高考数学精品讲义练习【一轮复习】第七章　7．2　空间点、直线、平面之间的位置关系

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】第七章　7．2　空间点、直线、平面之间的位置关系，共16页。试卷主要包含了空间中直线与直线的位置关系，异面直线所成的角等内容，欢迎下载使用。
1．理解空间点、直线、平面的位置关系的定义．
2．了解四个基本事实、三个推论和等角定理，并能应用它们解决问题．
1．“四个”基本事实
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行Ｗ．
2．“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(相交直线：在同一平面内，有且, 只有一个公共点,平行直线：在同一平面内，没有, 公共点)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有, 公共点))
4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
5.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补Ｗ．
6．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.
(2)范围： eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
教材拓展
关于唯一性的常用结论
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过点A的任意一条直线．( × )
(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．( × )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( × )
(4)两两相交的三条直线共面．( × )
2．（人教A版必修第二册P147例1改编）如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，C1D1的中点，则直线AF与BE所成角的余弦值为( B )
A． eq \f(\r(5),10) B． eq \f(\r(5),5)
C． eq \f(3\r(5),10) D． eq \f(2\r(5),5)
解析：连接CA，CF，如图所示．易得BE∥CF，所以直线AF与BE所成的角为∠CFA（或其补角）.不妨设AB＝2.在△CFA中，易得AF＝3，AC＝2 eq \r(2)，CF＝ eq \r(5)，由余弦定理得cs ∠CFA＝ eq \f(AF2＋CF2－AC2,2AF·CF)＝ eq \f(\r(5),5)，即直线AF与BE所成角的余弦值为 eq \f(\r(5),5).故选B.
3．（人教A版必修第二册P128T1改编）下列说法正确的是( B )
A．四边形一定是平面图形
B．不在同一条直线上的三点确定一个平面
C．梯形不一定是平面图形
D．平面α和平面β一定有交线
解析：四边形不一定是平面图形，也可能是空间四边形，故A错误；不共线的三点确定一个平面，故B正确；梯形中，有一组对边平行，可以确定一个平面，故梯形一定是平面图形，故C错误；若平面α和平面β平行，则其没有交线，故D错误．故选B.
4．（人教A版必修第二册P132T9改编）在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，D，E分别是AB，AC的中点，则( D )
A．B1D与A1E相交，且B1D＝A1E
B．B1D与A1E相交，且B1D≠A1E
C．B1D与A1E是异面直线，且B1D＝A1E
D．B1D与A1E是异面直线，且B1D≠A1E
解析：如图所示，因为A1E∩平面AA1B1B＝A1，B1D⊂平面AA1B1B，A1∉B1D，所以B1D与A1E是异面直线，B1D＝ eq \r(BB eq \\al(2,1)＋\f(1,4)AB2)，A1E＝ eq \r(AA eq \\al(2,1)＋\f(1,4)AC2).因为AA1＝BB1，AB≠AC，所以B1D≠A1E.故选D.
考点1 基本事实的应用
【例1】 已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点．
【证明】 (1)如图所示，连接B1D1.

因为EF是△C1D1B1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD­
A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，
所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，连接A1C，如图所示，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，
同理，P是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
(3)因为EF∥BD且EFEH＝1，Rt△C1CQ中，C1Q>C1H＝ eq \r(12＋22)＝ eq \r(5)，所以截面的周长大于1＋ eq \r(3)＋2 eq \r(5)，故C错误；由B知，GF∥HE且HE≠GF，所以梯形的两腰EF，GH所在直线必相交于一点P′，因为P′∈平面A1ABB1，P′∈平面A1ACC1，平面A1ABB1∩平面A1ACC1＝AA1，所以P′∈AA1，所以P′与P重合，即EF，GH，AA1三线共点于P，故D正确．故选C.
项目
图形语言
符号语言
公共点
直
线
与
平
面
相交
a∩α＝A
1个
平行
a∥α
0个
在平
面内
a⊂α
无数个
平面与平面
平行
α∥β
0个
相交
α∩β＝l
无数个
方法
解读
平移法
将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解
补形法
在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解