安徽省宿州市萧县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

这是一份安徽省宿州市萧县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题，共32页。
【本试卷满分150分，考试时间120分钟】
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 用直接开平方法解关于x的一元二次方程，则b应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（ ）
A. ①表示有一个角是直角B. ②表示有一组邻边相等
C ③表示四个角都相等D. ④表示对角线相等
3. 根据三视图，求出这个几何体的侧面积（ ）
A. B. C. D.
4. 元旦晚宴上大家两两碰杯一次，总共碰杯55次，那么有几人参加了这次宴会（ ）
A. 8人B. 9人C. 10人D. 11人
5. 为培养青少年科技创新能力，科技制作实践活动设置了无人机、3D动画、计算机编程三个项目组，若小明和小红都选择了科技制作活动，则他们被抽到同一个项目组的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 远视眼镜的镜片是凸透镜，镜片的度数y（度）是关于镜片焦距的反比例函数，当时，，下列说法中，错误的是（ ）
A. y与x的函数关系式为
B. y随x的增大而减小
C. 当远视眼镜的镜片焦距是时，该镜片是500度
D. 若一副远视眼镜的度数不大于400度，则焦距不大于
7. 如图是某晾衣架侧面示意图，根据图中数据，则C、D两点间的距离是（ ）
A. 0.9mB. 1.2mC. 1.5mD. 2.5m
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上的点，过点A与轴垂直的直线交轴于点，点在轴上，且．若四边形的面积为3，则的值为（ ）

A. 3B. 6C. D. 4
9. 雪上项目占据了2022年北京冬奥会的大部分比赛项目，有自由式滑雪、越野滑雪、跳台滑雪、无舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等．如图，某滑雪运动员在坡度为5：12的雪道上下滑65m，则该滑雪运动员沿竖直方向下降的高度为（ ）
A. 13mB. 25mC. mD. 156 m
10. 如图1，点P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，E是边BC的中点，连接PB，PE．设点A和点P之间的距离为x，，图2是点P从点A运动到点C时，y随x变化的关系图象，则图象最低点的纵坐标是（ ）
A B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 如果（为锐角），则____，____．
12. 把一元二次方程化为二次项系数为正的一般形式是________．
13. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，轴，垂足为C，若的面积为10，则________．

14. 如图，线段，射线于点，射线于点，点为的中点，为射线上一动点，将沿翻折得到，、的延长线分别交射线、于点、，连接．请探究下列问题：
（1）的值为______；
（2）当∽时，______．
三、（本大题共2题，每题8分，共16分）
15 计算：
16. 下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：．
解：方程两边同除以，得．第一步
移项，合并同类项，得．第二步
系数化为1，得．第三步
任务：
①小明的解法从第___________步开始出现错误；
②此题的正确结果是___________；
③用因式分解法解方程：．
四、（本大题共2题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，已知△ABC的顶点的坐标分别为A（﹣4，6），B（﹣8，0），C（﹣2，2）．
（1）尺规作图：在y轴上确定一个点P，使PA＝PB（要求保留作图痕迹）；
（2）画出△ABC关于原点O的位似△A'B'C'，要求新图形与原图形的位似比为1：2，并写出点C'的坐标（只需画出一个满足题意的△A'B'C'即可）．
18. 如图，已知一次函数和反比例函数的图象相交于点，．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）根据图象请直接写出当时，x的取值范围．
五、（本大题共2题，每小题10分，满分20分）
19. （1）如图是一个组合几何体的两种视图，请写出这个组合几何体是由哪两种几何体组成的；
（2）根据两种视图中尺寸（单位：cm），计算这个组合几何体的体积．（结果保留π）
20. 如图1，是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图2是它的俯视图．汽车靠墙一侧与墙平行且距离为0.8米．已知小汽车车门宽为1.2米．（参考数据：，）
（1）当车门打开角度为时，车门是否会碰到墙？请说明理由．
（2）若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？
六、（本题满分12分）
21. 为落实白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某校开展数学活动周，包括以下项目：①数学知识竞赛；②数学谜语；③数学手抄报；④数学计算接力赛；⑤数独游戏．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：
（1）本次随机抽查的学生人数为 人，补全图（Ⅰ）；
（2）该校共有800名学生，可估计出该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数为 人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为 度；
（3）该校计划在“①，②，③，④”四项活动中随机选取两项参加区活动展示，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“①，④”这两项活动的概率．
七、（本题满分12分）
22. 由特殊到一般、类比探究都是数学学习过程中重要的思想和方法，请你结合所学知识完成下列问题．
【特殊思考】
（1）如图1，正方形ABCD中，AE=AF，连接EF，易知BE与DF的数量关系为：BE=DF；BE与DF的位置关系为：BE⊥DF．
【一般问题】
（2）将图1中的三角形AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE与DF的数量关系和位置关系是否发生改变？结合图2，说明理由．
【类比探究】
（3）若将（2）中的正方形变为矩形，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=2AB，AF=2AE，其他条件不变．（2）中的结论是否发生变化？结合图3，说明理由．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上．

（1）求的长度；
（2）若关于反比例函数图象经过点，与另一交点记为点；
①求该反比例函数解析式；
②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？
萧县2024-2025学年度第一学期期末教学质量检测
九年级数学试卷
【本试卷满分150分，考试时间120分钟】
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 用直接开平方法解关于x的一元二次方程，则b应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根据被开方数要大于等于零进行求解即可．
【详解】解：∵被开方数要大于等于零，
∴用直接开平方法解关于x的一元二次方程，则b应满足的条件是，
故选B．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程—直接开平方法，熟知被开方数要大于等于零是解题的关键．
2. 如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（ ）
A. ①表示有一个角是直角B. ②表示有一组邻边相等
C. ③表示四个角都相等D. ④表示对角线相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据特殊四边形的判定方法判断即可．
【详解】∵有一个角是平行四边形是矩形，
∴①表示有一个角是直角是正确的；
∴A的描述正确，不符合题意；
∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴②表示有一组邻边相等是正确的；
∴B的描述正确，不符合题意；
∵四个角都相等的四边形是矩形，
∴③表示四个角都相等是错误的；
∴C的描述错误，符合题意；
∵对角线相等的菱形是正方形，
∴④表示对角线相等是正确的；
∴D的描述正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了特殊四边形的判定，熟练掌握特殊四边形的各种判定方法是解题的关键．
3. 根据三视图，求出这个几何体的侧面积（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知，得到几何体是圆柱，由图形数据，得到底面直径以及高，计算侧面积即可．
【详解】解：由题意知，几何体是底面直径为10、高为20 的圆柱，
所以其侧面积为．
故选：D．
【点睛】本题考查了由几何体的三视图求几何体的侧面积；关键是还原几何体，明确侧面积的部分．
4. 元旦晚宴上大家两两碰杯一次，总共碰杯55次，那么有几人参加了这次宴会（ ）
A. 8人B. 9人C. 10人D. 11人
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查一元二次方程的应用中的基本数量关系：单循环比赛进行的总场数为，依此数量关系推广到一般问题．
此题利用基本数量关系：两两碰杯一次，总次数为（n表示人数）列方程解答即可．
【详解】解：设有x人参加了这次宴会，根据题意列方程得，
，
解得（不合题意，舍去），
∴有11人参加了这次宴会．
故选：D．
5. 为培养青少年科技创新能力，科技制作实践活动设置了无人机、3D动画、计算机编程三个项目组，若小明和小红都选择了科技制作活动，则他们被抽到同一个项目组的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了用树状图法求概率，树状图可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，准确画出树状图是解题的关键．
画树状图，共有9种等可能性的结果，其中小明和小红恰好选择同一个项目组的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把无人机、3D动画、计算机编程分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小红恰好选择同一个项目组的结果有3种，
∴他们被抽到同一个项目组的概率为，
故选：B．
6. 远视眼镜的镜片是凸透镜，镜片的度数y（度）是关于镜片焦距的反比例函数，当时，，下列说法中，错误的是（ ）
A. y与x的函数关系式为
B. y随x的增大而减小
C. 当远视眼镜的镜片焦距是时，该镜片是500度
D. 若一副远视眼镜的度数不大于400度，则焦距不大于
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求出y与x的函数关系式，再根据反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特征分别判断即可．
【详解】解：∵镜片的度数y（度）是关于镜片焦距的反比例函数，当时，，
∴，
∴y与x的函数关系式为，故A正确；
∵，，
∴y随x的增大而减小，故B正确；
当时，，故C正确；
∵一副远视眼镜的度数不大于400度，y随x的增大而减小，
∴焦距不小于，故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的图象和性质， 熟练掌握反比例函数图象和性质解题的关键．
7. 如图是某晾衣架的侧面示意图，根据图中数据，则C、D两点间的距离是（ ）
A. 0.9mB. 1.2mC. 1.5mD. 2.5m
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据相似三角形对应高比等于相似比，求解即可．
【详解】解：连接CD,
∵ABCD，
∴△AOB∽△DOC，
∴
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上的点，过点A与轴垂直的直线交轴于点，点在轴上，且．若四边形的面积为3，则的值为（ ）

A. 3B. 6C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】过点A作轴于点E，根据已知条件得到四边形是平行四边形，于是得到四边形的面积，由于，得到四边形的面积，即可得到，再由，求得．
【详解】解：过点A作轴于点E，如图所示：

∵轴，
∴轴，
即，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义．
9. 雪上项目占据了2022年北京冬奥会的大部分比赛项目，有自由式滑雪、越野滑雪、跳台滑雪、无舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等．如图，某滑雪运动员在坡度为5：12的雪道上下滑65m，则该滑雪运动员沿竖直方向下降的高度为（ ）
A. 13mB. 25mC. mD. 156 m
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，画出图形，设，根据勾股定理可得x=5，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：AC=65m，，∠B=90°，
可设，
∵，
∴，解得：x=5，
∴AB=25m，
即该滑雪运动员沿竖直方向下降的高度为25m．
故选：B
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
10. 如图1，点P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，E是边BC的中点，连接PB，PE．设点A和点P之间的距离为x，，图2是点P从点A运动到点C时，y随x变化的关系图象，则图象最低点的纵坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得：点P与点C重合时， ，从而得到，连接BD交AC于点O，连接DE，PD，根据菱形的性质可得．从而得到当E，P，D三点共线时，的值最小，即的值最小，即．然后过点E作于点F，可得△BEF∽△BCO，从而得到，进而得到．再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：点P与点C重合时， ，∵E是BC的中点，
∴，
连接BD交AC于点O，连接DE，PD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴．
∴．
∴当E，P，D三点共线时，的值最小，即的值最小，即．
过点E作于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，EF∥AC，
∴△BEF∽△BCO，
∴，
∵E是BC的中点，
∴，
∴．
∴ ．
∴图象最低点的纵坐标是．
故选：B
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 如果（为锐角），则____，____．
【答案】 ①. 45° ②. 30°
【解析】
【分析】先根据非负数的性质求出tanα及sinβ的值，再根据α、β为锐角即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∵α、β为锐角，
∴α=45°，β=30°．
故答案为：45°，30°．
【点睛】本题考查的是非负数的性质及特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
12. 把一元二次方程化为二次项系数为正的一般形式是________．
【答案】
【解析】
【分析】通过去括号，移项，合并同类项，把方程即可整理为一元二次方程的一般形式，
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式的特点是解题的关键．
13. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，轴，垂足为C，若的面积为10，则________．

【答案】10
【解析】
【分析】根据A，B关于原点对称，得出，则，根据反比例函数k的几何意义得出．
【详解】依题意，A，B关于原点对称，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
14. 如图，线段，射线于点，射线于点，点为的中点，为射线上一动点，将沿翻折得到，、的延长线分别交射线、于点、，连接．请探究下列问题：
（1）的值为______；
（2）当∽时，______．
【答案】 ①. 36 ②.
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质得出，，，证明△，得出，，证明，得出比例线段，则可得出答案；
（2）由相似三角形的性质求出，由直角三角形的性质可得出答案．
【详解】解：（1）点为的中点，，
，
，，
，
将沿翻折得到△，
，，，
，
在和△中，
，
△，
，，
，
，，
，
，
，
；
故答案为：36；
（2）当△△时，
，
由（1）知，，
，
，
，
为的垂直平分线，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、（本大题共2题，每题8分，共16分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查绝对值，零次幂及负整数指数幂的运算，特殊角的三角函数，熟练掌握运算法则是解题关键．
先化简绝对值，零次幂及负整数指数幂的运算，特殊角的三角函数值，然后计算加减法即可．
【详解】解：
16. 下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：．
解：方程两边同除以，得．第一步
移项，合并同类项，得．第二步
系数化为1，得．第三步
任务：
①小明的解法从第___________步开始出现错误；
②此题的正确结果是___________；
③用因式分解法解方程：．
【答案】①一；②，；③，
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程—因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 移项→将方程的右边化为零； 化积→把方程的左边分解为两个一次因式的积；转化→令每个因式分别为零，转化成两个一元一次方程；求解→解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
【详解】解：①明的解法从第一步开始出现错误，
故答案为：一；
②，
，即，
∴或，
解得：，，
∴此题的正确结果是：，，
故答案为：：，；
③，
，
，
，
∴或，
解得：，．
四、（本大题共2题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，已知△ABC的顶点的坐标分别为A（﹣4，6），B（﹣8，0），C（﹣2，2）．
（1）尺规作图：y轴上确定一个点P，使PA＝PB（要求保留作图痕迹）；
（2）画出△ABC关于原点O的位似△A'B'C'，要求新图形与原图形的位似比为1：2，并写出点C'的坐标（只需画出一个满足题意的△A'B'C'即可）．
【答案】（1）图见解析（2）图见解析，C'的坐标（1，−1）
【解析】
【分析】（1）利用基本作图，作AB的垂直平分线交y轴于P点；
（2）在第四象限画出△A'B'C'，把点A、B、C的横纵坐标都乘以− 得到A'、B'、C'的坐标，然后描点即可．
【详解】解：（1）如图，点P为所作；
（2）如图，△A'B'C'为所作，点C'的坐标为（1，−1）．
【点睛】本题考查了作图−位似变换，熟练掌握关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征．也考查了垂直平分线的性质．
18. 如图，已知一次函数和反比例函数的图象相交于点，．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）根据图象请直接写出当时，x的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】此题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是熟练运用待定系数法求函数解析式，以及图象法解不等式．
（1）将代入反比例函数解析式可求解反比例函数解析，由此可求出点B的坐标，将点A、B的坐标代入一次函数解析式，运用待定系数法求解析式即可；
（2）根据一次函数与反比例函数图象的交点坐标，图形结合分析即可求解；
【小问1详解】
∵一次函数和反比例函数的图象相交于点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
根据图示可得，当时，；
当时，；
∴当时，x的取值范围为：或．
五、（本大题共2题，每小题10分，满分20分）
19. （1）如图是一个组合几何体的两种视图，请写出这个组合几何体是由哪两种几何体组成的；
（2）根据两种视图中尺寸（单位：cm），计算这个组合几何体的体积．（结果保留π）
【答案】（1）圆柱，长方体；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据题意得，上面几何体：主视图是长方形、俯视图是圆的几何体是圆柱；下面几何体：主视图是长方形、俯视图也是长方形的几何体是长方体，据此解题；
（2）组合几何体的体积=圆柱体体积+长方体体积，据此解题．
【详解】解（1）根据题意得，这个几何体的上面是圆柱体，下面是长方体，
答：这个组合几何体是由圆柱体与长方体组成的；
（2）由题意得，组合几何体的体积=圆柱体体积+长方体体积，
即．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图、几何体的体积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
20. 如图1，是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图2是它的俯视图．汽车靠墙一侧与墙平行且距离为0.8米．已知小汽车车门宽为1.2米．（参考数据：，）
（1）当车门打开角度为时，车门否会碰到墙？请说明理由．
（2）若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？
【答案】（1）车门不会碰到墙，见解析；（2）靠墙一侧车门能打开的最大角度为
【解析】
【分析】（1）过点A作，垂足为点G．解三角形求出AC的长度，进而作出比较即可；
（2）过点A作，垂足为D，，求出即可．
【详解】解：（1）过点A作，垂足为点Ｃ．
在中，
，
∴，
∵，
∴车门不会碰到墙．
（2）过点A作，垂足为D，
在，∵，
∴．
∴，
又∵正弦值随着角度的增大而增大，
∴靠墙一侧车门能打开的最大角度为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是熟练构建直角三角形，运用解直角三角形求解．
六、（本题满分12分）
21. 为落实白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某校开展数学活动周，包括以下项目：①数学知识竞赛；②数学谜语；③数学手抄报；④数学计算接力赛；⑤数独游戏．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：
（1）本次随机抽查的学生人数为 人，补全图（Ⅰ）；
（2）该校共有800名学生，可估计出该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数为 人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为 度；
（3）该校计划在“①，②，③，④”四项活动中随机选取两项参加区活动展示，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“①，④”这两项活动的概率．
【答案】（1）60，条形统计图见详解；（2）200，90；（3）
【解析】
【分析】（1）由②的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题；
（2）由该校人数乘以最喜爱“①数学知识竞赛”的人数所占的比例得出该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数，再1由360°乘以最喜爱“①数学知识竞赛”的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）本次随机抽查的学生人数为：18÷30%＝60（人），
则喜爱⑤数独游戏的人数为：60−15−18−9−6＝12（人），
故答案为：60，
补全图（Ⅰ）如下：
（2）估计该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数为：800×＝200（人），
图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为：360°×＝90°，
故答案为：200，90；
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好选中“①，④”这两项活动的结果有2个，
∴恰好选中“①，④”这两项活动的概率为2÷12=．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
七、（本题满分12分）
22. 由特殊到一般、类比探究都是数学学习过程中重要的思想和方法，请你结合所学知识完成下列问题．
特殊思考】
（1）如图1，正方形ABCD中，AE=AF，连接EF，易知BE与DF的数量关系为：BE=DF；BE与DF的位置关系为：BE⊥DF．
【一般问题】
（2）将图1中的三角形AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE与DF的数量关系和位置关系是否发生改变？结合图2，说明理由．
【类比探究】
（3）若将（2）中的正方形变为矩形，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=2AB，AF=2AE，其他条件不变．（2）中的结论是否发生变化？结合图3，说明理由．
【答案】（2）不变，理由见解析；（3）数量关系改变，位置关系不变，理由见解析
【解析】
【分析】（2）证明△FAD≌△EAB，延长DF分别交AB、BE于点P、G，证明∠EGF=90°即可；
（3）利用两边对应成比例且夹角相等，证明△FAD∽△EAB，可确定数量关系，对应角相等不变，故位置关系不受影响.
【详解】（2）结论：DF与BE互相垂直且相等．
理由：延长DF分别交AB、BE于点P、G．
在正方形ABCD和等腰直角△AEF中
AD=AB，AF=AE，
∠BAD=∠EAF=90°，
∴∠FAD=∠EAB，
∴△FAD≌△EAB，
∴∠ADF=∠ABE，DF=BE，
∵∠APD+∠ADP=90°，
∴∠GPB+∠ADP=90°，
∴∠GPB+∠ABE=90°，
∴∠EGF=180°-90°=90°，
∴DF⊥BE．
（3）结论：数量关系改变，位置关系不变．DF=2BE，DF⊥BE．
理由：延长DF交EB于点N，交AB于点M，
∵AD=2AB，AF=2AE，
∴，，
∴，
∵∠BAD=∠EAF=90°，
∴∠FAD=∠EAB，
∴△FAD∽△EAB，
∴AD：AB=DF：BE =2，
∴DF=2BE，
∵△FAD∽△EAB，
∴∠ADF=∠ABE，
∵∠AMD+∠ADM=90°，
∴∠NMB+∠ADM=90°，
∴∠NMB+∠ABN=90°，
∴∠ENF=180°-90°=90°，
∴DF⊥BE．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的全等判定和性质，三角形相似的判定和性质，矩形的性质，互余的性质，熟练掌握三角形全等和相似的判定方式是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上．

（1）求的长度；
（2）若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点；
①求该反比例函数解析式；
②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由四边形是矩形，所以，，，由折叠可知，，，所以；
（2）①由折叠可知，，在中，由勾股定理可得，，所以，解之可得，将点代入反比例函数解析式可得，；
②由待定系数法可得，，令，解得或，则；由折叠可知，，如图，延长至点，使得，则，连接交于点，点即为所求；利用待定系数法可得，，及直线的解析式，令，解得，则，时，的周长最小．
【小问1详解】
解：，，
，，
四边形是矩形，
，，，
，，
关于折叠得到，
，，
；
【小问2详解】
①，，
，
由折叠可知，，
在中，，
，
，
，
关于的反比例函数图象经过点，
，
该反比例函数解析式为；
②设直线的解析式为：，
，，
，
解得，
，
令，解得或，
；
；
由折叠可知，，
如图，延长至点，使得，则，
连接交于点，点即为所求；

设直线的解析式为：，
，解得，
，
同理可得直线的解析式为：，
令，解得，
，
，
即时，的周长最小．
【点睛】本题属于反比例函数与一次函数交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，矩形的性质，勾股定理，折叠问题，轴对称求最值问题等相关知识，熟练掌握待定系数法是解题关键．