2024-2025学年上海市上海财经大学附属中学高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市上海财经大学附属中学高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共5页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，复数z=i(1−i)的虚部为( )
A. 1B. −1C. iD. −i
2.已知ΔABC的边BC上有一点DD满足BD=4DC，则AD可表示为
A. AD=14AB+34ACB. AD=34AB+14AC
C. AD=45AB+15ACD. AD=15AB+45AC
3.已知单位向量OA→,OB→的夹角为60∘，若OC→=2OA→+OB→，则ΔABC为( )
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
4.在等比数列an中，若a2= 2，a3=34，则a1+a15a7+a21=
A. 12B. 23C. 32D. 2
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.复数z=1+3i(i为虚数单位)的共轭复数z= ．
6.已知正方形ABCD的边长为1，则|AB+AD|= ；
7.在复平面内，复数6−5i、−2+3i对应的点分别为A、B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 ．
8.若2与a的等差中项与等比中项相等，则实数a的值为 ．
9.已知数列an为等差数列，前n项和为Sn，若a2=10，a7=76，则S8= ．
10.已知p、q都是实数，−2+3i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，p+q= ．
11.已知向量a与b的夹角为π6，a=(2,0)，则a在b方向上的数量投影为 ．
12.已知数列an的前n项和Sn满足Sn=3n−1，则其通项公式an= ．
13.已知数列an的首项a1=4，an+1=2an−3(n为正整数)，则数列an的通项公式an= ．
14.已知复数z满足|z−1−i|=1，则|z|的最小值是 ．
15.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1=29，且S10=S20，则Sn的最大值为 ．
16.若a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数，且a、b、−2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q+pq的值形成的集合是 ．
三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知k为实数，向量a=(k,−3)，b=(6,3−k)．
(1)若a//b，求k的值；
(2)若a⊥b，求|a−2b|的值．
18.(本小题14分)
已知i为虚数单位，m为实数，复数z=m−2i．
(1)若z⋅1−2i为实数，求m的值；
(2)若z为复数z的共轭复数，若复数zz在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
19.(本小题14分)
在数列ann∈N∗中，am=4，am+3=−2，其中m为给定的正整数．
(1)若an为等比数列，m=1，求a10；
(2)若an为等差数列，其n前项和为Sn，是否存在正整数m，使得S8=0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
20.(本小题14分)
设a、b∈R，已知x1、x2是关于x的方程x2+2ax+b=0的两个虚根．
(1)若a=1，求x1+x2的值；
(2)若x1x2=4，求a的取值范围；
(3)若x1−x2=2，x1x2+x2x1=1，求a和b的值．
21.(本小题14分)
已知数列an的前n项和为Sn，通项公式an=3n−1，数列bn的通项公式bn=2n−6，数列cn满足cn=1an．
(1)求证：数列cn是等比数列；
(2)求数列cn的前n项和Tn以及limn→+∞Tn的值；
(3)若Sn+12t>bn+n对任意的正整数n恒成立，求实数t的取值范围．
参考答案
1.A
2.D
3.C
4.A
5.1−3i
6. 2
7.2−i
8.2
9.344
10.17
11. 3
12.2×3n−1
13.2n−1+3
14. 2−1
15.225
16.9
17.【详解】(1)若a//b，则6×(−3)=(3−k)×k，
即k2−3k−18=(k−6)(k+3)=0
即k=−3或k=6；
(2)因为a⊥b，则a⋅b=6k−3(3−k)=0，则k=1，
所以a−2b=(1,−3)−2(6,2)=(−11,−7)，得a−2b= (−11)2+(−7)2= 170．

18.【详解】(1)z⋅1−2i=(m−2i)(1−2i)=m−2mi−2i+4i2=(m−4)−2(m+1)i是实数，
则−2(m+1)=0，m=−1；
(2)zz=m+2im−2i=(m+2i)2(m−2i)(m+2i)=m2−4+4mim2+4=m2−4m2+4+4mm2+4i，它对应的点在第四象限，
所以m2−4m2+4>04mm2+42(n−2)3n−1恒成立，所以t>2(n−2)3n−1max，
设dn=2(n−2)3n−1，
则dndn−1=2(n−2)3n−12(n−3)3n−2=n−23(n−3)≥1时，n≤72，dn单调递增；
，当n≥4时，dn单调递减；又d4=427，
所以dnmax=d3=29，所以t>29．