精品解析：北京市丰台区2024-2025学年高三上学期1月期末练习数学试题

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2025.01
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 复数（ ）
A. B. C. D.
3. 设，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知数列的前n项和为，且，，则（ ）
A. 7B. 13C. 18D. 63
5. 下列函数中，满足“，”的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点P，且.点P在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q.若经过的圆弧的长为，则点Q的纵坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，且，则点P到平面ABC的距离为（ ）
A. 1B. C. D.
8. 溶液酸碱度是通过pH计量的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度（单位：）.室温下，溶液中氢离子和氢氧根离子的浓度之积为常数，即，其中表示溶液中氢氧根离子的浓度（单位：）.室温下，某溶液的pH值为1，若加水稀释后，该溶液的pH值变为2，则稀释后溶液中氢氧根离子的浓度与稀释前溶液中氢氧根离子的浓度的比值为（ ）
A. B. 2C. D. 10
9. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线交于点P，则对任意实数a，的最小值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
10. 各项均为正整数的数列2，3，4，a，b，20，30，40为递增数列.从该数列中任取4项构成的递增数列既不是等差数列也不是等比数列，则有序数对的个数为（ ）
A. 73B. 75C. 76D. 78
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 设抛物线准线方程为__________.
12. 在的展开式中，x的系数为__________.（用数字作答）
13. 在中，，.
①若，则__________；
②面积的最大值为__________.
14. 已知函数，，，，则__________；方程所有实数解的和为__________.
15. 已知曲线（、为常数），给出下列四个结论：
①曲线关于坐标原点对称；
②当时，曲线恒过两个定点；
③设、为曲线上的两个动点，则存在，，使得有最大值；
④记曲线在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为，则对任意，存在，使得.
其中所有正确结论的序号为__________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角余弦值.
17. 已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使唯一确定，求：
（1）的值及的单调递增区间；
（2）在区间上的最大值和最小值.
条件①：函数图象的相邻两个对称中心间的距离为；
条件②：函数的图象可以由函数的图象平移得到；
条件③：直线为函数图象的一条对称轴.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 为弘扬社会主义核心价值观，加强校园诚信文化建设，提升中小学生的信息技术素养，某市开展了“中小学诚信主题短视频征集展示活动”，入围短视频在某公共平台展播.其中A，B，C，D，E，F，G这7个入围短视频展播前7天的累计播放量如下表：
（1）从这7个入围短视频中随机选取1个，求该短视频前7天的累计播放量超过4万次的概率；
（2）某学生从这7个入围短视频中随机选取3个观看，记X为选取的3个短视频中前7天的累计播放量超过4万次的个数，求X的分布列和数学期望；
（3）若这7个入围短视频第8天的单日播放量如下表：
记这7个入围短视频展播前7天的累计播放量的方差为，前8天的累计播放量的方差为，试比较与的大小关系.（结论不要求证明）
19. 已知椭圆的上顶点为，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设B为椭圆C的下顶点，动点M到坐标原点O的距离等于1（M与A，B不重合），直线AM与椭圆C的另一个交点为N.记直线BM，BN的斜率分别为，，问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
20. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的极值；
（3）设函数，求证：的最小值大于.
21. 给定数列A：，，，和序列：，，…，，其中满足：①；②.对数列A进行如下s次变换：将A的第1项，第2项，第3项，第4项分别加，，，后得到的数列记作；将的第1项，第2项，第3项，第4项分别加，，，后得到的数列记作；……；以此类推，得到数列，简记为.
（1）已知数列A：7，8，4，4，写出一个序列：，，使得为5，6，6，6；
（2）对数列A：4，6，7，8，否存在序列：，，…，，使得中恰有三项相等？若存在，写出一个序列，若不存在，说明理由；
（3）对数列A：3，7，14，m，若存在序列：，，…，，使得中恰有三项相等，求m的所有取值.
短视频
A
B
C
D
E
F
G
前7天累计播放量（万次）
2.9
3.5
4.5
2.5
4.1
1.4
5.6
短视频
A
B
C
D
E
F
G
第8天单日播放量（万次）
04
0.4
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0.5
0.1
0.8