重庆市第八中学校2025届九年级上学期第三次月考数学试卷(含解析)

这是一份重庆市第八中学校2025届九年级上学期第三次月考数学试卷(含解析)，共33页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑．
1. -2025的倒数是（ ）
A. 2025B. C. -2025D.
【答案】B
解析：解：-2025的倒数是，
故选：B．
2. 如图，是某几何体的三视图，该几何体是（ ）

A. 三棱柱B. 四棱柱C. 圆柱D. 圆锥
【答案】C
解析：解：主视图和左视图是长方形，俯视图是圆，则该几何体是一个圆柱，
故选：C．
3. 点和点都在直线上，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：∵，
∴在第一象限y随x的增大而减小，
又∵点和点都在直线上，且，
∴．
故选：A．
4. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 守株待兔B. 旭日东升C. 大海捞针D. 水中捞月
【答案】B
解析：解：A、守株待兔，是随机事件，不符合题意；
B、旭日东升，是必然事件，符合题意；
C、大海捞针，是随机事件，不符合题意；
D、水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
故选：B．
5. 下列计算，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：A．3与不是同类项，不可合并，则此选项错误；
B．与不是同类项，不可合并，则此选项错误；
C．，则此选项正确；
D．与不是同类项，不可合并，则此选项错误；
故选：C．
6. 如图，点都在格点上，点是线段与网格的交点，每个小格是长度为1的正方形，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：如图：，
∴，
在中，，
则：，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
7. 如图，数轴上有三点，为原点，分别表示仙女座星系、黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点表示的数最为接近的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：观察数轴，，
∴
故选：C．
8. 如图，半径为5的，直径垂直于与，点为弧上一点，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：直径垂直于与，
，，，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是平行四边形，
，
；
故选：C．
9. 如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：四边形正方形，
，，
为边的中点，
，
沿折叠后得到，
，，，
，，
，．
设，，
，
，
中，，
，
又，
，
，
，
故选：C．
10. 已知，从中随机取两个字母作差后取绝对值，记为；将剩下两个字母中任意一个与作差后取绝对值，记为；再对进行化简运算，称为“调整和差操作”．例如：如果且，则为一次“调整和差操作”，为“调整和差操作”的一种运算结果．下列说法：
①存在“调整和差操作”运算结果的和为；
②不存在“调整和差操作”运算结果的差为；
③所有的“调整和差操作”共有11种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
解析：解：根据题意，所有的“调整和差操作”共有12种形式，运算A时，需考虑6种情况；运算B时，需考虑12种情况．得出：
（1）当，时，；
（2）当，时，；
（3）当，时，；
（4）当，时，；
（5）当，时，；
（6）当，时，；
（7）当，时，；
（8）当，时，；
（9）当，时，；
（10）当，时，；
（11）当，时，；
（12）当，时，；
综上，得8种不同运算结果，因此题目的说法③不正确；
不存在“调整和差操作”运算结果的和为，因此题目的说法①不正确；
不存在“调整和差操作”运算结果的差为，因此题目的说法②正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。
11. 计算：_______．
【答案】
解析：解：原式，
故答案为：．
12. 一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是_______．
【答案】7
解析：解：设多边形边数为n，根据题意得：
，
解得 ，
故答案为：7．
13. 超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为400元。因销量持续攀升，商家在3月份提价，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率连续降价．已知5月份礼盒的售价为384元，则_______．
【答案】0.2
解析：解：根据题意得，
解得，（不合理舍去）．
所以4，5月份两个月平均降价率为0.2，即．
故答案为：0.2．
14. 小明和小华所在的班级需要到校大礼堂统一听讲座，该校大礼堂共有4个入口，每个学生可以选择其中任意一个入口进入大礼堂．则小明和小华从不同入口进入校大礼堂的概率是_______．
【答案】
解析：解：设该校大礼堂个入口分别为，，，，
根据题意，画树状图如下：
由树状图可以看出，小明和小华进入校大礼堂的情况共有种，其中小明和小华从不同入口进入校大礼堂的情况共有种，
小明和小华从不同入口进入校大礼堂的概率是，
故答案为：．
15. 如图，在中，，点，点是线段上的点，连接．若为等边三角形，，则_______．
【答案】##
解析：解：∵为等边三角形，
∴，
∴
又∵，
∴
∵
∴
∴，
∴
∵，
∴，，
∴
解得:，
故答案为：．
16. 如果关于的不等式组至少有三个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为_______．
【答案】8
解析：解：解不等式组，得：，
不等式组至少有三个整数解，
∴，至少有，0，1三个整数解
，
解得：，
解关于的分式方程，
得：，且，
∴，
分式方程解为非负整数，且，
符合条件的所有整数的值为，，，，
符合条件的所有整数的和为．
故答案为：8．
17. 如图，四边形内接于，连结为的直径，是的中点．过点作的切线，交的延长线于点，且，则的长为_______，的半径为_______．
【答案】 ①. ②.
解析：解：连接，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴由勾股定理得：，
∴；
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴半径为，
故答案为：；．
18. 一个正整数能够写成两个正整数与的差与它们的乘积之和，即，那么叫做“成长数”．例如，所以与都是“成长数”．若，则满足条件的“成长数”中最大的数是_______；若，取、中较大的数为个位数字，较小的数为十位数字组成的两位数记为，将的个位数字与十位数字交换后形成的新两位数记为．记，，若为完全平方数，且能被整除，则满足条件的“成长数”的值为_______．
【答案】 ①. ； ②. ．
解析：解：，则，
这个“成长数”为：，
整理得：，
当时，这个“成长数”有最大值，最大值是；
由题意可得：，，
则，，
，
、都为整数且，
，且整数，
又是完全平方数，
或，
或，
能被整除，
则(为整数)，
整理得：，
、都为整数且，
为正整数，
当时，，
整理得：，
当时，，
则此时，则，
，故符合题意，
当时，，
整理得：，
不存在的值使为到之间的整数，
符合题意的只有、，
此时的“成长数”为．
故答案为：， ．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）
19. 计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
20. 某校在七、八年级中开展了安全知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分成四组：
A．；B．，现在给出了部分信息如下：
七年级10名学生的竞赛成绩：81，85，99，95，90，99，100，83，89，99．
八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据：93，94，95．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出的值．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级抽取的学生对安全知识的掌握程度更好？请判断并说明理由．（写出一条即可）
（3）若该校七、八年级共600名学生参加了此次竞赛，试估计这600名学生中此次竞赛成绩为优秀的学生总人数．
【答案】（1），，
（2）八年级，理由见解析
（3）240人
【小问1详解】
解：依题意，，
，
八年级组的有2人，组的有1人，组有3人，
将这10人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数是94，95，
因此中位数，
七年级生的竞赛成绩中99分的最多，则众数；
【小问2详解】
解：八年级抽取的学生对安全知识的掌握程度更好，
理由：八年级抽取的学生竞赛成绩的中位数大于七年级抽取的学生竞赛成绩的中位数，（理由不唯一，合理即可）；
【小问3详解】
解：（名），
答：估计这600名学生中此次竞赛成绩为优秀的学生的总人数是240名．
21. 如图，在中，．
（1）用直尺和圆规完成以下基本作图：过顶角顶点作底边的垂线，交于点；在的下方作，与交于点，连接．
（2）小明想要研究四边形的形状，请根据他的思路完成以下填空．
证明：，，
，①_______，
，
②_______，
，
又，
，
③_______
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形菱形，
小明进一步思考，若在等腰直角三角形中进行以上操作，则四边形的形状是
④_______，
【答案】（1）图见解析
（2），，，正方形
解析：解：（1）按照要求作图如下：
（2），，
，，
，
，
，
又，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
进一步思考，若在等腰直角三角形中进行以上操作，则四边形的形状是正方形，
故答案为：，，，正方形．
22. 重庆火锅深受全国游客的的喜爱，其中毛肚和鸭肠是最畅销的两款菜品，某网红火锅店2份毛肚和3份鸭肠共166元：4份毛肚和5份鸭肠共302元．
（1）求毛肚和鸭肠的单价；
（2）元旦将至，火锅店的食材进价上涨了，其中某网红菜品的每份进价上涨了，涨价后花1500元进货该菜品的份数比涨价前花同样的钱进货的该菜品份数少了10份，求该网红菜品涨价前的每份进价．
【答案】（1）38元，30元
（2）25元
【小问1详解】
解：设毛肚和鸭肠的单价分别为元，元，由题意得：
，
解得：，
答：毛肚和鸭肠的单价分别为38元，30元．
【小问2详解】
解：设该网红菜品涨价前的每份进价为m元，由题意得：
，
解得：，
经检验：为原分式方程的解，且符合题意，
答：设该网红菜品涨价前的每份进价为25元．
23. 如图，在四边形中，平分．动点从点
出发，沿方向以每秒的速度运动，运动至点停止运动．设动点运动的时间为秒的面积为．
（1）请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围；
（2）若函数，在给定的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
【答案】（1）
（2）图象见详解；当时，随的增大而增大；当时，的值恒为9．
（3）或
【小问1详解】
解：∵，每秒的速度运动，
∴整个路径长度为，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
过点P作交于点E，过点D作交的延长线于点F，如图，
则，
当点P在线段上运动时，，则，
当点P在线段上运动时，，此时，，则，
当点P在线段上运动时，，此时，
，则，
则
【小问2详解】
解：如图，
由图可得：当时，随的增大而增大；当时，．
【小问3详解】
解：由图像可知，当或时，满足．
24. 周末，小宏和小帆准备相约去湖边景点钓鱼．如图，为同一平面内的四个景点．已知景点位于景点的正东方向，景点位于景点的正东方向，景点位于景点的西南方向3000米处，景点位于景点的南偏西方向，景点位于景点的北偏东方向．（参考数据：，）
（1）求景点到景点的距离。（结果保留根号）
（2）小宏选择路线以米/秒前往景点处，小帆选择路线以米/秒前往景点，两人在各景点处停留的时间忽略不计。已知两人同时出发且匀速前进，请通过计算说明谁先到达景点．（结果保留1位小数）
【答案】（1）米
（2）小宏
【小问1详解】
解：过作于，过作于，如图所示：
由题意得：，
在中，，
，
在中，，
，
答：景点D到景点的距离为米．
【小问2详解】
解：由（1）知：四边形为矩形
，
在中，，
，
，
∴，
在中，，
，
∴，
，
小宏：（秒），
小帆：（秒），
，
小宏先到达景点．
答：小宏先到达景点．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，其中点为．
图1 图2 图3
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，点是直线上方抛物线上一动点，点为直线上一动点，轴于点，连接，，，当的面积取得最大时，求的最小值；
（3）如图3，将抛物线沿着水平方向平移，使得新抛物线经过点，交轴于点，点，点Q为平移后新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【小问1详解】
解：直线交坐标轴于，两点，
令，则，
令，则，
解得：，
点，，
直线与抛物线交于，两点，
将，两点坐标代入抛物线解析式，可得：
，
解得：，
该抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：如图，过点作轴交于点，
设，则，
点是直线上方抛物线上一动点，
，
，
，
当时，取得最大值，此时，
四边形为矩形，轴于点，
，，
，
当点，，共线时，取得最小值，
，
的最小值为；
【小问3详解】
解：由（1）可知：该抛物线解析式为，
其顶点坐标为，
令，则，
解得：，，
平移前抛物线与轴的右侧交点为，
将抛物线沿着水平方向平移，且平移后的抛物线经过点，
该平移是将抛物线沿轴向左平移个单位长度，
平移后的新抛物线顶点坐标为，即，
平移后的新抛物线解析式为，
如图，过点作轴于点，
，
，，
易证得四边形是正方形，
由（1）可知：，
为中点，
由正方形的性质可知：，
，
，
过点作交于点，过点作轴于点，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
设的函数解析式为，
将，代入，得：
，
解得：，
的函数解析式为，
根据题意可得：，
解得：，，
；
如图，作点关于直线的对称点，设交抛物线于点，
易知，
根据轴对称的性质可得：，即，
设的函数解析式为，
将，代入，得：
，
解得：，
函数解析式为，
根据题意可得：，
解得：，，
；
综上所述，点的坐标为或．
26. 已知，与均为直角三角形，．
（1）如图1，若点共线，连接，且，求的长；
（2）如图2，若，连接，并延长交于点，，猜想与的数量关系并证明；
（3）如图3，，连接，点，点分别为与的中点，连接，记的最大值为的最小值为，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
解：如图：记，的交点为，
∵点共线，，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，，
∵，
∴在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，理由如下，
证明：延长至点，使得，连接，
∵，
∴,
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵,
∴，
∴，
设，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可求：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：取中点为点，链接，
∵点，点分别为与的中点，
∴，
在中，有，
∴的最大值为，最小值为，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
即：，
∴，
∴，
即，
∴．
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
92.5
众数
100