河北省保定市六校联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份河北省保定市六校联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第5～7节，必修第二册第六章～第七章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知i为虚数单位，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B
2. 已知向量，，若，则（ ）．
A. B. 2C. D. 5
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，所以．
故选：C．
3. 如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵ ，
∴.
故选：A.
4. 中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为，由大角对大边可得，
由正弦定理得，且，
所以，故，充分性成立，
同理当时，，，
由正弦定理可得，
由大边对大角可得，必要性成立，
“”是“”的充要条件.
故选：C
5. 已知平面向量、满足，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，则，且，，
则，可得，
所以，在上的投影向量为.
故选：B.
6. 在中，内角所对的边分别为，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为为的内角，则，
由二倍角的余弦公式可得，解得，
由正弦定理可得，所以，.
故选：A.
7. 已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为函数在区间上至少有3个零点，
所以，解得，所以的取值范围是.
故选：C.
8. 已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（ ）
A. B. 0C. 12D.
【答案】D
【解析】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
因为，，，
所以，
所以当时，取得最大值.
故选:D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 为实数B.
C. 若，则D.
【答案】ABD
【解析】对于A，设复数，则，
则，为实数，故A正确；
对于B，，，则，故B正确；
对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误；
对于D，，则
，
，则
，
则，故D正确.
故选：ABD.
10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在上单调递减
D. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
【答案】AB
【解析】由图知，，所以，解得，
因为的图象过点，所以，又因为，所以，所以．
因为，所以函数的图象关于点对称，故A正确；
，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
令，，解得，，令，得，，所以在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
的图象向右平移个单位长度，可得
，故D错误．
故选：AB．
11. 已知是边长为3的等边三角形，点在内或边界上，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则点P的轨迹长度为
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】对于A,当时，为的中点，则,
故，A正确，
对于B，，则，由余弦定理可得，B正确，
对于C, 若，则点P的轨迹为以圆心，以为半径的圆（在内部及边界部分），故长度为，C错误，
对于D，当，则位于边的高上，故,又，故，D正确，
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 复数z满足，则________．
【答案】或
【解析】设，则，所以解得或所以或．
故答案为：或．
13. 的三个内角所对应的边分别为，若，角的平分线交于，则_____．
【答案】2
【解析】由图可知，记，
方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由可得，，
解得：．
方法二：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由正弦定理可得，，
解得：，因为，
所以，又，
所以，即．
故答案为：.
14. 费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于，费马点是三角形内部对三边张角均为的点；如果三角形有一个内角大于或等于，费马点就是该内角所在的顶点.已知中，角所对的边分别为，为费马点.若，则的值为______.
【答案】
【解析】由，显然最大角为，且，
所以为小于的钝角，且，
所以费马点在内部，且，
所以，
则，
所以，
由.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足
（1）求的值；
（2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围.
解：（1）令且，则，
所以，则，可得，
所以，则；
（2）由，
故对应点在第三象限，则，
所以，即.
16. 记锐角三角形的内角的对边分别为，已知，．
（1）求；
（2）求的最大值．
解：（1）因为，所以．
又为锐角三角形，故，则．
因为，所以．
又，故．
（2）由正弦定理得，
则，．
由（1）知，则．
所以
，
因为为锐角三角形，
所以，所以，
所以，
所以当时，即时，取得最大值．
17. 已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）若方程在有两个根，求的取值范围.
解：（1）函数，
由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，得的最小正周期，
解得，
所以函数的解析式为.
（2）由，解得，
所以函数的单调递减区间是.
（3）当时，，由，得，
则函数在上单调递增，函数值从增大到0，在上单调递减，函数值从0减小到，
当时，直线与函数的图象有两个交点，
即方程在有两个根，
所以的取值范围.
18. 如图，圆的半径为3（圆心为），其中为圆上的两点．
（1）若，当为何值时，与垂直？
（2）若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，，求的最小值；
（3）若的最小值为1，求的值．
解：（1）因为，，
所以，
若与垂直，则，
所以，所以，
解得，即时，与垂直．
（2）因为为的重心，所以，
又因为，，所以，
由于三点共线，所以存在实数，使得，
所以，
化简得，所以．
显然，，则，
当且仅当时，即时等号成立，则的最小值为2．
（3）设，与的夹角为θ，在中，，
所以，
又
，
所以当时，有最小值，所以，解得，
即取最小值1时，．
19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定.
（1）已知，求；
（2）若向量，求证：；
（3）记，且满足，，，求的最大值.
解：（1）由，得.
（2）由向量，向量，
得，
因此，
同理，
所以.
（3）依题意，，，
则当为锐角时，，当为钝角时，，
当为锐角时，
当时，取到最大值；
当为钝角时，
，
当，即时，取得最大值，
所以的最大值.