福建省福宁古五校教学联合体2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学数学试卷（解析版）

这是一份福建省福宁古五校教学联合体2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】直线的斜率为，
所以，该直线的方向向量为，
故该直线的一个方向是.
故选：A.
2. 已知是等差数列的前项和，若，则（ ）
A. 168B. 196C. 200D. 210
【答案】A
【解析】因为数列是等差数列，
所以.
故选：A.
3. 已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是（ ）
A. 若等差数列，则是等差数列
B. 若是等比数列，则是等比数列
C. 若是等差数列，则是等比数列
D. 若是等比数列，则是等差数列
【答案】C
【解析】对于AC选项，若数列为等差数列，设其公差为，则为正常数，
所以，数列是等比数列，
但不是常数，故数列不是等差数列，A错C对；
对于BD选项，若数列为等比数列，设其公比为，
则不是常数，故数列不是等比数列，
不是常数，故数列不是等差数列，BD都错.
故选：C.
4. 已知数列的通项公式为，下列说法正确的是（ ）
A. 数列从第3项起各项数值逐渐增大
B. 当时，取最大值
C. 是该数列的项
D. 数列的图象与的图象相同
【答案】C
【解析】对于A，，由二次函数的性质可知从起起各项数值逐渐增大，故A错误；
对于B，由，可知时，取最小值，无最大值，故B错误；
对于C，令，可得，解得或，
所以是数列中的项，故C正确；
对于D，数列的图象是函数的图象中横坐标为正整数的孤立的点，
所以数列的图象与的图象不相同，故D错误.
故选：C.
5. 圆与圆的位置关系为（ ）
A. 外离B. 相交C. 外切D. 内切
【答案】B
【解析】由可得，
即圆心，半径，
由圆可得，
即圆心，半径，
所以圆心距，
所以，所以两圆相交.
故选：B.
6. 已知直线，则这条直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】直线的斜率．
因为直线的倾斜角为，则，
根据正切函数的性质可得．
故选：D．
7. 已知直线将圆分成面积分别为，的两个部分，当的值取最大时，的值为（ ）
A. 0B. 2C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得，直线过定点，且当弦长最短时，的值取最大，
此时直线与直线垂直，
圆的圆心为，半径为3，
所以，所以.
故选：.
8. 一个弹力球从1m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，那么在第n次着地后，它经过的总路程超过5m，则n的最小值是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】设小球第一次落地时经过的路程为，第次落地到第次落地经过的路程为，
由题意，，数列从第二项起构成以首项为，公比为的等比数列，则第n次着地后经过的路程为，
即，结合选项，检验时，，时，成立，
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错得0分.
9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若满足在轴上的截距与在轴上的截距相等，则
B. 必过定点
C. 若，则或4
D. 若，则
【答案】BC
【解析】当时，方程为 ，也满足在轴上的截距与在轴上的截距相等，故A错；
把变形得，
所以，所以必过定点，故B对；
若，则满足或1，故C对；
若，则满足或，故D错；
故选：BC.
10. 已知圆，点，直线不全为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若与圆相切，则点在上
B. 若与圆相交，则点在外
C. 若与圆相离，则点在内
D. 若与圆相离，则点在外
【答案】ABC
【解析】对于A，因为与圆相切，
所以圆心到直线的距离，所以，
即点满足直线的方程，所以点在上，故A正确；
对于B，若与圆相交，所以圆心到直线距离，
所以，即点不满足直线的方程，
所以点在外，故B正确；
对于CD，与圆相离，所以圆心到直线的距离，
所以，所以点在内，故C正确，D错误.
故选：ABC．
11. 斐波那契数列又称“兔子数列”，在现代物理、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，.则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】由题设，，，A错；
由，则，
故，B对；
由，结合B的结论有，，，，
所以，C对；
，D对；
故选：BCD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. .直线与之间的距离是__________
【答案】
【解析】根据平行线间距离公式可得两直线距离为
13. 已知圆与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），动点C满足，则的面积最大值为______.
【答案】
【解析】设动点C的坐标为，由题意知，,
由，得，
化简得，即动点C 在圆上，
设的面积，当时，取最大值.
14. 定义在上的函数满足对任意的x，y都有（为常数），且，设，数列的前n项和为，当且仅当时，取到最大值，则t的取值范围是______.
【答案】
【解析】由，
令，得，则，又，
所以，
所以，
因为，
所以，
，又，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，
又当且仅当时，取到最大值，
所以满足，
则则t的取值范围是.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）若对于任意正整数，都有，求实数的最小值.
解：（1）当时，，
则，
当时，，满足上式，所以.
（2）由
.
所以，即的最小值为.
16. 已知直线过点，且的一个法向量是.
（1）求直线的方程；
（2）若直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，求直线的方程；
（3）在（2）的条件下，求的角平分线所在的直线方程.
解：（1）因为直线的一个法向量是，
又过点所以可得直线的方程为，
化简得，所以所求直线的方程为.
（2）因为直线与轴交于点，由（1）知的方程为，
所以，
因为，所以，
将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，
则，所以.
由点可知直线方程为，即.
（3）设直线的倾斜角为，因为，
所以，，则，
所以，的角平分线所在直线的倾斜角为，
则的角平分线所在直线的斜率为
，
因此，的角平分线所在直线的方程为，即.
17. 设数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
解：（1）依题意有，
所以，，，.
累加这个式子得，，
又，所以显然满足上式，所以.
（2）由（1）知，所以，
，
两式相减得：，
所以，
整理得.
18. 已知直线和圆交于A、B两点.
（1）当时，求直线l被圆C所截得的弦长；
（2）探究：x轴的负半轴上是否存在一个定点M，使得x轴平分，如果有，求出M点坐标，如果没有，说明理由.
解：（1）当时，直线，圆心到直线的距离，
圆的半径为2，
所以.
（2）假设存在点满足题意，设点坐标为x1,y1，点坐标为x2,y2，点坐标为，
依题意有平分，则，
所以，即，
又，
所以上式可化为，
即.
由，得，
易知，，，
因此，，
即，
又，则，整理得，
因此轴上存在一个定点符合题意.
19. 定义：对于数列若存在常数，对任意的都有，则称数列为和谐数列.
（1）已知数列，判断是否为和谐数列，并说明理由；
（2）设是数列的前项和，证明：若是和谐数列，则也是和谐数列；
（3）若、都是和谐数列，证明也是和谐数列.
（1）解：是和谐数列，理由如下：，
上式，
所以，数列是和谐数列.
（2）证明：因为是和谐数列，所以存在常数，对任意的，
有，
即.
则
.
所以数列是和谐数列.
（3）解：若数列、是和谐数列，则存在常数、，
对任意的，有，
，
，
即，同理：.
因为，所以，
所以.
记，，
则有
，
所以
，
所以，数列也是和谐数列.