浙江省杭州市浙里特色联盟2024-2025学年高二上学期11月期中数学试卷（解析版）

这是一份浙江省杭州市浙里特色联盟2024-2025学年高二上学期11月期中数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
选择题部分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）
1. 复数（为虚数单位）的虚部是（ ）
A. 1B.
C. 2024D.
【答案】B
【解析】由复数的概念可得的虚部是.
故选：B.
2. 已知圆的标准方程为，则圆心坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为圆标准方程为，所以圆心坐标为.
故选：B.
3. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】若直线与垂直，则其斜率为，
又该直线过，根据点斜式有，整理得.
故选：C.
4. 已知，且，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】由题意可得，即，解得.
故选：C.
5. 在四面体中，，点在上，且为的点，且，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】易知
，
即.
故选：D.
6. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，且的周长为12.则的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设椭圆的长半轴长与短半轴长分别为，
结合题意可知椭圆方程为：，
由条件得，
又的周长为，
所以，即椭圆方程为：.
故选：A.
7. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将圆化为标准方程为，
所以圆心为，半径为1，
根据题意及图形可知切线的斜率存在，
设切线的方程为，即，
则有，整理可得，
则，
设两切线斜率分别为、，
则、为关于的方程的两根，
由韦达定理可得，，
所以，
所以，
由题意可知，所以，
由，解得．
故选：D．
8. 已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最小值为（ ）
A. －5B. －4C. －3D. －2
【答案】B
【解析】在椭圆中，，，则，则，则椭圆的左焦点为，圆的圆心为，半径为1，
由椭圆的定义可得，
所以，
再由圆外的点到圆上动点的最小值为到圆心的距离减去半径，
所以有，
利用当且仅当、、三点共线且在线段上时，取最小值，
所以有
故的最小值为－4.
故选：B．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分.）
9. 已知分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 椭圆的离心率为
C. 直线被椭圆截得的弦长为
D. 若，则的面积为4
【答案】BCD
【解析】因为椭圆方程为：，
则其长轴长、短轴长、焦距分别为，
所以，即A错误；B正确；
当时，与联立得，
即直线被椭圆截得的弦长为，故C正确；
若，则，
即，
则的面积为，故D正确.
故选：BCD.
10. 在棱长为的正方体中，点、分别在线段和上（含端点），则下列命题正确的是（ ）
A. 长的最小值为
B. 三棱锥的体积为定值
C. 有且仅有一条直线与垂直
D. 当点、为线段中点时，则为等腰三角形
【答案】ABD
【解析】对于A，由点所在线段分别在两个平行平面、上，且为异面直线，
其间距最小值为异面直线的距离，即两个平面间的距离，即长的最小值为，A对；
对于B，由，其中表示到平面的距离，显然为定值，
而的中，底与边上的高均为定值，由此可知面积为定值，
综合上述，四面体的体积为定值，B对；
对于C，点在平面上的射影的轨迹为线段，
平面，平面，
所以，则的一个充要条件，
当射影位于线段上的任意位置时，过作的垂线，所得垂足记为，
则，
根据以上垂直关系可知，，、平面，
所以平面，平面，
从而.于是这样的直线不唯一，C错；

对于D，以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
当、分别为、的中点时，则、、，
所以，，同理可得，，
此时，为等腰三角形，D对.
故选：ABD.
11. 已知直线，下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 直线与直线垂直，则
C. 当点到直线的距离取到最大时，此时
D. 直线与圆所截得的最短弦长为1
【答案】BC
【解析】对于A，
由，
令，即直线恒过定点，故A错误；
对于B，若直线与直线垂直，
则有，所以，故B正确；
对于C，易知点到直线的距离
，即，
解之得，故C正确；
对于D，，
即该圆圆心为，半径为，
则到的距离为，
所以直线与圆所截得的弦长为，
即越大，弦长越小，则弦长最小为，故D错误.
故选：BC.
非选择题部分
三、填空题（本大题共3小题，每个空5分，共15分.）
12. 直线的倾斜角大小为______.
【答案】
【解析】由直线可知其斜率为，
所以其倾斜角满足，所以.
13. 已知空间向量且与互相平行，则实数的值______.
【答案】2
【解析】由条件可知，
因为与互相平行，所以，
解之得.
14. 已知右焦点为的椭圆上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点，且，则的离心率是______.
【答案】
【解析】设椭圆的左焦点为，连接，

因为点平分，所以四边形为平行四边形，
又因，所以四边形为矩形，
设，则，
在直角中，，所以，
整理可得，所以，
在直角中，，所以，
所以，所以.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知 ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线BC的方程．
解：（1）设，
∵AB边上的中线CM所在直线方程为，
AC边上的高BH所在直线方程为．
∴，解得．∴．
（2）设，则，解得．
∴．∴．
∴直线BC的方程为，即为．
16. 在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值.
解：（1）易知和的中点，，
则的中垂线方程为，
联立方程，即圆心坐标为，
易知，所以圆的标准方程为；
（2）易知圆心C到直线的距离为，
又直线被圆截得弦长为，
所以，解之得或.
17. 如图，正四棱柱中，设，点线段上，且.

（1）求三棱锥的体积；
（2）直线与平面PBD所成角的正弦值.
解：（1）根据题意可知，
所以，；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，

易知，
所以，
设平面的一个法向量，则，
取，即，
设直线与平面PBD所成角为，
则.
18. 已知O为坐标原点，椭圆C：过点，且离心率为，斜率为的直线交椭圆于P，Q两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）记以为直径的圆的面积分别为的面积为S，求的最大值.
解：（1）由题意可知，
解之得，即椭圆方程为；
（2）设，直线方程，
与椭圆方程联立得，
所以，即有，
易知，同理，
则，
由上知，即，
而，
O到直线的距离，即，
显然时，取得最大值1，即的最大值为.
19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）.
（1）若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离；
（2）若点，求的最大值；
（3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由.
解：（1）根据题意可知，，
则，
所以；
（2）设，因为，则有，
即的轨迹，
作出的轨迹图形如图所示，
若要最大，只需最小，由图象可知当时，最大，
根据余弦函数的单调性可知此时最小，
则的最大值为；
（3）易知，
设，则，
若，则，符合题意；
若，则，
根据分段函数的性质可知，
又恒成立，
当且仅当时取得等号.
综上：或.