福建省龙岩市非一级达标校联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份福建省龙岩市非一级达标校联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 双曲线的焦距为（ ）
A. 3B. 6C. D.
【答案】B
【解析】双曲线,则
则
则.
则焦距为.
故选：B.
2. 已知数列1，，2，，3，，…，根据该数列的规律，100是该数列的第（ ）
A. 100项B. 101项C. 199项D. 200项
【答案】C
【解析】根据该数列规律可将数列进行分组，每一组含有两个互为相反数的组合，
因此100即为第100组的第一个数，其前面有99组，每一组有两项，
因此100是该数列的第项.
故选：C
3. 圆与圆的位置关系为（ ）
A. 相交B. 外切C. 相离D. 内切
【答案】B
【解析】由，知，半径，
由，知，半径，
所以，即两圆外切.
故选：B.
4. 罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔.如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（ ）

A. 3.1米B. 3.8米C. 4.4米D. 5米
【答案】C
【解析】由题意，从第一层到顶层的底面直径构成首项为8，公差为的等差数列，
所以米.
故选：C.
5. 已知是双曲线的右焦点，则点到的渐近线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题设，渐近线为，
则点到的渐近线的距离.
故选：A
6. 若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由可得，
故，故或，
故选：D
7. 已知直线及两点，，若直线与线段相交，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】易知直线过定点，如下图所示：

易知当直线与线段相交时，直线需处在直线与直线之间；
且，，
又易知可化为，其斜率为，
因此可得，解得.
即的取值范围是.
故选：C
8. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，则，，
因为，所以，
即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上.
点在直线上，
所以直线与圆有公共点，
则，解得
故选:B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知圆：，下列结论正确的是（ ）
A. 过点且与圆相切的直线的方程为
B. 过点且与圆相切的直线的方程为
C. 直线：与圆交于，两点，则
D. 直线：与圆交于，两点，则
【答案】AC
【解析】对于A、B选项，首先，点到圆的圆心的距离为，刚好等于圆的半径，所以点在圆上.
显然斜率不存在时不满足题意，则设过点的切线方程为，
即.
根据圆心到切线的距离等于半径，由点到直线距离公式则，
即. 两边平方，解得.
所以切线方程为，即，A选项正确，B选项错误.
对于C、D选项，对于直线，圆心到直线的距离
. 根据弦长公式，
则，C选项正确，D选项错误.
故选：AC.
10. 已知数列的前项和为，，则（ ）
A.
B.
C.
D. 的前项积
【答案】AB
【解析】A：令，则，对；
B：因为，所以当时，，作差可得，
又，所以是首项为，公比为2的等比数列，则，对；
C：由B分析知，，错；
D：由上知，，错.
故选：AB.
11. 已知椭圆：（）与双曲线：（，）有公共焦点，，与在第一象限的交点为，且，记，的离心率分别为，．下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则
C. 的最小值为1
D. 记的内心为，的右顶点为，则轴
【答案】ABD
【解析】对于选项A，根据椭圆定义，
已知，，
则，所以.
根据双曲线定义，则，
所以. 因为，根据勾股定理，将，
代入得，即，，解得. 双曲线的离心率，因为，，所以，故选项A正确.
对于选项B，设，，由椭圆定义，由双曲线定义，
解得，.
因为，所以，即，
化简得.
已知，设，，代入得，
解得. 双曲线的离心率，故选项B正确.
对于选项C，由，则.
根据均值不等式，所以，当且仅当时取等号，
椭圆和双曲线离心率不可能取等，故选项C错误.
对于选项D，设的内切圆半径为.
根据三角形面积公式，.
又，，可得，，.
，.
设，的横坐标为，（，为，的横坐标），
因为，，，所以轴，选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线，，且，则______.
【答案】
【解析】由，则，即.
13. 已知椭圆：（）的离心率为，左焦点为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为，则椭圆的标准方程为______．
【答案】
【解析】由题设有，故，解得，故，故
故椭圆的标准方程为：，
故答案为：.
14. 在数列中，，.设数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】由，
可得，
即，所以，又，
所以是以为首项，2为公差的等差数列，则，
，
，因为，所以，
所以，又恒成立，即恒成立，
，即.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且过点.
（1）求直线的方程；
（2）若圆经过原点和点，且圆心在直线上，求圆方程.
解：（1）设直线的方程为（），
因为直线过点，将点的坐标代入直线方程可得，
化简方程即，解得，
所以直线的方程为.
（2）设圆的标准方程为，
因为圆经过原点和点，
将原点坐标代入圆的方程可得，
将点代入圆的方程可得，
又因为圆心在直线上，所以，
由和相减可得：，
即，
联立方程，
解得，，
把，代入得，
所以圆的方程为.
16. 已知单调递增的等差数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和，并求的最小值及此时的值；
（3）求使成立的的最小值.
解：（1）令的公差为，且，则，
所以，可得（负值舍），则，
所以.
（2）由（1）可得，，
所以，当或3时最小为.
（3）由（1）（2）有，则，
又，故时成立，故的最小值为7.
17. 已知双曲线左、右焦点分别为，，的右顶点在圆上，且.
（1）求的方程；
（2）点在上，且轴，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求.
解：（1）由题意，又，即，又，
由，即，所以.
（2）由（1）知：，将代入双曲线，得，
令，又双曲线渐近线为，如下图示，
所以，，则.
18. 已知数列满足，；数列满足，.
（1）求，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围.
解：（1），时，
，
所以，而，综上所述的通项公式为，
因为，，所以是首项为2，公比为2的等比数列，从而；
（2）由题意，
所以，
所以，
所以；
（3）令，则，
从而，注意到，
因为满足不等式的正整数的个数为3，所以当且仅当的取值范围.
19. 古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点到两个定点，的距离之比为定值2，则点的轨迹就是阿氏圆，记为.
（1）求的方程；
（2）若与轴分别交于E，F两点，不在轴上的点是直线上的动点，直线HE，HF与的另一个交点分别为，，证明直线MN经过定点，并求出该定点的坐标.
解：（1）设，根据，得，
即，所以的方程为.
（2）根据圆的对称性，不妨设.
设，则，
所以直线HE的方程为，直线HF的方程为.
设.
联立方程得，
所以，即，则，所以.
联立方程得，
所以，即，则，所以.
当时，，
所以直线MN的方程为，化简得，
所以直线MN过定点; 当时，，此时直线MN过定点.
综上，直线MN过定点.