浙江省杭州市钱塘联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省杭州市钱塘联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某学校有男生700名、女学生400名.为了解男女学生在学习立体几何的空间想象能力方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）
A. 抽签法B. 随机数法
C. 系统抽样法D. 分层抽样法
【答案】D
【解析】由于男女生两个不同的群体在空间想象能力方面有差异，最适合采用的是分层抽样法，故选：D
2. 若，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，若共面，则存在，
使，则，无解，故不共面，故A错误；
对于B，若共面，则存在，，
则，无解，故不共面，故B错误；
对于C，若共面，则存在，使，
则，无解，故不共面，故C错误；
对于D，若共面，则存在，使，
则，解得，故共面，故D正确.
故选：D.
3. 在空间直角坐标系中，已知点下列叙述中正确的是（ ）
①点关于轴的对称点是
②点关于平面的对称点是
③点关于轴的对称点是
④点关于原点的对称点是
A. ①②B. ①③C. ②④D. ②③
【答案】C
【解析】点关于轴的对称点的坐标是，，，故①错误；
点关于平面的对称点的坐标是，，，则②正确；
点关于轴的对称点的坐标是，，，则③错误；
点关于原点的对称点的坐标是，，，故④正确，
故正确的命题的序号是②④，
故选：C.
4. 已知数据，，，满足：，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（ ）
A. 中位数不变
B. 平均数不变
C. 若，则数据，，的第80百分位数为15
D. 方差变小
【答案】C
【解析】由，可得是以为首项，2为公差的等差数列的前10项，
原来的中位数与现在的中位数均为，故中位数不变，故A正确；
原来的平均数为，去掉后的平均数为，所以平均数不变，故B正确；
当时，数据按从小到大顺序排列：.
因为，所以该组数据的第80百分位数是，故C错误；
原来的方差为，
去掉后的方差为，方差变小，故D正确.
故选：C.
5. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则（ ）
A. α∥β且∥αB. α⊥β且⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于D. α与β相交，且交线平行于
【答案】D
【解析】由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．
6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由椭圆焦距为，故，故直线经过点，
若点在轴上方，有，即，
又，则，此时，不符，故舍去；
若点在轴下方，有，即，
又，则，则，
故.
故选：C.
7. 已知，，为球的球面上的三个点，圆为以为直径的的外接圆，若圆的面积为，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，是外接圆的直径，所以，根据球的截面性质：平面，

，
球的表面积.
故选：A
8. 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题意得，半径，
设点坐标，易知直线，恒过点，
直线恒过，且，
则，即，点轨迹，
圆心为，半径为，但是去掉点，
若点为弦的中点，位置关系如图：
，连接,由易知，
，故B正确．
故选：B．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知椭圆，则（ ）
A. 椭圆的长轴长为
B. 当时，椭圆的焦点在轴上
C. 椭圆的焦距可能为6
D. 椭圆的短轴长与长轴长的平方和为定值
【答案】BD
【解析】对于A，若，解得，即时，方程表示焦点在轴上的椭圆，则，长轴长为，故A错误；
对于B，当时，椭圆方程为表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；
由A知，由可知方程表示焦点在轴上的椭圆，此时，所以，由，解得，不符合，故舍去，
若，可得，椭圆方程为表示焦点在轴上的椭圆，
，所以，由，解得，不符合，故舍去，故不存在焦距为6的椭圆，故C错误；
由，，
故椭圆的短轴长与长轴长的平方和为定值，故D正确.
故选：BD.
10. 某次考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得6分，有错误选项不得分.若答案是两项，选对一项得3分，选对两项得6分，答案是三项，选对一项得2分，选对两项得4分，选对三项得6分.”已知某选择题的正确答案是AB，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（ ）
A. 甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是
B. 乙同学仅随机选两个选项，能得6分的概率是
C. 丁同学随机至少选择两个选项，但不选四项，能得分的概率是
D. 丙同学随机选择选项，但不选四项，能得分的概率是
【答案】ABC
【解析】甲同学仅随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为，
随机事件“若能得3分”中有基本事件，故“能得3分”的概率为，故A正确.
乙同学仅随机选两个选项，共有6个基本事件，
分别为：，
随机事件“能得6分”中有基本事件，故“能得6分”的概率为，故B正确.
丁同学随机至少选择两个选项，共有基本事件10个，
分别为：选两项有，
选三项有，
随机事件“能得分”中有基本事件有，故“能得分”的概率为，故C正确；
丙同学随机选择选项，但不选四项，由C与A可知共有14种选法，
能得分的选法有共3种，故能得分的概率是，故D错误.
故选：ABC.
11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，下列几个结论正确的是（ ）
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
C. 曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D. 曲线上任意一点到原点的距离都不超过
【答案】ABD
【解析】对A：将代入，可得，即，
故曲线关于轴对称，故A正确；
对B：当时，代入方程可得，所以，即曲线经过点，，
当时，方程变为，所以，
解得，则只能取整数，当时，，解得或，
即曲线经过点，，根据对称性，可得曲线还经过，，
故曲线一共经过6个整点，故B正确；
对C：当时，有，即，解得，
有，故曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值大于，故C错误；
对D：当时，由，可得，
当且仅当时，等号成立，所以，所以，
故曲线上轴右边的点到原点的距离不超过，
根据对称性可得，曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故D正确.
故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知点，，则直线倾斜角为__________.
【答案】
【解析】因为，，所以，
若的倾斜角为，则，又，故.故答案为：.
13. 已知直线与圆交于，两点，若面积为2，则值是__________.
【答案】
【解析】由圆，可得圆心，半径，设圆心到直线的距离为，则弦长，由面积为2，可得，解得，圆心到直线的距离为，解得.
故答案为：.
14. 如图，已知矩形,为边上的点，现将沿翻折至 ，使得点在平面上的投影在上，且直线与平面所成角为30°，则线段的长为_________．
【答案】
【解析】如图所示，过作于，由题意得，面,，设，，
在四边形中，可得，故
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线.
（1）若直线过点，且，求直线的方程；
（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.
解：（1）直线的斜率，因为，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的方程是，即；
（2）设直线，则直线与直线之间的距离，
解得或，所以直线的方程是或.
16. 如图，在平行六面体中，，
（1）求证：；
（2）求的长
（1）证明：以为基底向量，
则，又，
所以
，
所以，所以；
（2）解：由（1）可得，
所以
，所以，所以的长为.
17. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中，，且.
（1）求点的轨迹方程；
（2）过作（1）的切线，求切线方程；
（3）若点在（1）的轨迹上运动，另有定点，求的取值范围.
解：（1）设Px,y，由，得，
整理得，，即，则点的轨迹方程为.
（2）由（1）知，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
当切线斜率不存在时，切线方程为，符合题意；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
则，解得，
所以切线方程，即.
综上所述，切线方程为或.
（3）点到圆心的距离为，所以，即，即的取值范围为.
18. 将菱形绕直线旋转到的位置，使得二面角的大小为，连接，，得到几何体，已知，，，分别为，上的动点，且.

（1）求的长；
（2）证明：平面；
（3）当的长度最小时，求直线与平面所成角.
（1）解：取的中点，连接，由题意可得是边长为4的正三角形，则，且，
所以为二面角的平面角，即，
则为正三角形，所以；
（2）证明：在上取点，使得，连接，
因为，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，所以，又，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为且都在平面内，所以平面平面，
因为平面，所以平面；
（3）解：取的中点，连接，则，且，
由（1）得，，平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，，，
又，
所以，，
连接，则，，
所以，
故当时，取得最小值，且最小值为3，则的最小值为，
此时，，则，
设平面的法向量为，，取，
则，，即，则，
设直线与平面所成角为，则，即，
直线与平面所成角为.
19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为，，为椭圆上的任一点，的周长为，且椭圆的离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，动直线交椭圆于，两点，交轴于点，点关于的对称点是，以为圆心作圆与轴相切，设为的中点，过作圆的两条切线，切点分别为，，求的最小值.
解：（1）∵的周长为，∴①，
∵椭圆的离心率为，∴② 联立①②，解得，
∴.∴椭圆的方程为：；
（2）联立，消去，得
设，，则.
且，即.
∴中点，
由直线，令得，，∴.
∵点关于的对称，∴
∵以为圆心作圆与轴相切，∴圆，
令，则，，
∵当时，，
∴，即的最小值为，
∵，∴的最小值为，
所以的最小值为.