安徽省合肥市六校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份安徽省合肥市六校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线l过、两点,则直线l的倾斜角的大小为（ ）
A. 不存在B. C. D.
【答案】C
【解析】由题知直线l过、两点,
所以直线的方程为,故倾斜角为.
故选:C
2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】因为直线的方向向量为，平面的法向量为，
由，可得，所以A不正确，C正确；
对于B中，由，可得或，所以B、D都不正确；
故选：C.
3. 已知两平行直线，的距离为，则m的值为（ ）
A. 0或-10B. 0或-20C. 15或-25D. 0
【答案】B
【解析】化简得：，
两平行直线，的距离为：，
，
或，
故选：B.
4. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ）
A. ，3B. ，2C. 1，3D. ，2
【答案】D
【解析】因为，，，
所以，，
因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使，
所以，
所以，解得.
故选：D
5. 在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是正方形的中心，则的值为（ ）
A. 不确定B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，
则,0,，,2,，，
,1,，
．
故选：D．
6. 在平行六面体中，为与的交点，是的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如下图所示：
由题意可知，，
所以，
故选：A.
7. 台风中心从地以每小时速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（ ）
A. 1小时B. 小时C. 小时D. 2小时
【答案】B
【解析】如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则，
以为圆心，为半径作圆，
则圆的方程为，
当台风进入圆内，则城市处于危险区，
又台风的运动轨迹为，
设直线与圆的交点为，，圆心到直线的距离，
则，
所以时间，
故选：B.
8. 已知圆：的圆心为点，直线：与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】A
【解析】设弦的中点为，由题可知圆的半径为，
因为，，所以，
所以，，
可得，解得.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，若，的夹角是钝角，则的可能取值为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】AC
【解析】由题意得，再去掉其共线反方向的情况，
则，解得，当，共线时，
解得，
故且，对照选项知AC正确，BD错误.
故选：AC.
10. 已知直线：，则（ ）
A. 直线的一个方向向量为
B. 直线过定点
C. 若直线不经过第二象限，则
D. 若，则圆上有四个点到直线的距离等于
【答案】BD
【解析】对于A：由方程可得可得一个方向向量：，可判断A错误；
对于B：，
所以，则直线过定点，故B正确；
对于C，若，则直线，此时直线不过第二象限，
又直线过定点，要使得直线不过第二象限，则，解得，
所以若直线不经过第二象限，则，故C错误.
对于D：当时，直线方程为：，圆心到直线的距离为：，
而圆的半径为，因为，所以圆上有四个点到直线的距离等于，正确；
故选：BD
11. 已知点在圆：上，点是直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交，轴于，两点，则（ ）
A. 的最小值为
B. 直线必过定点
C. 满足的点有两个
D. 过点作圆的切线，切线方程为或
【答案】BCD
【解析】A：因为，当PQ最小时，取最小值，
PQ取最小值时即为到直线的距离，所以PQ最小值为，
所以的最小值为，故A错误；
B：设，，所以中点坐标为，，
以为直径的圆的方程为，
又圆，两圆方程相减可得，
即为
令，解得，
所以公共弦所在直线过定点，故B正确；

对于C：对于，
令，则，所以，
令，则，所以，
所以中点的坐标为，，
故以为直径的圆的方程为，
又因为，且，
所以圆与圆相交，所以满足的点有两个，故C正确；
对于D：如图所示，不妨设切线方程为，即，
因为与圆相切，所以，所以，解得，
所以切线方程为或，故D正确；
故选：BCD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知点在平面内，为空间内任意一点，若，则________．
【答案】
【解析】由，
得，
即．
因为点在平面内，所以，得．
13. 直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】如下图所示：设过点且与轴垂直的直线交线段于点，设直线的斜率为，
且，，
当点从点移动到点（不包括点）的过程中，直线的倾斜角为锐角，
此时，；
当点从点（不包括点）移动到点的过程中，直线的倾斜角为钝角，
此时，.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
14. 如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为______.
【答案】
【解析】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，设，
可得，
因为，即，可得，
则，则，整理可得，
可知端点轨迹是以为圆心，半径的圆的部分，
所以端点的轨迹长度为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线：与直线：的交点为.
（1）求点关于直线的对称点；
（2）求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程.
解：（1）联立方程 ,解得
所以两直线，的交点为.
设，则的中点为.
联立方程，解得，所以.
（2）因为，
所以点到经过点的直线距离的最大值为.
由题意，与垂直，则，故的斜率为.
所以直线的方程为，即
所以当距离最大时，直线的方程为.
16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点.

（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：∵、分别为，的中点，∴，
∵为正方形，
∴，则 ，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）解：由题知平面，，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，A0,0,0，，，，
∴，，
∴，，，
设平面ADNM的一个法向量为，
则
令，则，，
∴.
设直线与平面所成的角为，
∴，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知动点与两个定点，的距离的比是2.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程.
解：（1）设点，
动点与两个定点，的距离的比是，
，即，
则，
化简得，
所以动点的轨迹的方程为；
（2）由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
直线被曲线截得的弦长为，
圆心到直线的距离，
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离，
化简得，解得或，
此时直线方程为或.
综上，直线的方程是或.
18. 如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上．

（1）证明：平面；
（2）若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）求动点Q到线段的距离的取值范围．
（1）证明： 因为折叠前为中点，，所以，折叠后，，
所以，所以，在折叠前分别为中点，
所以，又因为折叠前，所以，所以在折叠后，
，；以为坐标原点， 、、分别为、、轴建立
空间直角坐标系，则，，，，，
为中点，所以，，设平面的法向量为
，又，，所以，
，令，则，，所以，所以，
所以，所以平面.
（2）解：设，由（1）知，，因为动点Q在线段上，
且，所以，所以，
所以，，，所以，，
，设平面的法向量为，，
，令，则，，所以，
设平面的法向量为，所以
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
（3）解：设，，，动点Q在线段上，所以，，即，即，
所以，，，
设点Q到线段的距离为，，
，，
，，令，，
则，，根据二次函数的性质可知，
所以，由此可知动点Q到线段距离的取值范围为.
19. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为.
（1）证明：向量是平面的法向量；
（2）若平面，平面，直线l为平面和平面的交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）；
（3）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，，，平面，平面，求实数m的值.
（1）证明：取平面内的任意两点，，
则两式相减得，，
即，所以，从而，
故是平面的法向量.
（2）解：记平面，的法向量为，，
设直线l的方向向量，
因为直线l为平面和平面的交线，所以，，
即，取，则，
所以直线l的单位方向向量为.
（3）解：设，
由平面经过点，，，
所以，解得，即，
所以记平面、、的法向量为，，，
与（2）同理，与确定的交线方向向量为，
所以，即，解得.