安徽省池州市2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份安徽省池州市2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题，共30页。试卷主要包含了2或3秒等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．数学试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的）
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 若，，，则与的周长比是（ ）
A. B. C. D.
3. 若的三边长均扩大3倍，则的值（ ）
A. 不变B. 变大C. 变小D. 无法判断
4. 已知双曲线分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在四边形中，点，分别在，上，且．若，，则长为（ ）
A. 3B. 6C. 8D. 9
6. 当时，下列函数中，随的增大而增大的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，，，现要在其内部作正方形，使边在上，另两个顶点，分别在，上，则正方形的边长为（ ）
A. 48B. 46C. 42D. 40
8. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若树高米，则点，之间的距离为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 16米
9. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
10. 如图，已知直线与轴、轴相交于，两点，与反比例函数图象相交于，两点，连接，．给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若函数是二次函数，则的值为________．
12. 若为锐角，且，则________．
13. 如图， 在平面直角坐标系中， 点为第一象限内一点， 连接，，过点作轴于点，，反比例函数的图象经过的中点， 且与交于点． 则线段的长为______．
14. 如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点，交对角线于点．
（1）线段的长为________；
（2）________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称的（点，，的对应点分别是点，，）；
（2）以点为位似中心在第四象限内画出的位似图形，使得与的相似比为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在中，是上的一点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
18. 研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示．
（1）当近视眼镜度数是125度时，镜片焦距是多少米？
（2）小明原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求小明的眼镜度数增加了多少度．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在菱形中，，，点E是边的中点，连接．
（1）求的长；（结果保留根号）
（2）点F为边上的一点，连接，交于点G，连接，．求证：．
20. 如图为某城市公园平面示意图，为公园大门，，，分别为三个休闲点．经测量，，，在同一条直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，）
（1）求，两地的距离；（结果精确到0.1米）
（2）大门在休闲点的南偏西60°方向，求，两地的距离．
六、（本题满分12分）
21. 如图，张大伯准备利用一面墙和一些竹篱笆围成一个矩形养殖场，且中间用竹篱笆隔开．已知竹篱笆的总长为，墙长为，设养殖场的一边长为，面积为．
（1）求S与的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当的长是多少米时，围成的养殖场面积最大？并求出最大面积．
七、（本题满分12分）
22. 在中，，现有动点P从点C出发，沿向点A方向运动，动点Q从点B出发，沿向点C方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求：

（1）用含t的代数式表示 ， ；
（2）当t为多少时，的长度等于？
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点三角形与相似？
八、（本题满分14分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在原点左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）过点作轴交直线于点，求的最大值；
（3）若点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点，使为等腰直角三角形，且？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
安徽省池州市2024-2025九年级上学期12月月考
数学（沪科版）试题卷
注意事项：
1．数学试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的）
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，
根据二次函数的顶点坐标是，可得答案．
【详解】抛物线的顶点坐标是．
故选：A．
2. 若，，，则与的周长比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，
根据题意可得相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比得出答案．
【详解】∵，
∴这两个三角形的相似比为，
∴与的周长比为．
故选：C．
3. 若的三边长均扩大3倍，则的值（ ）
A. 不变B. 变大C. 变小D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得所得的三角形与原三角形相似，从而可得的大小没有发生变化，即可解答．
【详解】解：∵的边长都扩大3倍，
∴所得的三角形与原三角形相似，
∴的大小没有发生变化，
∴的值不变，
故选：A．
4. 已知双曲线分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据双曲线的图象分布在第二、四象限得出，求解即可，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵双曲线的图象分布在第二、四象限，
∴，
解得：．
故选：D．
5. 如图，在四边形中，点，分别在，上，且．若，，则的长为（ ）
A. 3B. 6C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，由得，根据可得，代入数据进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
故选：B．
6. 当时，下列函数中，随的增大而增大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，反比例函数图象的性质，
先分析各函数关系式中的系数，再根据系数得出图象的增减性即可解答．
【详解】一次函数中，当x>0时，函数值y随着x的值增大而减小，所以A不符合题意；
反比例函数中，图象位于第一、三象限，当时，函数值y随着x的值增大而减小，所以B不符合题意；
二次函数的图象开口向下，对称轴是y轴，当时，函数值y随着x的值增大而减小，所以C不符合题意；
二次函数的图象开口向上，对称轴是y轴，当时，函数值y随着x的值增大而增大，所以D符合题意．
故选：D．
7. 如图，在中，，，，现要在其内部作正方形，使边在上，另两个顶点，分别在，上，则正方形的边长为（ ）
A. 48B. 46C. 42D. 40
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形．
根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即，从而得出边长之比，进而求出正方形的边长；
【详解】解：设正方形零件的边长为，
在正方形中，，
，
，
，
即：．
解得：．
故选：A．
8. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若树高米，则点，之间的距离为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 16米
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了三角函数的应用，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．
首先根据得到，然后利用得到，利用即可求解．
【详解】解：由题意得：，，
在中，，
，
在中，，
，
，
米，
故选：B．
9. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，正切定义，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
连接交于点，由正方形的性质得，进而得，又证，得，从而得，进而利用正切定义即可得解．
【详解】解：如图，连接交于点，
∵四边形是正方形，
，
，
根据题意，，
，
，
，
，
，
，
中，，
，
，
故选：A．
10. 如图，已知直线与轴、轴相交于，两点，与反比例函数的图象相交于，两点，连接，．给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键是正确的理解反比例函数与一次函数的交点的特点．
根据一次函数和反比例函数的性质得到，即可判断①；把、代入中得到，即可判断②；把、代入得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到，即可判断③；根据图象得到不等式的解集是或，即可判断④．
【详解】解：①由图象知，，，
∴，故①正确；
②把，代入中，得，
∴，故②正确；
③把，代入，得，
解得：，
∵，
∴．
∵直线与轴、轴相交于，两点，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，故③正确；
④由图象知不等式的解集是或，故④正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若函数是二次函数，则的值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数定义，
根据二次函数的定义解答即可．一般地，形如是二次函数．
【详解】∵是二次函数，
∴，且，
解得．
故答案为：2．
12. 若为锐角，且，则________．
【答案】##60度
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值进行计算即可解答．
【详解】解：∵是锐角，，
∴，
故答案为：．
13. 如图， 在平面直角坐标系中， 点为第一象限内一点， 连接，，过点作轴于点，，反比例函数图象经过的中点， 且与交于点． 则线段的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点坐标特征，根据勾股定理得，可得点的坐标，继而确定的值，即可得解．求得点的纵坐标是解题的关键．
【详解】解：∵轴，，，
∴，
∴点A的坐标为，
∵点是的中点，
∴点C的坐标为，
∵点和点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当时，，
∴
∴，
∴线段的长为．
故答案为：．
14. 如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点，交对角线于点．
（1）线段的长为________；
（2）________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）连接，先根据矩形的性质及勾股定理求出，再求出，可知，然后根据面积相等得出答案；
（2）延长交于点，根据勾股定理求出，即可得，再说明，可得，进而得出，然后证明，即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，连接．
∵四边形为矩形，，
∴，．
∵是的中点，
∴．
在中，由勾股定理得．
在矩形中，，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
（2）如图，延长交于点．
在中，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理，作出辅助线构造相似三角形是解题关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的计算，
根据，再计算即可．
【详解】解：原式
．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称的（点，，的对应点分别是点，，）；
（2）以点为位似中心在第四象限内画出的位似图形，使得与的相似比为．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质和位似图形，解题关键是能够由轴对称的性质（位似图形的性质）先确定变化后关键点的坐标，然后再连线即可．
（1）由轴对称的性质先确定，，的坐标，再描点，连线即可；
（2）根据位似图形的性质确定，再连线即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在中，是上的一点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】本题考查基础的相似三角形判定及性质，利用两个对应角相等进行三角形相似的判定是最常考的类型．
（1）利用相似三角形的判定定理证明；
（2）根据相似三角形对应边成比例进行计算即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，即．
∵，，
∴，
∴．
18. 研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示．
（1）当近视眼镜的度数是125度时，镜片焦距是多少米？
（2）小明原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求小明的眼镜度数增加了多少度．
【答案】（1）当近视眼镜的度数是125度时，镜片焦距是米
（2）小明的眼镜度数增加了50度
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的实际运用，求得反比例函数解析式并将矫正治疗后所配镜片焦距调整为代入反比例函数求出矫正后的度数是解题的关键．
（1）先设近视眼镜度数y度与镜片焦距x解析式为：，由函数图象可得，当时，，代入即可求解；
（2）将代入即可求得焦距为米时近视眼镜的度数，再与200度作比较即可求解．
【小问1详解】
解：设近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的反比例函数表达式为．
由图象可知，当时，，
∴，解得，
∴反比例函数表达式为．
当时，．
答：当近视眼镜的度数是125度时，镜片焦距是米．
【小问2详解】
解：当时，，
（度）．
答：小明的眼镜度数增加了50度．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在菱形中，，，点E是边的中点，连接．
（1）求的长；（结果保留根号）
（2）点F为边上的一点，连接，交于点G，连接，．求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题．
（1）只要证明是等边的高即可解决问题；
（2）由，可得，推出，又，即可推出；
【小问1详解】
解：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
【小问2详解】
证明：四边形是菱形，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
20. 如图为某城市公园平面示意图，为公园大门，，，分别为三个休闲点．经测量，，，在同一条直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，）
（1）求，两地的距离；（结果精确到0.1米）
（2）大门在休闲点的南偏西60°方向，求，两地的距离．
【答案】（1），两地的距离为339.4米
（2），两地的距离为米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，三角形外角的性质，
（1）作，根据三角形的外角的性质得，根据直角三角形的性质可得，即可得，，再根据特殊角的三角函数值求出，进而得出答案；
（2）作，根据特殊角的三角函数求出，再求出，然后根据得出答案．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点．
∵，，
∴，，
∴，，
在中，米，
∴（米），
∴（米）．
答：，两地的距离为339.4米．
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，则．
由（1）知米．
∵，，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴（米）．
在中，，
∴（米），
∴（米）．
答：，两地的距离为米．
六、（本题满分12分）
21. 如图，张大伯准备利用一面墙和一些竹篱笆围成一个矩形养殖场，且中间用竹篱笆隔开．已知竹篱笆的总长为，墙长为，设养殖场的一边长为，面积为．
（1）求S与的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当的长是多少米时，围成的养殖场面积最大？并求出最大面积．
【答案】（1）
（2）时，围成的养殖场面积最大，最大面积为
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．
（1）根据题意，花圃的宽为，则花圃的长为，结合矩形面积公式即可获得与的函数关系式；根据题意，墙的最大可用长度为，即可求得值的取值范围；
（2）由函数解析式，可知该函数图像开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，然后结合值的取值范围，即可获得答案．
【小问1详解】
解：由题意知养殖场的长为，
则．
∵，
∴，
∴S与的函数关系式为．
【小问2详解】
解：由题意，得．
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，S随的增大而减小．
又∵，
∴当时，S的值最大，
即时，围成的养殖场面积最大，最大面积为．
七、（本题满分12分）
22. 在中，，现有动点P从点C出发，沿向点A方向运动，动点Q从点B出发，沿向点C方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求：

（1）用含t的代数式表示 ， ；
（2）当t为多少时，的长度等于？
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？
【答案】（1），
（2）为0．2或3秒
（3）为2或
【解析】
【分析】此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
（1）根据题意列代数式即可．
（2）利用勾股定理求解即可．
（3）分情况讨论，和，代入求解即可．
【小问1详解】
解：用含的代数式表示，；
故答案为，．
【小问2详解】
解：在中，根据勾股定理得，，
，
解得：或，
当为0．2或3秒时，的长度等于．
【小问3详解】
解：以点为顶点的三角形与相似，且，
①，
，
，
，
②，
，
，
，
即当为2或时，以点为顶点的三角形与相似．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）过点作轴交直线于点，求的最大值；
（3）若点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点，使为等腰直角三角形，且？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）点的坐标为或
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，还考查了线段的最值，要注意分类讨论；还要注意求最大值可以借助于二次函数．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）求出直线的函数表达式为，设，求出，得到，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分点位于轴上方和点位于轴下方两种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，把，代入抛物线，
得
解得
∴该抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：设直线的函数表达式为．
把，代入，得
解得
∴直线的函数表达式为．
设．
∵轴，
∴，
∴．
∵，
∴当时，有最大值．
【小问3详解】
解：①当点位于轴上方时．
如图1，过点作垂直对称轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点，
则．
∵为等腰直角三角形，且，
∴，．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴，．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴．
设点的坐标为，此时，则，
∴．
∵点在抛物线上，
∴，
解得，（舍去），
∴点的坐标为；
②当点位于轴下方时．
如图2，设点的坐标为，此时，
同理得，则有，
解得，（舍去），
∴点的坐标为．
综上，点的坐标为或．