精品解析：北京市石景山区2024-2025学年高三上学期期末数学试题

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第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
5. 圆心在轴上的圆与直线相切于点，则圆心的纵坐标为（ ）
A. B. C. D.
6. 在的展开式中，含的项的系数是7，则（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
7. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）. 若该食品在的保鲜时间是194小时，在的保鲜时间是50小时，则该食品在的保鲜时间是（ ）
A. 20小时B. 22小时C. 24小时D. 26小时
8. “”是“函数在上单调递减”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 我国有着丰富悠久的印章文化，印章是签署文件时代表身份的信物，因其独特的文化内涵，有时作为装饰物来使用. 图1是一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2所示. 已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的顶点在球的表面上，则球的半径为（ ）

A. B. C. D.
10. 已知集合，若存在，使得，则集合的个数为（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________.
12. 向量在正方形网格中位置如图所示. 若向量与共线，则实数_________.
13. 设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于__________.
14. 已知函数，若，则_________；若对任意的正数，方程都恰有两个不等的实数根，则实数的取值范围是_________.
15. 首项为正数的数列满足，给出下列四个结论：
①存在和，使得是等比数列；
②若且是奇数，则为奇数；
③若且，则存在使得；
④若且，则是递减数列.
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 在中，.
（1）求；
（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.
条件①：的周长为；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17. 某城市甲、乙两个区，甲区有500个居民小区，乙区有300个居民小区. 为了解甲、乙两个区在绿化与垃圾分类两方面的达标情况，进行了调查统计，结果如下：（单位：个）
（1）从甲乙两区所有居民小区中随机抽取一个居民小区，求抽到的是“甲区且绿化达标”的概率；
（2）从甲区和乙区中各随机抽取一个居民小区，设表示这两个居民小区中“垃圾分类达标”的个数，求的分布列和数学期望；
（3）城市管理部门计划按照分层抽样从甲、乙两区抽取40个居民小区进行评比，在抽取的40个居民小区中，设为“绿化达标”居民小区的数量，为“绿化达标且垃圾分类达标”居民小区的数量，试判断方差的大小.（结论不要求证明）
18. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为1的正方形，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.
19. 已知椭圆的离心率为，且椭圆的左、右焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的上顶点且斜率为的直线与椭圆交于另一点，过点作与垂直的直线，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为，若，求的值.
20. 设函数.
（1）当时，求曲线在点处切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）若存在两个极值点，证明：.
21. 项数为的数列满足如下两个性质，则称为一个满足“绝对值关联”的阶数列；
①（其中）；
②.
（1）判断数列是否为一个满足“绝对值关联”的阶数列？是否为一个满足“绝对值关联”的阶数列？说明理由；
（2）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，证明：的最小值为；
（3）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，求的最小值.
绿化达标
垃圾分类达标
绿化达标且垃圾分类达标
甲区
300
250
200
乙区
180
150
120