贵州省六盘水市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份贵州省六盘水市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，向量，，且，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】因为向量，，且，
则，解得.
故选：D.
2. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】D
【解析】因为直线的一个方向向量为，
所以直线的斜率为，
从而直线的倾斜角.
故选：D.
3. 已知点P在所在平面内，O为空间中任一点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，且四点共面，
则，解得.
故选：C.
4. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题设，易知是边长为的正三角形，

所以
.
故选：A.
5. 已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，线段的中点为，
线段的垂直平分线的方程是，化为：，
故选：A．
6. 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A. 至少有一个白球；都是白球
B. 至少有一个白球；至少有一个红球
C. 至少有一个白球；红､黑球各一个
D. 恰有一个白球；一个白球一个黑球
【答案】C
【解析】对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是；
对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是；
对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C是；
对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是.
故选：C.
7. 已知点到直线：和直线：的距离相等，则点到坐标原点距离的最小值为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】】因为直线：和直线：平行，且点到他们的距离相等，所以点在直线上，
当时，点到坐标原点距离的最小，为，
故选：C.
8. 某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，m，n，且他是否通过每个考核相互独立，若他三个社团考核都通过的概率为，三个社团考核都没有通过的概率为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】为他三个社团考核都通过的概率为，则，即，
又因为三个社团考核都没有通过的概率为，则，
整理可得，所以.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法不正确的是（ ）
A. 某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖
B. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C. 某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水
【答案】ACD
【解析】对于A，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为，
不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误；
对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确；
对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为，是指一位病人被治愈的概率为，
不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误．
对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为，故D错．
故选：ACD．
10. 已知直线：，：，当，满足一定的条件时，它们的图形可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】直线可化为的斜率为，在轴上的截距为．
直线可化为的斜率为，在轴上的截距为．
当时，直线与平行且图象满足A所示，故A正确．
选项B中，由直线在轴上的截距可得,，而由直线的斜率为，可得，故B不正确．
选项C中，由直线的斜率为，而直线在轴上的截距．
直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故C正确．
选项D中，由直线的斜率为，而直线在轴上的截距．
直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故D正确．
故选：ACD．
11. 已知正方体的边长为2，E､F､G､H分别为､､､的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 平面
C. 点到平面的距离为2D. 二面角的大小为
【答案】BC
【解析】以坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
所以，所以，
所以，故A选项错误；
设平面的法向量为，
则，令则，所以，
所以，
由于平面，所以平面，故B选项正确；
，所以到平面的距离为故C选项正确；
由正方体可得平面，所以平面的一个法向量为，
设二面角平面角为，由图可知，为锐角，
所以，故D选项错误，
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛．比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生内整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为__________．
【答案】
【解析】由计算机产生的15组数据中，甲获得冠军的数据有421，231，114，522，123，232，122，共7组，
据此估计甲获得冠军的概率为．
13. 直线不过第二象限，则的取值范围为_________．
【答案】
【解析】当时，即，方程为，此直线不过第二象限，符合题意；
当时，将直线化为斜截式为：.
由于不过第二象限，所以，解得；
综上：，故的取值范围为：.
14. 阅读材料：数轴上，方程（）可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______.
【答案】
【解析】平面的方程为，所以平面的法向量可取，
平面的法向量为，平面的法向量为，
设两平面的交线的方向向量为，由，
令，则，，所以.
设直线与平面所成角的大小为，
则.
四、解答题：本题共5小题，共77分.“解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. （1）设平面直角坐标系内三点、、，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，求实数的值；
（2）已知直线经过原点，且经过两条直线的交点，求直线的方程.
解：（1）由，即，解得或，
经检验均符合题意，故的值是1或2.
（2）因为方程组的解为，
所以两条直线和的交点坐标为，
由题意知直线经过点.又直线经过原点，
所以直线的方程为，即.
16. “盲盒”是指商家将动漫、影视作品的周边或设计师单独设计出玩偶放入盒子里，当消费者购买这个盒子，因盒子上没有标注，只有打开才会知道抽到什么，不确定的刺激会加强重复决策，从而刺激消费．某商家将编号为1，2，3的三个玩偶随机放入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子放一个玩偶，每个玩偶的放置是相互独立的．
（1）共有多少种不同的放法？请列举出来；
（2）求盒中放置的玩偶的编号与所在盒的编号均不相同的概率．
解：（1）共有6种不同的放法，按盒子号1，2，3的顺序放入玩偶的情况为；；
；；；．
（2）设所求事件为A，则A包含有，两个基本事件，
并且每个基本事件等可能，故．
17. 在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点.

（1）求直线与所成角的大小；
（2）判断直线与平面的关系.
解：（1）在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点．
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则,0,，,0,，,2,，,0,，,0,，,2,，
,0,，,2,，
设直线与所成角为，
则，，
直线与所成角的大小为；
（2）直线与平面垂直，理由如下：
由（1）知,2,，,0,，
，，
，，
，、平面，
直线与平面垂直．
18. 某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元.假定评定为等级的概率分别是.
（1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；
（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率.
解：（1）设事件分别表示“被评为等级”，
由题意，事件两两互斥，
所以，
又“不被罚款”，
所以.
因此“不被罚款”的概率为；
（2）设事件表示“第单被评为等级”，，
则“两单共获得的奖励为3元”即事件，
且事件彼此互斥，
又，
所以.
19. 如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若钝二面角的余弦值为，当时，求的长．
（1）证明：因为为中点，且，所以，即，
又，，平面，所以平面.
又平面，所以.
因为，所以.
又，，所以，
所以，则.
又，平面，所以平面.
又平面，所以：平面平面.
（2）解：由（1）可知：，，两两垂直，
故可以原点，建立如图空间直角坐标系.
则，，，设（），
则.
所以，，.
设平面的一个法向量为m=x1,y1,z1，
由，可取.
设平面的一个法向量为n=x2,y2,z2，
由，可取.
，
整理得：（舍去）
所以，即.