四川省巴中市普通高中2025届高三下“二诊”考试数学试卷（解析版）

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一、单选题
1．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：（单位：分）82,75,76,88,90,83,85,86,96,87,60,100,89,92,93，则这15人成绩的第80百分位数是（ ）
A．92B．92.5C．93D．91.5
【答案】B
【解析】将15人的成绩从小到大排列为：60,75,76,82,83,85,86,87,88,89,90,92,93,96,100，
由15×80%=12，所以第80百分位数为第12个数与第13个数的平均数，即92+032=92.5.
故选：B
2．已知向量a=-2,1,b=n,3.若a-b⊥a，则n=（ ）
A．12B．3C．-1D．0
【答案】C
【解析】因为a=-2,1,b=n,3，所以a-b=-2-n,-2.
因为a-b⊥a，所以a-b⋅a=-2-n⋅-2+-2⋅1=0，解得n=-1.
故选：C
3．双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0与抛物线y2=12x有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为32，则双曲线的离心率等于（ ）
A．433B．334C．2D．3
【答案】C
【解析】抛物线y2=12x的焦点坐标为3,0，即双曲线的一个焦点为3,0，c=3.
令x=c，代入双曲线得c2a2-y2b2=1，则y=±b2a，
∵过点F且垂直于实轴的弦长为32，
∴2b2a=32，即2(9-a2)a=32，则a=32，
∴e=ca=332=2.
故选：C
4．已知三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长相等，且∠A1AB=∠A1AC=45∘,∠BAC=60∘，则异面直线AB与B1C所成角的余弦值为（ ）
A．33B．23C．63D．2+24
【答案】D
【解析】设三棱柱棱长为1,AB=a,AC=b,AA1=c,a=b=c=1，
所以a⋅b=12，a⋅c=b⋅c=22，B1C⃗=AC⃗-AB⃗-BB1⃗=b→-a→-c→，
AB⋅B1C=a⋅b-a-c=a⋅b-a2-a⋅c=12-1-22=-1+22，
B1C2=(b-a-c)2=a2+b2+c2-2a⋅b+2a⋅c-2b⋅c=2，则B1C=2，
设异面直线AB与B1C所成角为θ，csθ=AB⋅B1CAB⋅B1C=2+24.
故选：D
5．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左､向右落下的机会均等，且小球需要经过5次碰撞后落入球槽，求小球最终落入从左往右数第5号球槽的概率为（ ）
A．164B．564C．532D．132
【答案】C
【解析】小球从起始点到最终落入球槽，需要经过5次与小木块的碰撞，每次碰撞时向左或向右的概率均为12.
我们可以把小球向左下落看作一次“左操作”，向右下落看作一次“右操作”.
要落入从左往右数第5号球槽，从组合的角度看，经过5次碰撞，相当于在5次操作中，向右的次数比向左的次数多3次.
设向右为正方向，向左为负方向，那么向右的次数x与向左的次数y满足方程组x+y=5x-y=3，解得x=4,y=1.
也就是在5次碰撞过程中，需要有4次向右，1次向左.
由独立重复试验概率公式P=Cnkpk(1-p)n-k，这里p=12,n=5，
所以P=C54125=5×132=532.
故选：C.
6．已知00,m+1m12xlnx+1x≤10x3+8x，
令tx=12xlnx+1x=lnx+22x，对t求导，t'x=1x×2x-lnx+2×1x4x=-lnx4xx，当02×2×e0=4，且g'1=e0-1=0.,∴gt>0,∴e2t-1t>t5,∴1t5e2t-1t>1,∴s15ps1s2>s25ps2s1.
19．如图1，在抛物线y=x2x>0上任选一动点Px0,y0，可认为其纵坐标y0=x02为以x0为边长的正方形PP'LK的面积，由此将抛物线y=x2下阴影部分的面积转化为四棱锥O-PP'LK的体积，得S阴影=13x03，称其为抛物线的“三分之一”原则.
（1）如图3，在拟柱体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，AB=2BC=4,EF=12AB，点E到底面ABCD的距离为2，试利用抛物线的“三分之一”原则求拟柱体ABCDEF的体积V；
（2）已知类似于圆锥的空间几何体Ω具有圆锥的一切对称性，且其顶点为O，底面为π，高为H，将Ω置于空间直角坐标系Oxyz中，使其顶点与坐标原点重合，π与平面xOy平行且π上任意一点坐标均可表示为x0,y0,H.若用任一平行于平面xOy的平面D'截Ω所得的截面的面积与D'到平面xOy的距离h有关系：S=4πh,h∈0,H.设Ω被平面yOz所截得曲线为C，
（i）求Ω的体积V关于h的表达式及C在平面yOz中的方程；
（ii）在平面yOz中，过点P-2,1作两条互相垂直的弦PA,PB，分别交C于A,B两点，A,B都在第一象限内且A在B的右侧，AO,BO分别交z=-2于M,N两点.设△MON的面积为S1,△AOB的面积为S2，当B点的横坐标yB∈25,2时，求S1S2的最大值.
解：（1）如图，用平行于底面的平面π截拟柱体ABCDEF得矩形A'B'C'D'，设点E到π的距离为h，
由相似的基本定理得矩形A'B'C'D'面积S=hh+2，
建立如图的平面直角坐标系hOS，
由主题干信息得，拟柱体ABCDEF的体积V即函数S=hh+2
与h轴正半轴所围成的阴影部分面积，由抛物线的“三分之一”
原则：S阴影=13SKLMN-13SKJOH-SJOGL=203，
即拟柱体ABCDEF的体积V=203；
（2）（i）由主题干信息得，类锥体Ω的体积即底面π的面积S与h轴正半轴所围成的阴影部分面积，
又S与h有关系S=4πh，
所以V=12hS=4πh22；
因为Ω具有圆锥的一切对称性，
所以其底面π为圆，
又S=4πh,
得其半径r=2h，
由几何体的空间位置，可建立h与r得关系：r2=4h，
即C在平面yOz中的方程为：y2=4z；
（ii）设AyA,zA,ByB,zB,AB:z=ky+m，
由PA⊥PB得zA-1yA+2⋅zB-1yB+2=-1①
联立直线与抛物线y2-4ky-4m=0z2-2m+4k2z+m2=0②
由①，②得(m-3)2=(2k-2)2，
即m=2k+1（舍）或m=5-2k，
所以AB恒过定点2,5，
改写AB为yA+yBy=4z+yAyB，
代入2,5得2yA+yB=20+yAyB，
即yA=20-2yB2-yB③
易得S1=8yAyByA-yBS2=12yAzB-yBzA=yAyB8yA-yB，④
所以S1S2=64yAyB2
由③，④得S1S2=642yB10-yB2-yB2，
令t=2-yB,t∈0,85，
则有S1S2=6422-t8+tt2，
其中22-t8+tt=216t-t-6，
对于函数ft=16t-t，当t∈0,85时，有如下图像：
所以22-t8+tt≥245，
所以S1S2=6422-t8+tt2≤259，
即S1S2的最大值为259.
Y
1
2
P
110
910