山西省运城市2024-2025学年高二上学期11月期中测评数学试卷（解析版）

这是一份山西省运城市2024-2025学年高二上学期11月期中测评数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】依题意，，则．
故选：C.
2. 抛物线焦点到准线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由抛物线的标准方程为，有，得，
所以抛物线的焦点到准线的距离为.故选：B.
3. 记水的质量为，则当，时，水的质量为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】当时，水的质量为.故选：D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】由，得，则，
所以.
故选：A.
5. 若双曲线的离心率为2，则双曲线上任意一点Q到两焦点，的距离之差的绝对值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由双曲线的离心率为2，可得，
解得，所以，又由双曲线的定义，
可得双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为.
故选：B.
6. 已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】显然直线l不垂直于，设直线l的方程为，
由消去得，，由弦的中点为，
得，此时方程有两个不等实根，
所以直线的方程为，即.
故选：D.
7. 如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，，
，
可得，
所以，
所以，可得．
故选：C.
8. 已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，：的圆心，半径为2，
圆心到直线的距离为，即直线与相离，
则当PA，PB分别为圆的切线，且最小时，最大，
又，则最大，即最大，此时最小，
而，则，
所以的最小值为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知圆与圆内切，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
因为圆与圆内切，所以，即，解得或.
故选：BD.
10. 如图，在正三棱柱中，P为空间内一动点，若，则（ ）
A. 若，则点P的轨迹为线段
B. 若，则点P的轨迹为线段
C. 存在，，使得平面
D. 存在，，使得平面
【答案】AB
【解析】在正三棱柱中，由，得点在侧面内（含边界），
对于A， 由，得，点的轨迹为线段，A正确；
对于B，由，得，则，
即，又，因此点的轨迹为线段，B正确；
对于C，，，则与不垂直，
即直线与直线不垂直，从而不存在，使得平面，C错误；
对于D，平面的法向量为，由选项C知，与不垂直，
因此不存在，使得平面，D错误.
故选：AB.
11. 已知椭圆（ 且a为常数）的左、右两个焦点分别为和，动直线l经过椭圆的左焦点与椭圆交于A，B两点，且的最大值为7，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 椭圆C的离心率
C.
D. 若，则
【答案】BC
【解析】如图所示：易知，由椭圆的定义可知，
因为的最大值为7，所以AB的最小值为，
当轴，即AB为通径时，AB最小，所以，有，
解得，故A错误；
可得椭圆方程为，易知，所以离心率，
故B正确；
当AB为长轴时，AB最大，此时，所以，故C正确；
因为，可设直线的方程为，
联立，整理可得，
因此；
若，可得，即，
所以；有，
整理得，解得．
由
，
故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为______．
【答案】
【解析】由余弦定理可得，即，
解得或（舍去），
所以.
13. 如图，在正四面体中，，D为中点，则的值是______．
【答案】
【解析】
.
14. 已知抛物线的焦点为，则抛物线的准线方程为______；抛物线的焦点为，若直线分别与，交于，两点，且，则______．
【答案】x=-1
【解析】由抛物线，可得，抛物线准线方程为.
设，
则，
故，所以，
所以，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 在平面直角坐标系中，直线与的交点是圆C的圆心，直线与圆C相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点的直线l与圆C有且只有一个公共点，求直线l的方程．
解：（1）联立方程，解得
所以圆的圆心的坐标为，
又由圆与直线相切，可得圆的半径为，
可得圆的标准方程为；
（2）由直线与圆有且只有一个公共点，可得直线与圆相切，
①若直线斜率不存在，此时直线方程为：，与圆相切，合题意；
②当直线斜率存在时，设，即，
根据圆心到切线距离等于半径可得，得，
所以此时直线方程为，
综上，直线的方程为或．
16. 如图，在正三棱柱中，，，点D为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值．
（1）证明：在正三棱柱中，连接与交于点，连接DE，
由四边形是矩形，得点是的中点，又点是AC的中点，
则，又平面平面，
所以平面.
（2）解：取的中点，连接DF，在等边中，点为AC的中点，则，
以点为原点，直线DB，DC，DF分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．
则
，
设平面的法向量为，则，
令，得，
而，则，
所以直线AB与平面所成角的正弦值为.
17. 已知椭圆的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求椭圆C上的任意一点到直线的距离的最值．
解：（1）由椭圆的离心率为，得，
解得，
则椭圆的方程为：，
又椭圆经过点，
于是，解得，得，所以椭圆C的方程为.
（2）由（1）设点为椭圆上任意一点，
点到直线的距离为（其中锐角由确定），
则当时，，
当时，，
所以椭圆上的点到直线的距离的最小值为，最大值为.
18. 如图，已知正四棱台的上，下底面分别是边长为2和4的正方形，，点P是棱上的动点（包括端点）．
（1）证明：平面平面；
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求点P到平面的距离．
（1）证明：以下底面正方形的中心为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
由于，上、下底面分别是边长为2和4的正方形，可求出四棱台的高为，
则，
于是，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
设平面的法向量为m=x1,y1,z1，
则，取，可得，
由于，则平面的法向量与平面法向量垂直，则平面平面.
（2）解：设，且，
则，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，
设平面与平面的夹角为，
则，
化简即（，解出，
因此，
则点到平面的距离为.
19. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，虚轴长为2.
（1）求双曲线C的方程；
（2）直线与双曲线C的左支交于A，B两点，点D与点A关于x轴对称.
(i)求m的取值范围；
(ii)求证：直线过定点.
（1）解：由已知得解得，，
所以双曲线的方程为；
（2）(i)解：设，，则，联立，
消去得，
则，，，
可得.
所以的取值范围为：；
(ii)证明：由(i)得，，
由对称性可知BD过的定点在轴上，设定点的坐标为，
由，，
所以
，
可得，
所以直线BD过定点.