安徽省合肥市第三十八中学2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题

这是一份安徽省合肥市第三十八中学2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题，共33页。
1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟；
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共4页；
3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的；
4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 在下列关于的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列函数中的值随值的增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列抛物线中，对称轴为直线的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
5. 若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为( )
A. k＞﹣1B. k≥﹣1C. k＞﹣1且k≠0D. k≥﹣1且k≠0
6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在直线上，顶点在函数的图象上，、两点在轴上．若点的横坐标为，则的值为（ ）
A 6B. C. 12D.
7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）
A. B.
C D.
8. 如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ）
A. 1班B. 2班C. 3班D. 4班
9. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3，则当时，自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. 或D. 或
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 抛物线的顶点在x轴上，则m的值是__________．
12. 掷实心球是中考体育考试选考项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度与水平距离之间满足二次函数关系，小明利用先进的鹰眼系统记录了某次投球过程，实心球在空中运动时的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）的数据如表：
在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离为_________．
13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，抛物线与轴交于C、D两点，其中．若，则n的值为________．
14. 如图，抛物线是由抛物线向上平移个单位得到的，与轴于点A、B（点在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）则_________；
（2）若将抛物线绕点旋转，得到新抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则_________．
三、解答题（共9小题，15－18题，每题4分，共计32分；19－20题，每题10分，共计20分；21－22题，每题12分，共计24分；23题14分）
15. 已知与成反比例函数关系，且当时，．求：
（1）y与x的函数关系式；
（2）当时，y的值．
16. 已知二次函数．
（1）求该二次函数图象与轴的交点坐标，并直接写出：函数的对称轴为直线_________．
（2）若，当时，的最大值是4，求当时，的最小值；
17. 如图，点P是反比例函数图象上的一个动点，作轴于点H，点Q是PH的中点，设点Q的坐标为．
（1）n是m的______函数，并加以说明．（填“一次”或“反比例”）
（2）当时，求m取值范围．
18. 已知抛物线与x轴交于A、B两点，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）如图1，M为抛物线与y轴的交点，直线l为抛物线的对称轴，请画出点M关于直线l的对称点N．
（2）如图2，四边形为矩形，请画出抛物线的对称轴．
19. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如果点在轴上，且是等腰三角形，求点的坐标．
20. 如图，直线与双曲线相交于、两点，与x轴相交于点C．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接、，求的面积；
（3）直接写出当时，关于x的不等式的解集．
21. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线经过、两点．

（1）求二次函数的表达式．
（2）求点的坐标及直线的表达式．
（3）在直线上方的抛物线上存在一动点，过点作轴，交于点，请求出线段的最大值．
22. 某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润＝日销售量×（销售单价－成本单价）]
（1）根据以上信息，求日销售量y（件）关于销售单价x（元）的函数关系式；
（2）①填空：该产品的成本单价是_______元，表中a的值是_______．
②求该商品日销售利润的最大值．
（3）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（），该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，求m的值．
23. 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习：
2024－2025学年度九年级第一学期期中考试
数学试卷
注意事项：
1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟；
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共4页；
3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的；
4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 在下列关于的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，从而完成求解．根据二次函数的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】解∶A．当时，不是二次函数，故不符题意；
B． 不是二次函数，故不符题意；
C． 是二次函数，故符符合题意；
D．不是二次函数，故不符题意；
故选∶C．
2. 下列函数中的值随值的增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数、二次函数及反比例函数的性质，熟练掌握一次函数、二次函数及反比例函数的增减性是解题关键．根据一次函数、二次函数及反比例函数的增减性逐一判断即可得答案．
【详解】解：A．∵中，，
∴随的增大而减小，故该选项符合题意，
B．在中，，
∴图像开口向上，对称轴为轴，
∴当时，随的增大而减小，当x>0时，随的增大而增大，故该选项不符合题意，
C．在中，，
∴图像在一、三象限，在各自象限，随的增大而减小，故该选项不符合题意，
D．在中，，
∴随的增大而增大，故该选项不符合题意，
故选：A．
3. 下列抛物线中，对称轴为直线的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了抛物线求对称轴方程的公式：．
利用抛物线对称轴的公式即可确定每一个函数的对称轴，然后即可确定选项．
【详解】解：A、的对称轴为直线，故选项符合题意．
B、的对称轴为直线，故选项不符合题意．
C、的对称轴为直线，故选项不符合题意．
D、的对称轴为直线，故选项不符合题意．
故选：A．
4. 已知点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，根据反比例函数性质，反比例函数图象分布在一、三象限，在每一个象限y随x的增大而减小，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴反比例函数图像分布在一、三象限，在每一个象限y随x的增大而减小，
∵，，
∴，，
∴．
故选：D．
5. 若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为( )
A. k＞﹣1B. k≥﹣1C. k＞﹣1且k≠0D. k≥﹣1且k≠0
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．
【详解】∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1，
∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数，
∴k≠0，
则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于0.
6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在直线上，顶点在函数的图象上，、两点在轴上．若点的横坐标为，则的值为（ ）
A. 6B. C. 12D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用直线解析式求出正方形边长是关键．
根据题意可知点横坐标，利用直线解析式得到，依据正方形性质推出，根据点的坐标求出值即可．
【详解】解：∵点的横坐标为，
∴，
∵直线，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在反比例函数图象上，
∴．
故选：C．
7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的识别，熟练掌握二次函数图像与一次函数图像的性质是解题关键．根据图像分别判断二次函数解析式中的符合以及一次函数解析式中的符合，判断是否一致，即可获得答案．
【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意．
故选：B．
8. 如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ）
A. 1班B. 2班C. 3班D. 4班
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用，读懂题意，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决问题的关键．
设反比例函数表达式为，过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，设1班点为x1,y1，2班点x2,y2，3班点为，4班点，点为，点为，然后比较，，，与的大小即可得出答案．
【详解】解：设反比例函数的表达式为，
过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，

设1班点x1,y1，2班点x2,y2，3班点为，4班点，点为，点为，
由图象可知：，，
依题意得：，，，分别为1班，2班，3班，4班的优秀人数．
1班点，点，点，4班点在反比例函数的图象上，
，
，，
，，
，
即：2班优秀人数1班优秀人数4班优秀人数3班优秀人数，
2班的优秀人数为最多．
故选：B．
9. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得．
【详解】解：∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
∴关于对称轴对称的点坐标为，
∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，
∴，
故选：D．
10. 如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3，则当时，自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象和性质；根据二次函数与一次函数在A、B处的函数值相等，得出，求出，然后把代入，可得出，然后根据乘法法则得出或，最后解不等式组即可．
【详解】解：把点的横坐标是，点的横坐标是3代入直线，得，；
把点的横坐标是，点的横坐标是3代入直线，得，；
∴，解得
把代入，得，
由函数图象知：抛物线开口向上，
∴a>0，
∴，
∴，
∴或，
解得，
故选：A．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 抛物线的顶点在x轴上，则m的值是__________．
【答案】####1.125
【解析】
【分析】抛物线的顶点在x轴上时，抛物线与x轴的交点只有一个，因此根的判别式，可据此求出m的值．
【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上，
∴，即，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数与x轴的交点个数与的关系是解题的关键，当时，二次函数与x轴有两个交点，当时，二次函数与x轴有一个交点，当时，二次函数与x轴没有交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12. 掷实心球是中考体育考试选考项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度与水平距离之间满足二次函数关系，小明利用先进的鹰眼系统记录了某次投球过程，实心球在空中运动时的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）的数据如表：
在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用．通过图表求出抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，再代入0,2即可求出解析式；把代入，即可求出x的值即可得到结果．
【详解】解：由表格可知当时，；当时，，
可得对称轴为直线，顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
把0,2代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
令，则，
解得，或（舍去），
∴实心球从起点到落地点的水平距离为．
故答案为：．
13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，抛物线与轴交于C、D两点，其中．若，则n的值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，根据题意用表示出，列出关于的方程是解题的关键．先求出抛物线与轴的交点，抛物线与轴的交点，然后根据，得出，列出关于的方程，解方程即可．
【详解】解：把代入得：，
解得：，，
把代入得：，
解得：，，
，
，
，即，
，
令，则，
解得：，，
当时，，解得：，
，
不符合题意，舍去；
当时，，解得：，
，
符合题意；
综上分析可知，的值为3，
故答案为：3．
14. 如图，抛物线是由抛物线向上平移个单位得到的，与轴于点A、B（点在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）则_________；
（2）若将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查二次函数、平行四边形的性质，灵活利用平行四边形的性质是解题的关键．
（1）根据二次函数平移的性质求解即可；
（2）利用矩形性质得出要使四边形是矩形，必须满足，继而可求出b的值．
【详解】解：（1）∵抛物线是由抛物线向上平移个单位得到的，
∴，
故答案为：；
（2）解：令，得：．
∴，
∵，
∴，
令，得：，
∴，
∴，，
∴
∴，
要使四边形是矩形，必须满足，
∴
∴，
解得，（舍去）
∴，
故答案为：．
三、解答题（共9小题，15－18题，每题4分，共计32分；19－20题，每题10分，共计20分；21－22题，每题12分，共计24分；23题14分）
15. 已知与成反比例函数关系，且当时，．求：
（1）y与x的函数关系式；
（2）当时，y的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数，求函数值等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）依题意，列式，再把和代入代入进行计算，即可作答．
（2）根据（1）得出，再结合，代入计算，即可作答．
【小问1详解】
解：∵与成反比例函数关系
∴
把和代入
得
即
∴
∴；
【小问2详解】
解：依题意，把代入
得出
16. 已知二次函数．
（1）求该二次函数图象与轴的交点坐标，并直接写出：函数的对称轴为直线_________．
（2）若，当时，的最大值是4，求当时，的最小值；
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的最值、与轴的交点坐标以及对称轴，掌握相关函数结论是解题关键.
（1）对于二次函数，当时求得的自变量的值，也就是二次函数图象与轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解，据此即可求解．
（2）根据对称轴直线和开口方向即可求解．
【小问1详解】
解：令，则，
∵，
∴，
解得：，
∴该二次函数图象与轴的交点坐标为：；
函数的对称轴为直线；
【小问2详解】
解：若，则抛物线开口向上，
∵，对称轴为直线，
∴当x=−1时，有最大值，
即：，解得：；
当时，有最小值，
且最小值为：
17. 如图，点P是反比例函数图象上的一个动点，作轴于点H，点Q是PH的中点，设点Q的坐标为．
（1）n是m的______函数，并加以说明．（填“一次”或“反比例”）
（2）当时，求m的取值范围．
【答案】（1）反比例 （2）．
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，求得是解题的关键．
（1）由题意可知，代入即可得到，即可得到是的反比例函数；
（2）求得时的的值，然后结合图象即可求得当时的取值范围．
【小问1详解】
解：作轴于点，点是的中点，设点的坐标为，
，
点是反比例函数图象上的一个动点，
，
，
是的反比例函数，
故答案：反比例；
【小问2详解】
解：当时，求得，
当时，的取值范围是．
18. 已知抛物线与x轴交于A、B两点，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）如图1，M为抛物线与y轴的交点，直线l为抛物线的对称轴，请画出点M关于直线l的对称点N．
（2）如图2，四边形为矩形，请画出抛物线的对称轴．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的对称性，矩形的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．
（1）连接交直线l于C，连接并延长交抛物线于N即可；
（2）连接、相交于Q，作直线交抛物线于M、N，连接、，相交于P，过P、Q作直线l即可．
【小问1详解】
解∶如图，N即为所求，
；
【小问2详解】
解∶直线l即为所求，
19. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如果点在轴上，且是等腰三角形，求点的坐标．
【答案】（1），
（2）或或或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与特殊三角形，待定系数法法等知识，解题的关键是：
（1）把点、代入求解即可；
（2）分；；三种情况讨论即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于点、，
∴，
解得，
∴，
∴顶点坐标为；
【小问2详解】
解：当时，，
∴，
设，
当时，
则，
解得，
∴P的坐标为；
当时，
则，
解得或（舍去），
∴P的坐标为；
当时，
则，
解得，
∴P的坐标为或，
综上，P的坐标为或或或．
20. 如图，直线与双曲线相交于、两点，与x轴相交于点C．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接、，求的面积；
（3）直接写出当时，关于x的不等式的解集．
【答案】（1）一次函数的表达式为；反比例函数表达式为
（2）4 （3）或
【解析】
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
（1）将已知点坐标代入反函数表达式，再求解B的坐标，再求解一次函数的解析式即可；
（2）先求解D的坐标，结合点A，点B的坐标，然后根据的面积即可以解决问题；
（3）根据图象即可解决问题．
【小问1详解】
解：将代入，得，
∴反比例的解析式为；
把代入，
∴，
∴，
将，代入，得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
【小问2详解】
解：对于，
当时，
∴点D的坐标为0,4，
∴点B的坐标为，，
∴的面积；
小问3详解】
解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或．
21. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线经过、两点．

（1）求二次函数的表达式．
（2）求点的坐标及直线的表达式．
（3）在直线上方的抛物线上存在一动点，过点作轴，交于点，请求出线段的最大值．
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）将A代入二次函数表达式，求出c值即可得解；
（2）根据二次函数表达式可得点C坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式；
（3）设，，求出，再利用二次函数的最值求解．
【小问1详解】
解：将代入中，得：，
解得：，
∴；
【小问2详解】
在中，令，则，
∴，
将，代入中，得：，
解得：，
∴直线的表达式为：；
【小问3详解】
设，其中，
则，
∴，
∴当时，线段的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值问题，解题的关键是正确求出函数解析式，表示出的长．
22. 某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润＝日销售量×（销售单价－成本单价）]
（1）根据以上信息，求日销售量y（件）关于销售单价x（元）的函数关系式；
（2）①填空：该产品的成本单价是_______元，表中a的值是_______．
②求该商品日销售利润的最大值．
（3）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（），该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，求m的值．
【答案】（1）
（2）①40，5440；②6250元
（3）2
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是熟练销售问题的数量关系．
（1）由题意商品的日销售量（件与销售单价（元之间满足一次函数关系，利用待定系数法求解即可；
（2）①根据日销售利润日销售量（销售单价成本单价）即可求解；
②根据二次函数顶点式即可求解；
（3）根据日销售利润日销售量（销售单价成本单价），把销售的最大利润代入即可求解．
【小问1详解】
解：设日销售量（件与销售单价（元之间满足的一次函数解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：①设该产品的成本单价是元，
根据题意，得，
解得，
．
故答案为：40，5440；
②设利润为w元，
根据题意，得
，
，
∴当时，最大，最大值为6250，
答：该商品日销售利润的最大值为6250元；
【小问3详解】
解：设利润为元，根据题意可得：
，
销售单价不低于68元，即，
∴，
对称轴为，
，
∴，且开口向下，
∴随的增大而减小，
∴当时，有最大值为6600，
∴，
∴．
答：的值为2．
23. 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习：
【答案】问题1∶ ；问题2：；问题3：
【解析】
【分析】问题1：本题建立以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，根据题干条件给出、、的坐标，再利用待定系数法求解即可．
问题2：本题通过液面高度确定液面的纵坐标，再利用解析式给出液面两端的横坐标，即可求解．
问题3：本题仍建立以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，通过等腰三角形的判定可求出点的坐标，再利用待定系数法给出直线解析式，通过直线和抛物线求得交点的坐标，最后利用勾股定理求两点间距离，即可解题．
【详解】问题1：
解：以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
，
，，
，
，
，
设抛物线的解析式为，
将点代入解析式，有，解得，
抛物线解析式为．
问题2：
解：碗中液面高度（离桌面距离）为，，
这时液面的纵坐标为，
当时，有，解得，，
则液面宽度为．
问题3：
解：以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记轴交于点，交于点，
由题知，，，
轴，
又，
∴，
，
，
设直线的解析式为，
则，解得，
，
联立方程组，
解得或，
，
．
【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定、勾股定理和求直线与抛物线的交点问题，解题的关键在于将实际数据变为直角坐标系中的数据，再利用函数的性质即可解题．
水平距离
0
2
4
6
竖直高度
2
3.2
3.6
3.2
销售单价x（元）
70
74
78
日销售量y（件）
200
160
120
日销售利润w（元）
6000
a
4560
【设计方案求碗里水面的宽度】
素材一：
图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度．
素材二：
如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜．
问题解决
问题1
如右图，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式；
问题2
根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为，求此时水面宽度的长；
问题3
如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度．
水平距离
0
2
4
6
竖直高度
2
3.2
3.6
3.2
销售单价x（元）
70
74
78
日销售量y（件）
200
160
120
日销售利润w（元）
6000
a
4560
【设计方案求碗里水面的宽度】
素材一：
图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度．
素材二：
如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜．
问题解决
问题1
如右图，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式；
问题2
根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为，求此时水面宽度的长；
问题3
如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度．