2024-2025学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(m,−2)，b=(m−2,3)，若a//b，则实数m=( )
A. −45B. −25C. 25D. 45
2.在复平面内，(1+3i)(3−i)对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图，其中O′A′=O′B′=O′C′=1，则△ABC的周长为( )
A. 2 2+2B. 2 5+2C. 4 2+4D. 4 5+4
4.甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为12,23,34，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为( )
A. 14B. 724C. 1124D. 1724
5.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF的中点，则AG=( )
A. 23AB+13ADB. 13AB+23ADC. 34AB+34ADD. 23AB+23AD
6.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3，则圆锥的体积为( )
A. 2 3πB. 3 3πC. 6 3πD. 9 3π
7.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则( )
A. 若l//m，m//α，则l//α B. 若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β
C. 若l⊥m，m⊂α，α//β，则l⊥β D. 若α//β，m⊂α，则m//β
8.若向量a，b满足|a|=|b|=3，且|a−b|= 6，则向量a在向量b上的投影向量是( )
A. 63bB. 62bC. 23bD. 32b
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据如下：2，3，4，4，7，则下列说法中正确的是( )
A. 这组数据的极差为5B. 这组数据的方差为2.5
C. 这组数据的众数等于平均数D. 这组数据的第40百分位数为3.5
10.已知事件A，B，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，则( )
A. 事件A与事件B互为对立事件 B. 若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=0.9
C. 若事件A与事件B互斥，则P(AB)=0.2 D. 若P(A−B−)=0.3，则事件A与事件B相互独立
11.下列命题中正确的是( )
A. 两个非零向量a，b，若|a−b|=|a|+|b|，则a与b共线且反向
B. 已知c≠0，且a⋅c=b⋅c，则a=b
C. 若OA=(3,−4)，OB=(6,−3)，OC=(5−m,−3−m)，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m>−34
D. 若非零向量a，b满足|a|=|b|=|a−b|，则a与a+b的夹角是30°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.为了解高一、高二、高三年级学生的身高情况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为660的样本，三个年级学生人数之比依次为3：4：k.已知高一年级共抽取了180人，则高三年级抽取的人数为______人.
13.已知|a|=2,|b|=4且(a+b)⊥a，则向量a与b的夹角是______．
14.锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a2−b2=(a−c)c，若b= 3，则△ABC周长的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有4道不同的题目，其中选择题2道，判断题2道，甲、乙两人各抽一道(不重复)．
(1)甲抽到选择题且乙抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB− 3bcsA=0．
(1)求A；
(2)若a= 13，△ABC的面积为 3，求△ABC的周长．
17.(本小题15分)
如图，在正方体A1B1C1D1−ABCD中，E是DD1的中点．
(1)求异面直线A1C1和B1C所成角的大小；
(2)求证：D1B//平面ACE；
(3)设正方体的棱长为1，求三棱锥B−AEC的体积．
18.(本小题17分)
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在[50,60)的平均成绩是61，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数z−和总方差s2．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，BC=2PA=2AB=2，∠ABC=60°．
(1)求四棱锥P−ABCD的体积；
(2)求证：平面PAC⊥平面PAB；
(3)求二面角A−PD−C的正弦值．
参考答案
1.D
2.A
3.B
4.C
5.C
6.B
7.D
8.C
9.ACD
10.BD
11.AD
12.240
13.2π3
14.(3+ 3,3 3]
15.解：(1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，
记两道选择题分别为a1、a2，两道判断题分别为b1、b2，
所有的基本事件有：(a1,a2)、(a1,b1)、(a1,b2)、(a2,a1)、(a2,b1)、(a2,b2)、(b1,a1)、(b1,a2)、(b1,b2)、(b2,a1)、(b2,a2)、(b2,b1)，共12种，
其中事件A包含的基本事件有：(a1,b1)、(a1,b2)、(a2,b1)、(a2,b2)，共4种，
由古典概型的概率公式可得P(A)=412=13；
(2)记事件B：甲、乙二人中至少有一人抽到选择题，
则事件B包含的基本事件有：(a1,b1)、(a1,b2)、(a2,b1)、(a2,b2)、(b1,a1)、
(b1,a2)、(a1,a2)、(b2,a1)、(b2,a2)、(a2,a1)，共10种，
由古典概型的概率公式可得P(B)=1012=56．
16.
17.
18.解：(1)∵每组小矩形的面积之和为1，
∴(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，
∴a=0.030；
(2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.650.75，
所以第75百分位数落在[80,90)内，
设第75百分位数为m，则0.65+(m−80)×0.025=0.75，
解得m=84，
即第75百分位数为84；
(3)由图可知，成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=10，
成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20，
故z−=10×61+20×7010+20=67，
设成绩在[50,60)中10人的分数分别为x1，x2，x3，⋯，x10；成绩在[60,70)中20人的分数分别为y1，y2，y3，⋯，y20，
则x12+x22+x32+⋯+x10210−612=7，y12+y22+y32+⋯+y20220−702=4，
∴x12+x22+x32+⋯+x102=37280，y12+y22+y32+⋯+y202=98080，
∴s2=110+20(x12+x22+x32+⋯+x102+y12+y22+y32+⋯+y202)−z−2=130×(37280+98080)−672=23． 19.