福建省福宁古五校教学联合体2024-2025学年高一上学期期中质量监测数学试题（解析版）

这是一份福建省福宁古五校教学联合体2024-2025学年高一上学期期中质量监测数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 设命题，，则的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】的否定为：，，
故选：C
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当“”时，如，，故不能推出“” .当“”时，必然有“”.故“”是“”的必要不充分条件.
3. 下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】C
【解析】对于A，易知的定义域为，
的定义域为，两函数定义域不同，即A错误；
对于B，将写成分段函数形式可得，显然两函数解析式不同，即B错误；
对于C，将化简可得，可得两函数三要素完全相同，即C正确；
对于D，易知的定义域为或，
而的定义域为，两函数定义域不同，即D错误；
故选：C
4. 函数的图像为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域为，且，
函数为奇函数，A选项错误；
当时， ，函数单调递增，故BC选项错误.
故选：D.
5. 集合，，的关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据集合的概念可知集合表示所有被除余的数以及所构成的集合，
集合表示所有被除余的数所构成的集合，
所以，
集合表示所有被除余的数所构成的集合，
任取，则，，所以，，
又，，所以，综上，
故选：A
6. 设为上的奇函数，当时，，则（ ）
A. -2B. 2C. 0D. 4
【答案】A
【解析】因为为上的奇函数，当时，，
所以，解得，
所以当时，，
所以.
故选：A.
7. 已知关于的不等式的解集中不含有整数，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】不等式可分解为，
当时，不等式解集为，依题意可得，解得，
所以；
当，不等式为，此时解集为空集，符合题意；
当时，不等式解集为，依题意可得，解得，
所以；
综上可得，实数的取值范围为.
故选：D
8. 已知，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由知定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，
当时，增函数，
所以由可得，
由单调性可得，即或，
所以不等式的解集为.
故选：A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，则D.
【答案】BCD
【解析】A：取，则，故错误；
B：因为，所以，所以，所以，故正确；
C：因为，所以，所以，故正确；
D：因为，所以，所以，故正确；
故选：BCD.
10 已知函数，则（ ）
A. 函数的图象关于原点对称
B. 当时，函数在定义域上单调递增
C. 当时，函数的最小值为
D. 若对，都有，则
【答案】AD
【解析】对于A，函数的定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，图象关于原点对称，A正确，
对于B，时，由于定义域为，由于均为在，和0,+∞上递增函数，故在，和0,+∞上单调递增，故B错误，
对于C，时，若，则，故C错误，
对于D，对，都有，故，由于对，，故，D正确，
故选：AD
11. 设，，，下列说法正确的有（ ）
A. 的最小值为4B. 的最小值为
C. 最小值为D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A，由，，，故，当且仅当取等号，故A正确，
对于B，由得，
故，当且仅当，
即等号成立，故B正确，
对于C，由可得，故，由可知，
当时，则，故C错误，
对于D，由可得，
故，当时取到等号，故D正确，
故选：ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡的相应位置.
12. 已知幂函数的图象过点，则是_____函数（填“奇”，“偶”或者“非奇非偶”）.
【答案】奇
【解析】设幂函数，代入点可得，
解得，即；
易知的定义域为，且满足，
所以为奇函数.
故答案为：奇
13. 已知，则______.
【答案】
【解析】令，可得，
所以由可得，
因此可得.
故答案为：
14. 定义在上的函数满足：①；②；③当时，.则_______，_____.
【答案】①. 1 ②. 或
【解析】在②中令得，在①中令得，
在①中令得，在②中令得，
又知是不减函数，所以，.
故.
故答案为：1，
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡的相应位置.
15. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）由，解得，或，
所以{，或}，
又，所以，解得.
此时
所以{，或}.
（2）因为，所以，因为{，或}，
所以，又，
当时，，此时，解得，
当时，由，可得，解得，
综上的取值范围为.
16. 已知命题：函数与的图象有两个交点；命题，.

（1）在坐标系中画出的图象，并求当命题是真命题时，实数的取值范围；
（2）若命题，的真假性相同，求实数的取值范围.
解：（1）函数的图象如图1

由图可知，的取值范围为0,1.
（2）方法一：若命题是真命题，则在上恒成立，
则在上恒成立，
令，
任取，且，
，即，
所以在上单调递增，
所以的最大值为，
所以的取值范围为.
因为命题，的真假性相同，所以，都为真或都为假，
当，都为真时，即，此时无解，
当，都为假时，即，则，或，
所以的取值范围为.
方法二：当命题是真命题，设，
则，即，即.
所以的取值范围为.
以下部分同方法一.
17. 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为180万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大利润是多少？
解：（1）当时，.
当时，.
所以.
（2）当时,，当时，万元.
当时,万元.
当且仅当，即时，上式等号成立.
又，所以当年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1580万元.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且.定义在上的增函数满足对任意的，，都有.
（1）判断在上的单调性，并用定义证明；
（2）判断的奇偶性，并证明；
（3）若，使得成立，求实数的取值范围.
解：（1）依题意得，.
所以，，，经检验，该函数是奇函数.
判断在上为单调递增函数.
证明：任取，且，，
.
，
，即
所以在上为单调递增函数.
（2）判断为奇函数.的定义域为，关于原点对称.
令得，
令得，所以是奇函数；
（3）由（2）可知，是奇函数，故有
又在上递增，所以，，
因为，所以，
令，则，
，
当且仅当，即时，上式等号成立，
所以.
19. 对于集合，，定义运算“”：{，两式恰有一式成立}，表示集合中元素的个数.

（1）设，，在图1的韦恩图中填入集合，，并求；
（2）设，，求；
（3）对于有限集合，，，证明，并求当集合，是确定集合时，使该式取等号的集合的数量（用含，的式子表示）.
解：（1）如图1.

.
（2），，
.
（3）画出韦恩图，如图2，将划分成7个集合，，，

则
故不等式成立
当且仅当时，上式取等号.
等价于，等价于，
故当且仅当取等号.
故此时，如图3，集合，其中是确定的集合
是的子集，所以满足要求的集合的数量为个.