确选项的选对1个得3分）．
9. 已知椭圆的长轴的端点是双曲线的焦点，且椭圆的焦点在双曲线上，则（ ）
A. 椭圆的一个焦点坐标是B. 椭圆的长轴长为2
C. 椭圆的离心率是D. 椭圆的离心率是
【答案】AD
【解析】双曲线焦点为，
所以椭圆的长半轴，
又因为椭圆的焦点在双曲线上，所以椭圆的焦点为双曲线的顶点，
则，，
对于A，椭圆的焦点坐标是，，故A正确；
对于B，椭圆的长轴长为，故 B错误；
对于CD，椭圆的离心率是，故C错误，D正确；
故选：AD.
10. 抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A. l与相切
B. 当P，A，B三点共线时，
C. 当时，
D. 满足的点有且仅有2个
【答案】ABD
【解析】A选项，抛物线的准线为，
的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和相切，A选项正确；
B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，
由，得到，故，
此时切线长，B选项正确；
C选项，当时，，此时，故或，
当时，，，，
不满足；
当时，，，，
不满足；
于是不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，，这里，
于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，
，中点，中垂线的斜率为，
于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，
，即的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点，使得，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，
则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.
故选：ABD.
11. 某数学兴趣小组的同学在探究“双”函数的图象和性质时，发现该函数的图象是双曲线，且存在实数，使得对恒成立．据此，下面的结论成立的是（ ）
A. 实数的最大值为B. 该双曲线的离心率为
C. 该双曲线的一个顶点是D. 该双曲线的焦距为
【答案】ABD
【解析】由，恒成立，
即，则，
又当时，，所以，A选项正确；
双曲线的一条渐近线为，倾斜角为，
另一条渐近线为，
则两条渐近线的夹角为，
设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，则，
则双曲线离心率，B选项正确；
双曲线实轴所在直线为两条渐近线夹角的角分线，即倾斜角，即，
联立，解得，或，
所以双曲线的顶点为，，C选项错误；
则，即，
则，即焦距为，D选项正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 抛物线的焦点坐标是______.
【答案】
【解析】因为抛物线方程，焦点坐标为，且，
所以焦点坐标为.
13. 设，是椭圆的两焦点，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么______．
【答案】
【解析】如图，因为线段的中点在轴上，所以，
由椭圆可知，，
所以令，可得，所以，
由椭圆定义可知：，所以，所以.

14. 设，分别是双曲线的左、右焦点，点是的右支上的一点，且，则______．
【答案】
【解析】由双曲线的方程为：，
由双曲线的定义可得：，所以，①
又因为，
所以，即，②
将①代入②可得：，
则，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直线．
（1）求经过点，且垂直于直线的直线的方程；
（2）求与直线平行，且到直线的距离为的直线的方程．
解：（1）由题知，直线的斜率为，所以，所求直线的斜率为，
又直线过点，由点斜式方程得所求直线方程为，
整理得．
（2）设所求直线方程为：，
则，，或，
或为所求．
16. 已知圆的圆心为，且圆经过直线与的交点．
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点且与圆相切的直线的方程．
解：（1）由得，
记，圆的半径，
圆的标准方程为：．
（2）易知，当直线斜率不存在时，直线与圆相切，方程为；
当直线斜率不存在时，设直线方程为，
即，
圆心到直线的距离，
解得，
为所求．
综上所述，所求切线方程：或．
17. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线过点，且其离心率为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与双曲线有且只有一个公共点，求实数的值．
解：（1）由题意知双曲线的焦点在轴上，且其实半轴长为2，
设双曲线的标准方程为则，
由得，
双曲线的标准方程．
（2）由得（※），
当，即：时，方程（※）有且只有一解，合题意；
当时，由，
得，方程（※）有且只有一解，也合题意；
综上所述：实数的值为：，．
18. 已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点．
（1）若，求实数的值；
（2）设直线，分别过点A，B，且均与相切，记直线，的斜率分别为，．
①过点作的垂线AM，点为直线AM与轴的交点，证明：；
②求的值．
解：（1）由得，
显然，，
设，，则，，
，，，．
（2）设，
由得，
由得，

又，，；
①设直线AM的方程为：，
取，得，则，
而，．
②同理可得，，
而，．
19. 已知焦点在轴上的椭圆满足：短轴长为2，过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆的左、右焦点分别为、，过作不与坐标轴垂直的直线l，l交于A，B两点，点关于轴的对称点记为．
①证明：直线恒过轴上的一定点，并求出该定点的坐标；
②求面积的最大值．
解：（1）焦点在轴上的椭圆短轴长为2，可设椭圆的标准方程为：，
椭圆过点，则，得，
椭圆的标准方程为：；
（2）椭圆的标准方程为：，则，，
设直线，，
由得，．
设，，则，，，
．
①解法一：
，
，
直线恒过定点；
①解法二：
，
取，得
．
直线恒过定点；
②由①知直线恒过定点，故设直线的方程为：，
由得，
，，
设，，则，，
，
设，则，，
当且仅当，即时，的面积取得最大值．