重庆市第八中学校2025届九年级下学期5月月考数学试卷(含解析)

这是一份重庆市第八中学校2025届九年级下学期5月月考数学试卷(含解析)，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的绝对值是（ ）
A．B．5C．D．
2．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，其总长度为55000米，则数据55000用科学记数法表示为（）
A．B．C．D．
3．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻B．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
C．任意画一个三角形，其内角和为D．明天会下雨
5．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（ ）
A．B．C．D．
6．估计的值在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
7．《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，中，，过点作的平行线交过点的圆的切线于点，若，则的度数是（ ）
A．74°B．67°C．66°D．60°
9．如图，正方形为中点，为对角线上一点，在延长线上，连接与交于点，若且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．设整式，其中为整数且．下列说法：
①可以表示为关于的二次多项式；
②若且，则；
③满足且的正整数解有7组．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．计算： ．
12．如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ．
13．在一个不透明的袋子里装有3个分别标有数字2，3，4的小球，这些球除标号外完全相同．从袋中随机抽取一个小球并记下数字后放回，将袋中小球摇匀，再随机抽取一个小球记下数字，两次记下的数字之和是奇数的概率为 ．
14．若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是 ．
15．如图，是的外接圆，过圆心作交于点，延长交于点，连接，点是劣弧的中点．在延长线上取一点，连接，使得．若，，则的半径为 ， ．
16．对于四位数，若百位数字与千位数字的差等于个位数字与十位数字的差的二倍，则称为“好事成双数”，将“好事成双数”的个位数字去掉记为，将千位数字去掉记为，并规定，则 ；若一个四位数，其中，均为整数）是“好事成双数”，且除以14余4，则满足条件的的最大值与最小值的差为 ．
三、解答题
17．解不等式组：
18．小明在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小明的操作：如图，在四边形中，，是对角线．
(1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，连接．（只保留作图痕迹）
(2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空）
证明：垂直平分，
在和中
______________________
四边形为平行四边形
又______________________
四边形为菱形
19．先化简再求值：，其中是从中选取的一个合适的数．
20．某校对八、九年级学生进行了“环保知识竞赛”，并从中分别随机抽取20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：得分用表示，分成四组：A． ，B．，C． ，D．．
八年级20名学生的成绩是：80，82，83，83，85，85，86，87，89，90，90，91，94，95，95，95，95，96，99，100；九年级20名学生的成绩在组中的数据是：90，91，90，93，94，92，93：
八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：___________，___________，___________；
(2)根据以上数据分析，你认为在此次“环保知识竞赛”中哪个年级的成绩更好？请说明理由；
(3)若八年级有500名学生，九年级有550名学生，学校计划对竞赛成绩不低于95分的学生进行奖励，估计八年级和九年级共有多少学生可以获得奖励？
21．某学校去年通过采购平台在某体育用品店购买品牌足球共花费元，品牌足球共花费元，且购买品牌足球数量是品牌数量的倍，每个足球的售价品牌比品牌便宜元．
(1)求去年品牌足球和品牌足球的单价；
(2)今年需要从该店再购买、两种足球共个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，品牌比去年降低了，品牌比去年提高了，如果今年购买、两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个品牌足球？
22．如图，在中，，，，点以每秒2个单位长度从点出发，沿方向匀速运动，至点停止．点以每秒1个单位长度从点出发，沿方向匀速运动，至点停止．两点同时出发，设运动时间为秒，取的中点为，连结和．过点作于点．运动过程中，的面积为的周长与与的周长之比为．
(1)请直接写出和关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（注：三角形的面积不得取0）
(2)在给定的平面直角坐标系中画出和的图象，并写出函数图象的一条性质；
(3)结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
23．某中学组织学生到重庆植物园进行植树，一志愿者团队在点集合，计划前往位于其正北方向的点植树，但由于段损毁严重，道路不能通行，于是该志愿者团队根据现场情况拟定了两种方案：
方案一：从点沿着路线步行前进，其中点在点的正东方向，点在点的西北方向，志愿者在段步行过程中清除路障需花10分钟；
方案二：从点沿着路线步行前进，其中点在的延长线上，点在点的北偏西方向，点为和的交点，全程道路畅通，已知，米，志愿者步行速度为80米/分钟．
(1)求的长；（结果保留整数）
(2)哪种方案到达点所花时间更短？请说明理由．（参考数据：）
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，交轴于点，点和点是直线上的两个动点（点在点的下方），且，连接．当有最大值时，求的最小值；
(3)如图2，在轴上取点，将抛物线沿射线平移，平移后的新抛物线与轴交于点，交轴于点点，点在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点，直线与直线所成夹角为，直接写出点的横坐标，并写出其中一个点的求解过程．
25．如图，和为等腰直角三角形，．
(1)如图1，点、点分别在、上，连接，若，求的长度：
(2)如图2，连接，点为上一点，连接、，满足，，请探究的数量关系并证明；
(3)如图3，在（1）的条件下，将绕着点旋转度得到，连接，当最小时，求的面积．
《重庆市第八中学校2024-2025学年九年级下学期5月月考数学试题》参考答案
1．B
解：是负数，所以，
故选B．
2．B
数据55000用科学记数法表示为．
故选：B．
3．A
解：依题意，
解得：
故选：A．
4．C
A、打开电视机，正在播放新闻，是随机事件，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意；
D、明天会下雨，是随机事件，不符合题意；
故选：C．
5．D
解：与是以点O为位似中心的位似图形，
，，
，
，
，
，
，
的值为．
故选：D．
6．A
解：，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
7．C
解：根据题意，可得．
故选：C．
8．B
如图，连接．
∵．
∵，，
∴()，
∴．
∵，
∴，
∵为切线，
∴，
∴．
∵，
∴．
故选B．
9．C
解：∵为中点，
∴，
∵为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
过作于点，过作交于点，
∵，
设，，
∵，，
设，，
在中，由勾股定理得：
得，
解得：或，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴（舍去）即，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴即，
∴，
∵， ，
∴，
∴．
故选：C．
10．B
【分析】本题考查了多项式的定义，三元一次方程组的整数解，不等式的性质；根据二次多项式得到
解：①若表示为关于的二次多项式，则，不满足，故①错误；
②若且，则
，
∴，
故②错误；
③∵且，
∴，，
∴，
∴正整数或或，
当时，，则或或或，一共4组正整数解，
当时，，则或，一共2组正整数解，
当时，，，一共1组正整数解，
综上，满足且的正整数解有7组，
故③正确．
故选：B．
11．3
解：
，
故答案为：3．
12．/100度
解：∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
解：根据题意列表如下，
共有9种可能，其中和为奇数的有4种，
∴两次数字之和为奇数的概率是．
故答案为：．
14．
解：关于x的不等式组整理得到：
，
∵不等式组的解集为，
∴；
分式方程两边都乘以得：，即．
∵y有非负解且，
∴且，解得：且．
∴且，
∴整数m为：它们的和为．
故答案为：．
15．
解：连接，，交于点，则，
∵点是劣弧的中点．
∴
∴，则垂直平分，
∴，
∵，
∴，即，
设，，则，
∴，即，，
设的半径为，则，
在中，，即，
解得：，则，
∴，
由圆周角定理可知，，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
过点作，则四边形是矩形，则，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
在中，，
故答案为：，．
16．
解：依题意，
∵
∴
∴，
∵
∴
；
∵，其中，均为整数）是“好事成双数”
∴
∴
即
∵，
∴
∵除以14余4，
∴除以14余4，
又∵
∴
∴除以14余4，且是的倍数，
又∵
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴
即
∵
∴或
∵
当时，取得最大值，的千位为，百位为，
当时，取得最小值，的千位为，百位为，
又∵，
∴最大值为，最小值为：
∴取得最大值时，的十位为，个位为，取得最小值时，的十位为，个位为，
∴最大值为，最小值为
∴最大值与最小值的差：
故答案为：，．
17．
解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
18．(1)见详解
(2)①；②；③；④；
（1）解：如图所示，即为所求：
（2）证明：垂直平分，
，，
，
．
在和中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．
又，
四边形为菱形．
19．；
解：
∵
∴时，原式
20．(1)，，
(2)九年级成绩更好，理由见解析
(3)人
（1）解：由八年级20名学生的成绩可得八年级成绩的众数为95，故；
九年级A组人数为（人），
B组数据为（人），故中位数在C组，
为，故，
D组所占的百分数为：，故
故答案为：；；；
（2）解：九年级成绩更好；理由如下，
∵九年级成绩的中位数和众数，都高于八年级，
∴九年级成绩更好
故答案为：九年级；
（3）解：八年级成绩不低于95分的有7人，九年级学生成绩不低于95分的即为D组的人数，占，
八年级和九年级可以获得奖励的学生有：（人），
答：八年级和九年级可以获得奖励的学生有人．
21．(1)去年品牌足球的单价为元，则去年品牌足球的单价为元
(2)学校至少要购买个品牌足球
（1）解：设去年品牌足球的单价为元，则去年品牌足球的单价为元，
根据题意可得：，
解得：，
将检验，是原方程的解，
，
答：去年品牌足球的单价为元，则去年品牌足球的单价为元；
（2）今年品牌足球的单价为元，
今年品牌足球的单价为元，
设学校今年购买个品牌足球，
根据题意可得：，
解得：，
答：学校至少要购买个品牌足球．
22．(1)，
(2)图见详解，在时，随的增大而减小．
(3)或．
（1）解：过点F作，如图所示：
∵，，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
则，
∴；
∵点以每秒2个单位长度从点出发，沿方向匀速运动，至点停止．
∴，
∴，，
在时，；
在时，；
综上，；
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴，
∴；
则的周长，的周长，
．
（2）解：如图所示：
∴
依题意，在时，随的增大而减小．
（3）解：结合图象，当时，则或．
23．(1)
(2)方案一到达点所花时间更短
（1）解：如图，
由题意可得，，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
中，，，
∴，，
∴，
∴，，
∵中， ，
∴，
解得，
∴；
（2）解：方案一到达点所花时间更短，理由如下：
由（1）可得，，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴方案一：从点沿着路线步行前进，用时（分钟）；
方案二：从点沿着路线步行前进，用时（分钟）；
∴方案一到达点所花时间更短．
24．(1)
(2)
(3)点的横坐标为或
（1）解：∵抛物线与轴交于点，，
∴抛物线解析式为
（2）解：当时，，则，
设直线的解析式为，代入
，
解得：
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴
当时，有最大值，
当时，，此时
如图，将点向左平移个单位，向下平移1个单位得到，
∴
∴
∵，且在直线上，将向左平移个单位，向下平移1个单位得到
∴
∴四边形是平行四边形
∴
∴
∴当在上时，取得最小值，
最小值为
（3）解： ∵，，
∴
∴
将抛物线沿射线平移，平移后的新抛物线与轴交于点，
原抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴将点平移到点，即向左平移个单位，向上平移个单位得到，
而平移方向与水平方向的夹角的正切为
∴平移方向沿射线平移，
∴将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，平移后的新抛物线与轴交于点，
∴新抛物线解析式为，
当时，
∴
当时，
∴，
∴重合，
又∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
∵直线与直线所成夹角为
∴和平行，或和和平行，
∵，
∴
∴，
当和平行，如图，过点作轴，
∵
∴
∵
∴
∴
∵折叠，
∴
∴，则
∴
设直线的解析式为
则
∴
∴
联立
即：
解得：或（舍去）
∴点的横坐标为；
当和和平行，如图，
同理可得，，直线的解析式为
联立
即：
解得：或（舍去）
∴点的横坐标为；
综上所述，点的横坐标为或．
25．(1)
(2)，理由见解析
(3)
（1）解：如图，过点作交于点，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，延长至点，使得，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
设，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：∵点是绕点旋转而来，
∴，
∴点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆，
∵，
∴，
∴，
在上取点，使得，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由两点之间线段最短，可知，当、、依次共线时，最小，最小值为，
则此时最小，
此时点位置如图，过点作于点，过点作于点，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
设，，
∵，
∴，
即，
解得：（负值舍），
∴，
∴的面积．
年级
平均数
中位数
众数
八年级
90
90
九年级
90
100
2
3
4
2
4
5
6
3
5
6
7
4
6
7
8