2024-2025学年河南省南阳市方城第一高级中学高一（下）质检数学试卷（7月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省南阳市方城第一高级中学高一（下）质检数学试卷（7月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，则AB−12AC=( )
A. OAB. OBC. OCD. OD
2.已知向量a=(1,0)+m(−1,2)，m∈R，b=(2,1)+n(0,1)，n∈R，若a=b，则m+n=( )
A. 4B. 2C. −2D. −4
3.若z= 3−i，则zi3+|z|2=( )
A. 3− 3iB. 1− 3iC. 3+ 3iD. 5+ 3i
4.已知tanα=−3，则sin2α−sin2α=( )
A. 23B. −23C. 32D. −32
5.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与B1C1所成角的余弦值为( )
A. 105B. 1010C. 55D. 510
6.如图(1)，函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,00,ω>0,|φ|0)．
(1)若f(x)的最小正周期为π，求f(x)的单调递增区间；
(2)若g(x)=f(x)−1在区间[0,π]上恰有两个零点，求ω的取值范围．
18.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意两个向量m=(x1,y1),n=(x2,y2).作：OM=m，ON=n，当m,n不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为S(m,n)=|x1y2−x2y1|；当m,n共线时，规定S(m,n)=0．
(1)已知m=(1,2),n=(2,4)，求S(m,n)；
(2)若向量p=λm+μn(λ,μ∈R,λ2+μ2≠0)，求证：S(p,m)+S(p,n)=(|λ|+|μ|)S(m,n)；
(3)记OA=a,OB=b,OC=c，且满足c=λa+μb(λμ>0,λ,μ∈R),a⊥b,|a|=|b|=|c|=1，求S(c,a)+S(c,b)的最大值．
19.(本小题17分)
某市组织了一场面向全市大学生、中学生、小学生的科技节活动，为了解对活动的满意度，特随机向参与活动的同学做问卷调查，共收集了1000份问卷，并统计每个问卷的满意度得分(满分100分)，绘制了如下频率分布直方图：
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该满意度得分的第80百分位数(精确到0.01)和总体平均数；
(3)已知填写问卷的同学中，大学生、中学生、小学生的人数比例为1：7：2，其中大学生满意度得分的平均数为86，方差为45.15；小学生满意度得分的平均数为96，方差为10.55.请结合频率分布直方图，估计中学生对该活动满意度得分的平均数和方差．
参考公式：若总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为(m,x−,s12)，(n,y−,s22)，(t,z−,s32).记总体样本平均数为w−，样本方差为s2，则s2=1m+n+t{m[s12+(x−−w−)2]+n[s22+(y−−w−)2]+t[s32+(z−−w−)2]}．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，
则AB−12AC=AB−AO=OB．
故选：B．
结合向量的基本运算即可求解．
本题主要考查了向量的基本运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：a=(1,0)+m(−1,2)=(1−m,2m)，b=(2,1)+n(0,1)=(2,1+n)，
a=b，则1−m=2，2m=1+n，解得m=−1，n=−3，
则m+n=−1−3=−4．
故选：D．
根据平面向量的加减法和数乘以及向量相等求解．
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：原式=( 3−i)i3+( 3+1)2=( 3−i)⋅(−i)+4=3− 3i.
故选：A．
根据复数的乘法运算以及模长公式计算即可．
本题考查复数的运算，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为tanα=−3，
所以sin2α−sin2α=sin2α−2sinαcsαsin2α+cs2α=tan2α−2tanαtan2α+1=(−3)2−2×(−3)(−3)2+1=32．
故选：C．
利用正弦的二倍角公式、弦化切可得答案．
本题考查了正弦的二倍角公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由题意在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2AB，
B1C1/​/BC，则∠CBA1(或其补角)为异面直线A1B与B1C1所成的角．
设AA1=2AB=2a，在△A1BC中，
A1B= A1B12+BB12= 5a,A1C= A1C12+CC12= 5a，BC=a，
由余弦定理得cs∠A1BC=A1B2+BC2−A1C22A1B⋅BC= 510．
故选：D．
根据正三棱柱特点B1C1/​/BC，则∠CBA1(或其补角)为异面直线A1B与B1C1所成的角，再在△A1BC中，应用余弦定理求解即可．
本题考查了异面直线所成角的求法，是中档题．
6.【答案】C
【解析】解：因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0