安徽省合肥市五十中学西校2024—2025学年上学期八年级期末数学模拟试卷

这是一份安徽省合肥市五十中学西校2024—2025学年上学期八年级期末数学模拟试卷，共28页。
1．数学试卷6页，八大题，共23小题，满分100分，考试时间100分钟，请合理分配时间．
2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题．
3．请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷．
4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列图形中，属于轴对称图形的是：（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各点中，位于第四象限的是：（ ）
A. B. C. D.
3. 已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是：（ ）
A. 4B. 6C. 10D. 14
4. 一次函数（m为常数）图象上有两点则与大小关系是：（ ）
A. B. C. D. 无法确定
5. 在中，，则这个三角形是：（ ）
A. 锐角三角形B. 等腰三角形
C. 钝角三角形D. 含角的直角三角形
6. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于y轴的对称点C的坐标在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
7. 下列命题中，一定是真命题的是：（ ）
A. 等腰三角形的角平分线，高，中线互相重合
B. 线段垂直平分线上的点到线段上任意两点距离相等
C. 三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三个顶点距离相等
D. 两角和一边分别相等的两个三角形全等
8. 已知一次函数y＝kx﹣b与y＝﹣kbx（k，b为常数，且kb≠0），则它们在同一平面直角坐标系内图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，∠ABC 的平分线分别交 AC、AD于E、F 两点，M为EF 的中点，AM的延长线交 BC于点N，连接EN，下列结论：①△AFE为等腰三角形；②DF= DN；③AN = BF；④EN⊥NC．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是：（）
A. 乙用12分钟追上甲B. 乙追上甲后，再走1440米才到达
C. 甲乙两人之间的最远距离是300米D. 甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 函数中，自变量x的取值范围是_____．
12. 已知点在第二象限，且它到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标是_________．
13. 图象如图所示，关于x的不等式的解集是________．
14. 如图，点P在∠AOB的平分线上，∠AOB=60°，PD⊥OA于D，点M在OP上，且DM=MP=6，若C是OB上的动点，则PC的最小值是__________．
15. 如图，在中，，M，N分别是边上的动点，沿着直线将对折，点A、的对称点是点．若，则的度数为________．
16. 如图．在平面直角坐标系中，点，…和，…分别在直线和x轴上，，…都是等腰直角三角形，如果直线经过点且截距为．
（1）直线的表达式为________；
（2）的纵坐标是________．
三、（本大题共7小题，满分52分）
17. 已知一次函数的图像经过点，．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求此函数与x轴交点的坐标．
18. 如图，在边长为1个单位的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，顶点C的坐标为．
（1）将向右平移4个单位，再向下平移5个单位得到，请你画出；
（2）将作关于x轴对称，得到，请你画出；
（3）作的垂直平分线与交于点M与y轴交于点N．（请用无刻度的直尺画图，并保留作图痕迹）
19. 如图，已知在中，
（1）尺规作图：①作的高；②作的平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）判断点E是否在线段垂直平分线上，并说明理由．
20. 如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F．
（1）求证：；
（2）过点D作于点G，若，求的长．
21. 在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交于点A，且与一次函数图象相交于点，一次函数图象与x轴相交于点C．
（1）求m的值；
（2）根据图象，直接写出当时，x的取值范围
（3）若在一次函数上存在点P，使得，求点P的坐标．
22. 某商店销售型和型两种型号的电脑，销售一台型电脑可获利120元，销售一台型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的3倍．设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元．
（1）求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售利润最大？最大利润是多少？
23. 如图1，线段AC上有一点B，以AB、BC为边分别在AC的同侧作等边三角形ABD、BCE，连接AE、CD交于点O，连接OB．
（1）求证：AE=DC；
（2）如图2，取AE的中点M，取CD的中点N，连结MN、MB、NB．求证：ΔMBN为等边三角形；
（3）若∠EAC=a，（0°＜a＜60°），直接写出∠BOC的度数．
八年级（上）期末模拟
数学试卷（1）
温馨提示：
1．数学试卷6页，八大题，共23小题，满分100分，考试时间100分钟，请合理分配时间．
2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题．
3．请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷．
4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列图形中，属于轴对称图形的是：（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意；
B．是轴对称图形，故B符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：B．
2. 下列各点中，位于第四象限的是：（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：A．在第四象限，故A符合题意；
B．在第一象限，故B不符合题意；
C．在第三象限，故C不符合题意；
D．在第二象限，故D不符合题意．
故选：A．
3. 已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是：（ ）
A. 4B. 6C. 10D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．
【详解】解：设此三角形第三边的长为x，则，
即，
四个选项中只有10符合条件．
故选：C．
4. 一次函数（m为常数）图象上有两点则与的大小关系是：（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合，即可得出．
【详解】解：
y随x的增大而减小
图象上有两点，且，
故选：A．
5. 在中，，则这个三角形是：（ ）
A. 锐角三角形B. 等腰三角形
C. 钝角三角形D. 含角的直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类．解题关键在于利用内角和定理进行计算．先由，可得，，再根据三角形的内角和是，列方程求得三个内角的度数，即可判断三角形的形状．
【详解】解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴是直角三角形．
故选：D．
6. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于y轴的对称点C的坐标在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查的是平面直角坐标系中点的平移，轴对称变换，掌握点的坐标平移规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减是解决此题的关键．先根据平移的特点得出点B的坐标为，再根据轴对称变换得出点C的坐标，最后得出答案即可．
【详解】解：点向右平移3个单位长度，横坐标变为，纵坐标不变，
∴点B的坐标为，
∴点B关于y轴的对称点C的坐标为，
∴点C在第二象限，
故选：B．
7. 下列命题中，一定是真命题的是：（ ）
A. 等腰三角形的角平分线，高，中线互相重合
B. 线段垂直平分线上的点到线段上任意两点距离相等
C. 三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等
D. 两角和一边分别相等的两个三角形全等
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理，命题的真假是就命题的内容而言，正确掌握定理是解题的关键．根据等腰三角形的性质即可对A进行判断；根据垂直平分线的性质即可对B进行判断；根据角平分线的性质即可对C进行判断；根据三角形全等的证明即可对D进行判断．
【详解】解：A、等腰三角形顶角的角平分线，底边上的高，中线互相重合，原命题为假命题，故A不符合题意；
B、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，原命题是假命题，故B不符合题意；
C、三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等，原命题是假命题，故C不符合题意；
D、两角和一边分别相等的两个三角形全等，原命题是真命题，故D符合题意．
故选：D．
8. 已知一次函数y＝kx﹣b与y＝﹣kbx（k，b为常数，且kb≠0），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数图象与系数的关系，由一次函数y＝kx﹣b图象分析可得k、b的符号，进而可得kb的符号，从而判断y＝﹣kbx的图象是否正确，进而比较可得答案．
【详解】解：A、由一次函数y＝kx﹣b图象可知k＞0，b＞0；即kb＞0，与正比例函数y＝﹣kbx的图象可知kb＜0，矛盾，故此选项错误；
B、由一次函数y＝kx﹣b图象可知k＜0，b＜0；即kb＞0，与正比例函数y＝﹣kbx的图象可知kb＜0，矛盾，故此选项错误；
C、由一次函数y＝kx﹣b图象可知k＞0，b＜0，kb＜0；正比例函数y＝﹣kbx的图象可知kb＞0，矛盾，故此选项错误；
D、由一次函数y＝kx﹣b图象可知k＜0，b＜0；即kb＞0，与正比例函数y＝﹣kbx的图象可知kb＞0，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
9. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，∠ABC 的平分线分别交 AC、AD于E、F 两点，M为EF 的中点，AM的延长线交 BC于点N，连接EN，下列结论：①△AFE为等腰三角形；②DF= DN；③AN = BF；④EN⊥NC．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的全等，角平分线的定义，逐一判断即可．
【详解】∵∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC ，
∴∠DBF+∠DFB=90°，∠ABE+∠AEF=90°，∠ABE=∠DBF，
∴∠AEF=∠DFB=∠AFE，
∴△AFE为等腰三角形，
∴结论①正确；
∵△AFE为等腰三角形，M为EF 的中点，
∴∠AMF=90°，
∴∠DBF=∠DAN，
∵∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，
∴AD=BD，
∴△DBF≌△DAN，
∴DF= DN，AN=BF，
∴结论②③正确；
∵∠ABM=∠NBM，∴∠BMA=∠BMN= 90°，BM=BM，
∴△BMA≌△BMN，
∴AM=MN，
∴BE是线段AN的垂直平分线，
∴EA=EN，
∴∠EAN=∠ENA=∠DAN，
∴AD∥EN，
∵AD⊥BC
∴EN⊥NC，
∴结论④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的全等，线段的垂直平分线的定义和性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握知识，灵活运用知识是解题的关键．
10. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是：（）
A. 乙用12分钟追上甲B. 乙追上甲后，再走1440米才到达
C. 甲乙两人之间的最远距离是300米D. 甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查函数图象，解答的关键是理解题意，利用数形结合思想获取所求问题需要的条件．根据题意和函数图象中的数据可以逐个判断结论是否正确即可解答．
【详解】解：根据图象，甲步行4分钟走了240米，
甲步行的速度为（米分钟），
由图象可知，甲出发16分钟后乙追上甲，则乙用了（分钟）追上甲，故A正确，不符合题意；
乙的速度为（米分钟），
则乙走完全程的时间为（分钟），
乙追上甲剩下的路程为：（米，
乙追上甲后，再走1440米才到达终点，故B正确，不符合题意；
当乙到达终点时，甲步行了（米，
甲离终点还有（米，
故甲乙两人之间的最远距离是360米，故C错误，符合题意．
乙休息的时间为（分钟），
故甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，故D正确，不符合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 函数中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】x＞﹣2
【解析】
【分析】先根据二次根式的性质得，再根据分式的定义得，联立求解即可.
【详解】由二次根式的性质得，解得，
由分式的定义得，解得，
则.
故答案为：.
【点睛】本题考查了二次根式的性质、以及分式的定义，本题由于为分母，要保证分式有意义，则分母不等于0，部分学生容易忽略，审题要谨慎.
12. 已知点在第二象限，且它到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第二象限内点的坐标特点，点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，据此可得，再由第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正可得，即点P的坐标为．
【详解】解：∵点到轴的距离为3，到轴的距离为4，
∴，
∵点P在第二象限，
∴，
∴，
∴点P的坐标为，
故答案为：．
13. 的图象如图所示，关于x的不等式的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用，解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．从图象得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集．
【详解】解：从图象知，函数的图象经过点，并且函数值y随x的增大而减小，
∴当时，，
即关于x的不等式的解集是，
故答案为：．
14. 如图，点P在∠AOB的平分线上，∠AOB=60°，PD⊥OA于D，点M在OP上，且DM=MP=6，若C是OB上的动点，则PC的最小值是__________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据角平分线的定义及垂直可得到∠DPO=60°，从而证明是等边三角形，得到DP的长，再根据角平分线的性质即可求出点P到OB的距离，即PC的最小值．
【详解】∵点P在∠AOB的平分线上，∠AOB=60°，
∴∠AOP=∠AOB=30°，
又∵PD⊥OA于点D，即∠PDO=90°，
∴∠DPO=60°，
又∵DM=MP=6，
∴是等边三角形，
∴PD=DM=6，
∵C是OB上一个动点，
∴PC的最小值为点P到OB的距离，
∵点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA于点D，PD=6，
∴PC的最小值=点P到OB的距离=PD=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握应用各性质及判定定理是解题关键．
15. 如图，在中，，M，N分别是边上的动点，沿着直线将对折，点A、的对称点是点．若，则的度数为________．
【答案】150或60
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论．分两种情况：当在下方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：当在下方时，如图所示：
，
，
根据折叠可知，，
，
；
当在下方时，如图所示：
，
，
根据折叠可知，，
；
综上分析可知，此时或；
故答案为：150或60．
16. 如图．在平面直角坐标系中，点，…和，…分别在直线和x轴上，，…都是等腰直角三角形，如果直线经过点且截距为．
（1）直线的表达式为________；
（2）的纵坐标是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的规律题，解题的关键是找到点的坐标规律．
（1）根据待定系数法求出；
（2）设，，，，，则有，，…..，，然后根据等腰直角三角形的性质可得，，….，进而将点的坐标依此代入即可求解．
【详解】解：（1）∵直线经过点且截距为，
∴，，
解得：，，
∴；
故答案为：．
（2）设，，，，，
则有，
，
，
过点作轴于点C，过点作轴于点D，如图所示：
∵，，，都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
即，
同理可得：，
，
将点坐标依次代入直线解析式得到：
，
，
，

，
又，
，
，
，
，
即的纵坐标是．
故答案为：．
三、（本大题共7小题，满分52分）
17. 已知一次函数的图像经过点，．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求此函数与x轴交点的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
（1）用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）把代入一次函数解析式，求出结果即可．
【小问1详解】
解：设一次函数解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为：；
【小问2详解】
解：把代入得：，
解得：，
∴此函数与x轴交点的坐标为．
18. 如图，在边长为1个单位的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，顶点C的坐标为．
（1）将向右平移4个单位，再向下平移5个单位得到，请你画出；
（2）将作关于x轴对称，得到，请你画出；
（3）作的垂直平分线与交于点M与y轴交于点N．（请用无刻度的直尺画图，并保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】此题主要考查了平移变换，轴对称变换，勾股定理，线段垂直平分线判定，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，然后再顺次连接，进而得出答案；
（2）作出、、关于x轴的对称点、、，然后再顺次连接即可；
（3）取格点E、F，连接，交于点M，交y轴交于点N即可．
【小问1详解】
解：如图所示：△即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求作三角形；
【小问3详解】
解：取格点E、F，连接，交于点M，交y轴交于点N，如图所示：
∵，
∴点E、F在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
19. 如图，已知在中，
（1）尺规作图：①作的高；②作的平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）判断点E是否在线段的垂直平分线上，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2）点E在线段的垂直平分线上，理由见解析
【解析】
【分析】（1）①先以为圆心，大于到的距离为半径画弧，得与的两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，得两弧的交点，过与两弧的交点画射线，交于，则可得答案；
②先以为圆心，任意长为半径画弧，得与的两边相交的两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，得两弧的交点，过与两弧的交点画线段，交于，则可得答案；
（2）先由是的高，可得，再求得，由是的平分线，可得，从而得出，由等腰三角形的判定可得，最后由线段垂直平分线的判定可得结论．
【小问1详解】
解：①如图，则为所作；
②如图，则为所作．
【小问2详解】
解：点E在线段的垂直平分线上，理由如下：
是的高，
，
在中，，
，
是的平分线，
，
，
，
点E在线段的垂直平分线上．
【点睛】本题主要考查的是作三角形的高，三角形的角平分线，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定等知识点，熟练应用以上知识解题是关键．
20. 如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F．
（1）求证：；
（2）过点D作于点G，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）7
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定和三角形外角的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
（1）根据等边三角形的性质，利用证得，得到；
（2）由全等得到，再根据三角形的外角与内角的关系得到，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，求出，然后再求出结果即可．
【小问1详解】
证明：是等边三角形，
，，
又，
．
；
【小问2详解】
解：如图，，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
21. 在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交于点A，且与一次函数图象相交于点，一次函数图象与x轴相交于点C．
（1）求m的值；
（2）根据图象，直接写出当时，x的取值范围
（3）若在一次函数上存在点P，使得，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据两个一次函数图象交于点 ，可求出，进而可得到一次函数解析式为，即可求出点A的坐标；
（2）先求出点A、C的坐标，画出函数图象，根据图象得一次函数的图象在一次函数的图象下方时，x的取值范围，即可得出答案；
（3）先求出，然后分两种情况：点P在点B下方，点P在点B上方，分别求解即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数与一次函数相交于点
∴B点即在上也在上，
由可得：，
∴；
【小问2详解】
解：∵；
∴B点的坐标为；
把点B代入可得即，
∴一次函数解析式为，
当时，，得，
即点A的坐标为1,0，
当时，，即点C的坐标为，函数图象如图所示：
观察图象，得：当 时，一次函数的图象在一次函数的图象下方时，
∴当时，x的取值范围为．
【小问3详解】
解：∵，，，
∴，
设点P的坐标为，
当点P在点B下方时，点P与点C重合时，与的面积相等，此时点P的坐标为，
当点P在点B上方时，
∴
解得：，
∴此时点P的坐标为1,4；
综上分析可知：点P的坐标为或1,4．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一次函数相结合，一次函数图象应用，用一次函数解不等式，求三角形的面积，求出两直线的交点坐标，利用一次函数与一元一次不等式的关系解不等式的数形结合思想解答问题是解题的关键．
22. 某商店销售型和型两种型号的电脑，销售一台型电脑可获利120元，销售一台型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的3倍．设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元．
（1）求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1) y=-20x+14000，自变量的取值范围为，且为正整数；(2)型电脑进货25台，B型电脑进货75台，此时销售利润最大为13500元．
【解析】
【分析】(1)根据公式“总利润=单个商品利润×数量”即可求解；
(2)由(1)中y=-20x+14000可知，y随x的增大而减小，再结合自变量即可求出x=25时有最大利润，进而代入求解．
【详解】解：(1) 由题意可得，型电脑的总利润为：120x，
B型电脑的总利润为：140(100-x)，
∴A、B电脑的总利润：y=120x+140(100-x)=-20x+14000，
故与的函数关系式为：y=-20x+14000，
又型电脑的进货量不超过型电脑的3倍，
∴，
解得：，
此时，自变量的取值范围为：，且为正整数；
(2)∵y=-20x+14000，且-20＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵，且为正整数，
∴x=25时，y有最大值为：-20×25+14000=13500，
∴此时型电脑进货25台，B型电脑进货75台，销售利润最大为13500元．
【点睛】本题考查一次函数增减性、一元一次不等式的应用等，明确题意，熟练掌握一次函数的性质及不等式的解法是解决本题的关键．
23. 如图1，线段AC上有一点B，以AB、BC为边分别在AC的同侧作等边三角形ABD、BCE，连接AE、CD交于点O，连接OB．
（1）求证：AE=DC；
（2）如图2，取AE的中点M，取CD的中点N，连结MN、MB、NB．求证：ΔMBN为等边三角形；
（3）若∠EAC=a，（0°＜a＜60°），直接写出∠BOC的度数．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）60°
【解析】
【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）由线段的中点的性质可得，由“”可证，可得，可求，可得结论；
（3）由全等三角形的性质可得，，可得，由角平分线的性质可得．
【小问1详解】
证明：和是等边三角形，
，，，
∴∠ABD+∠DBE=∠DBE+∠EBC，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
证明：点是的中点，点是的中点，AE=DC，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∴∠ABC=∠ABM+∠MBD=60°，
，
即；
是等边三角形；
【小问3详解】
解：∴∠DAO+∠BAO+∠ADB=180°，
，
，
，
如图1，过点作于，于，
∴△ABE≌△DBC，
，，
，
，
又∵BH⊥AE于H，BG⊥CD于，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线是解题的关键．