2024-2025学年甘肃省庆阳市高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年甘肃省庆阳市高二（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={x|y= x},B={x|−2≤x≤1}，则A∩B=( )
A. {x|00,b>0)的顶点到渐近线的距离为实轴长的25，则双曲线C的离心率为( )
A. 43B. 2 33C. 53D. 3
6.(x−2x)10的展开式中x6的系数为( )
A. 180B. −180C. 960D. −960
7.某机构对2024年某地销售的新能源汽车的销售价格与销售数量进行统计，销售价格都不小于5万元，且小于30万元，销售价格分为五组：[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)(单位：万元).统计后制成如图所示的频率分布直方图，则销售价格的80%分位数为( )
A. 26B. 23C. 21D. 19
8.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f′(x)是f(x)的导函数，f′′(x)是f′(x)的导函数，则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率K=|f″(x)|(1+(f′(x))2)32.曲线y=e2x−sinx在点(0,f(0))处的曲率为( )
A. 4 525B. 2C. 55D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为r1=−0.95，r2=0.88，r3=−0.9，r4=0.93，则( )
A. 这四人中，丁研究的两个随机变量的线性相关程度最高
B. 这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低
C. 这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高
D. 这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最低
10.已知函数f(x)=x3+3x2+a2x+9，若f(x)有两个极值点，则实数a的取值可能是( )
A. −2B. −1C. 0D. 2
11.已知y=f(x−1)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=f(2−x)，当x∈(−1,2]时，f(x)=2x+x2，则( )
A. 点(−1,0)为f(x)图象的一个对称中心B. f(−1)=32
C. f(x)的一个周期为12D. f(2025)=3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=4，c=2 2，A=π4，则C= ______．
13.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，P(1,4)为抛物线C内侧一点，M为C上一动点，|MP|+|MF|的最小值为10，则p= ______．
14.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S8S4=6，则S12S4= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在数列{an}中，a1=3，an+1−an=2n+3．
(1)求an；
(2)设bn=1an，求数列{bn}的前n项和Sn．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x32+x2−mx+2．
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为3x−y+n=0，求m，n；
(2)若f(x)有三个零点，求实数m的取值范围．
17.(本小题15分)
已知正方形ABCD，沿BD将△ABD折起到△PBD的位置(如图)，G为△PBD的重心．
(1)在BC边上找一点E，使得GE//平面PCD，并求出BEBC的值．
(2)在(1)的条件下，设GE⊥PD．
①证明：平面PBD⊥平面BCD．
②求平面PGC与平面PDE所成角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知椭圆W：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为23，左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为103．
(1)求椭圆W的方程；
(2)直线y=kx(k≠0)与椭圆W交于A，B两点，连接AF1，交椭圆W于点C，若△ABC的面积为5，求直线AC的方程．
19.(本小题17分)
在一次闯关游戏中，某一关有A，B，C三道题.将这三道题按一定顺序排好后(如第一道题为C题，第二道题为B题，第三道题为A题)，玩家开始答题.若第一道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第二道题；若第二道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第三道题；若第三道题答对，则通过本关，若没有答对，则没有通过本关.假设每名玩家答对A，B，C三道题的概率分别为0.2，0.3，0.5.每次答题正确与否相互独立．
(1)求玩家通过这一关的概率．
(2)规定：答对A题积30分，答对B题积20分，答对C题积10分.现有两种题序可供选择：①第一道题为A题，第二道题为B题，第三道题为C题；②第一道题为C题，第二道题为B题，第三道题为A题.为了在本关中得到更多的积分，应该选择哪种题序？
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.C
5.C
6.A
7.C
8.B
9.BC
10.BCD
11.AC
12.π6
13.12
14.31
15.(1)根据题意，an=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+⋯+(an−an−1)，
所以an=3+[5+7+9+⋯+(2n+1)]=n[3+(2n+1)]2=n2+2n(n≥2)，
又a1=3满足上式，所以an=n2+2n；
(2)因为bn=1an=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，
所以Sn=12(1−13+12−14+⋯+1n−1n+2)=12(1+12−1n+1−1n+2)
即Sn=34−2n+32(n+1)(n+2)．
16.(1)因为f(x)=x32+x2−mx+2，
所以f′(x)=32x2+2x−m，
因为f(1)=72−m，f′(1)=72−m，
所以72−m=372−m=3+n，
解得m=12n=0；
(2)因为f(x)有三个零点，
即x32+x2−mx+2=0有三个解，
显然x=0不是函数的零点，
所以关于x的方程x22+x+2x−m=0有三个不同的根，
即曲线y=x22+x+2x与直线y=m有三个交点．
令g(x)=x22+x+2x，
则g′(x)=x+1−2x2=x3+x2−2x2=(x3−1)+(x2−1)x2=(x−1)(x2+2x+2)x2，
因为x2+2x+2>0，
所以当x∈(−∞,0)，(0,1)时，x−10，
所以g(x)在(−∞,0)，(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．
因为g(1)=72，所以当m>72时，直线y=m与曲线y=g(x)有三个交点，
故实数m的取值范围是(72,+∞)．
17.解：(1)当GE/​/平面PCD时，BEBC=23．
证明如下：取PD的中点F，连接BF，CF，GE，
因为G为△PBD的重心，所以BGBF=BEBC=23，
所以GE/​/FC，
因为GE⊄平面PCD，FC⊂平面PCD，
所以GE/​/平面PCD．
(2)①证明：取BD的中点O，连接PO，CO，FO，则PO⊥BD，CO⊥BD，
因为GE/​/FC，GE⊥PD，所以PD⊥FC，
因为PD⊥FO，FC∩FO=F，FC，FO⊂平面FOC，
所以PD⊥平面FOC，
因为OC⊂平面FOC，
所以OC⊥PD，
因为OC⊥BD，PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PBD，
所以OC⊥平面PBD，
因为OC⊂平面BCD，
所以平面PBD⊥平面BCD．
②由①知，直线OB，OC，OP两两垂直，
以O为坐标原点，OB，OC，OP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
不妨设正方形ABCD的边长为6，
则B(3 2,0,0)，C(0,3 2,0)，D(−3 2,0,0)，E( 2,2 2,0)，G(0,0, 2)，P(0,0,3 2)，
连接PE，DE，可得DE=(4 2,2 2,0)，PD=(−3 2,0,−3 2)，
设平面PDE的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅DE=4 2x+2 2y=0m⋅PD=−3 2x−3 2z=0，
令x=1，得m=(1,−2,−1)，
平面PGC的一个法向量为n=(1,0,0)，
设平面PGC与平面PDE所成的角为α，
则csα=|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|=1 6= 66，
所以平面PGC与平面PDE所成角的余弦值为 66．
18.解：(1)∵过点F2且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为103，
∴2b2a=103⇒b2=53a，
∵椭圆的离心率e=ca=23⇒c2=49a2，
又∵a2=b2+c2，
故可列方程组为b2=53ac2=49a2a2=b2+c2，
解得a2=9，b2=5，
故椭圆W的方程为x29+y25=1．
(2)由题意知，直线AC不垂直于y轴，∵直线AC经过F1(−2,0)，
设直线AC的方程为x=ty−2，A(x1,y1)，C(x2,y2)，
联立x=ty−2,x29+y25=1，
得(5t2+9)y2−20ty−25=0，
由韦达定理得，y1+y2=20t5t2+9，y1y2=−255t2+9，
∴|AC|= (t2+1)[(y2+y1)2−4y2y1]
= (t2+1)[(20t5t2+9)2+1005t2+9]=30(t2+1)5t2+9．
∵点O(坐标原点)到直线AC的距离d=2 t2+1，
且O是线段AB的中点，所以点B到直线AC的距离为2d，
∴S△ABC=12|AC|⋅2d=30(t2+1)5t2+9⋅2 t2+1=60 t2+15t2+9．
由60 t2+15t2+9=5⇒12 t2+1=5t2+9，
令 t2+1=m，
则t2=m2−1，
上式变为12m=5(m2−1)+9，
解得m=2或m=25，
即t2=3或t2=−2125(舍去)，
∴t=± 3，
故直线AC的方程为x− 3y+2=0或x+ 3y+2=0．
19.(1)设通关概率为P(A)，未通关概率为P(B)：
则P(B)=(1−0.2)×(1−0.3)×(1−0.5)=0.28，
那么，P(A)=1−P(B)=1−0.28=0.72，
故玩家通过这一关的概率为0.72；
(2)计算两种答题顺序的期望积分：
顺序①A→B→C：
答对A题：30×0.2，答错A答对B：20×0.8×0.3，答错A、B答对C：10×0.8×0.7×0.5
期望总积分①：=30×0.2+20×0.8×0.3+10×0.8×0.7×0.5=13.6，
顺序②C→B→A：
答对C：10×0.5，答错C答对B：20×0.5×0.3，答错C、B答对A：30×0.5×0.7×0.2，
期望总积分②：=10×0.5+20×0.5×0.3+30×0.5×0.7×0.2=10.1，
比较结果大小：13.6>10.1
故应选择题序①．