重庆市北碚区2025年中考自主招生数学数学试卷（解析版）

这是一份重庆市北碚区2025年中考自主招生数学数学试卷（解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的倒数是（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴的倒数是，
故选：C．
2. 下列图形是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
3. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A. B. 5C. D. 10
【答案】C
【解析】点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
故选：．
4. 若两个相似三角形的周长比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵两个相似三角形的周长比是，
∴这两个相似三角形的面积比是，
故选：D
5. 蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计．下图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，．．．，按此规律排列下去，第⑧个图案用的小棒根数是（ ）
A. 59B. 67C. 75D. 96
【答案】B
【解析】第①个图案用了根小棒，第②个图案用了根小棒，第③个图案用了根小棒，第④个图案用了根小棒，
，
以此类推可知，第n个图案用的小棒根数是，
∴第⑧个图案用的小棒根数是，
故选：B ．
6. 已知，则实数的取值范围是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】，
∵，
∴
∴，
即，
故选：B
7. 有一块周长为米的矩形菜地，为扩大种植面积，将菜地的长、宽各增加米，结果菜地面积增加了，求原来菜地的长和宽．若设原来菜地的长为米，根据题意，下列所列方程正确的是（ ）
A.
B
C.
D.
【答案】B
【解析】设原来菜地的长为米，
由题意得，，
故选：．
8. 如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点．以为圆心，长为半径画弧，与相切于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接
∵长为半径画弧，与相切于点．
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，
又∵以为圆心，长为半径画弧，交于点
∴，
∴图中阴影部分的面积为
故选：C．
9. 如图，在矩形中，为的中点，，分别是边，上的点，且．将沿翻折得到，点恰好落在上．则的值为( )
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，延长，交于点，连接．
，
设，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴
∴
，
，
∵，
，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10. 已知整式，其中，，，，，均为不等于的整数．若，下列说法：满足条件的整式中只有个一次二项式；当时，满足条件的整式中，有个多项式使得成立；对于任意的正整数，所有满足条件的整式的和为．其中正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵是一次二项式，
∴，
∴，
∴，或，或，或，；
∴满足条件的整式中只有个，故正确；
当时，，，
∴，，或，，或，，或，，或，，或，，，
∴满足条件的整式中有个，故正确；
若，满足，
则，也满足，
∴所有满足条件的整式的和为，故正确；
综上可知：正确，
故选：．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）．
11. 计算 __．
【答案】
【解析】原式
故答案为：
12. 如图，，点是上一点，，，则___________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13. 有四张完全一样正面分别标有字母，，，的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的字母为和的概率是___________．
【答案】
【解析】如下图所示，
由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中抽取的两张卡片上的字母为和的情况有种，
抽取的两张卡片上的字母为和的概率是．
故答案为：．
14. 若关于的分式方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和是___________．
【答案】6
【解析】将关于的分式方程的两边都乘以，得
，
解得，
由于分式方程有非负整数解，
是的偶数，
又分式方程有增根，
，即，
，
关于的不等式的解集为，
关于的不等式的解集为，
不等式组的解集为，
，
解得，
综上，且的偶数，
符合条件所有整数的和是．
故答案为：6．
15. 如图，是的直径，弦，垂足为为上一点，过点作的切线，分别交的延长线于点和点，连接交于点，连接．若，，则___________，___________．
【答案】①. ②.
【解析】连接、、，如图：

设的半径为r，则，
∵，
∴，
∴在中，，
解方程得，
∴
∴在中，，
∴，
∵点作的切线，分别交的延长线于点和点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵为的直径，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
16. 一个四位正整数，各数位上的数字均不为，若的千位数字与十位数字之和是百位数字与个位数字之差的倍，则称这个四位数为“差倍数”．例如：，因为，所以是“差倍数”，则最小的“差倍数”是___________．将“差倍数”任意去掉两个数位的数字得到一个两位数，把能得到的所有两位数的和记为．例如：．若“差倍数”的百位数字与个位数字之差是，且是的倍数，则满足条件的“差倍数”的最大值与最小值之和为___________．
【答案】①. ②.
【解析】一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为、、、，且各数位上的数字均不为，
根据题意可得：，
要使“差倍数”最小，则，
，且
，，则，
最小的“差倍数”是；
故答案为：
由题意可得：，
则，，
，
，
是的倍数，是的倍数，
是的倍数，
当时，，不是的倍数；
当时，，是的倍数，此时，则最小可取，则，此时足条件的“差倍数”的最小值为；
当时，，不是的倍数，
当时，，不是的倍数，
当时，，不是的倍数，
当时，，是的倍数，此时，则最小可取，则，此时足条件的“差倍数”的最小值为；
当时，，不是的倍数，
当时，，不是的倍数，
当时，，不是的倍数，
满足条件的“差倍数”的最大值与最小值之和为，
故答案为：．
三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）.
17. 计算：
（1）；
（2）．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18. 如图，在等腰中，，是外角的平分线，，垂足为点．
（1）用直尺和圆规，作的平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，试说明四边形是矩形．请根据以下思路完成填空：
证明：
平分，
___________①___________．
．
，
．
平分平分，
，___________②___________．
___________．
四边形是矩形．
进一步思考，若是等腰直角三角形，那么四边形是___________④___________．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：平分，
．
．
，
．
平分平分，
，
．
四边形是矩形．
进一步思考，若是等腰直角三角形，那么，则是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形．
19. 为了解学生的科学素养状况，某校举办了科学知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的竞赛成绩均不低于60分（成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：83，85，86，86，87，87，87，87，88，89．八年级20名学生的竞赛成绩是：
67，69，70，74，75，78，82，83，85，88，
88，89，89，89，90，93，95，98，98，100．
七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表七年级所抽学生的竞赛成绩统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中___________，___________，___________；
（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的科学知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校七年级有500名学生、八年级有450名学生参加了此次科学知识竞赛．估计该校七、八年级参加此次科学知识竞赛成绩为“优秀”（）的学生人数总共是多少？
（1）解：依题意，七年级共抽取20名学生的竞赛成绩，
∴中位数排在第和名，
则，
∴，
∴，
在八年级的20名学生的竞赛成绩， 89出现3次，且为次数最多的，
故，
故答案为：，．
（2）解：八年级的成绩更好，理由如下：
七年级和八年级平均数都是分，
∵，
即八年级竞赛成绩的中位数和众数都比七年级的学生的高，
∴八年级的成绩更好；
（3）解：依题意，（人）．
20. 甲、乙两地之间新修建了一条高速公路，比原来国道的长度减少了35千米，现两条公路一共长315千米．
（1）求甲、乙两地之间的高速公路和原来国道各有多少千米？
（2）高速公路通车后，某长途货车的行驶速度比在原来国道上的行驶速度提高了，从甲地到乙地的行驶时间缩短了小时．求该长途货车在原来国道上行驶的速度．
解：（1）设甲、乙两地之间的高速公路为千米，则甲、乙两地之间的原来国道为千米，由题意得：
，
解得：，
，
答：甲、乙两地之间的高速公路为140千米，甲、乙两地之间的原来国道为175千米；
（2）设长途货车在原来国道上行驶速度为千米/小时，则长途货车在高速公路上行驶的速度为，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：该长途货车在原来国道上行驶的速度为50千米/小时．
21. 如图，在中，，，，点为边上一点（点不与重合），，过点作的垂线，垂足为点．点的距离为，线段与线段的长度之比为．
（1）请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
解：（1）在中，，
，
，
已知，
，，
点不与重合，，所以自变量的取值范围是；
点不与重合，，
自变量的取值范围是；
（2）列表如下：
图如下所示：
从图象看，当时，随增大而增大，时，随增大而减小（答案不唯一）；
（3）通过观察画出的函数图象，找到的图象在图象下方时对应的的取值范围，得到．
22. 如图，港在港正北方向42海里处，港在港的正东方向30海里处，港，港在港的正东方向，且港在港北偏东方向，港在港的东北方向．（参考数据：）
（1）求，两港之间的距离；（结果保留小数点后一位）
（2）甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港装运新的物资．若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．
解：（1）过点作，交的延长线于点，
根据题意，四边形为矩形，
∵海里，
∴海里，
在中，，
∴（海里），
答：两港之间的距离为59.2海里；
（2）甲船路线为：，
∵在中，海里，
∴（海里），
（海里），
∵在中，，
∴海里，
∴（海里），
（海里），
（海里）．
∴甲船行驶的总路程为
（海里）
∵乙船路线为：，
∴乙船行驶的总路程为
（海里）
∵甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠两港的时间相同），
∴乙货轮先到达港．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与轴交于点，与轴交于两点(在的左侧)，，连接，抛物线的对称轴为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作的平行线交轴于点，求的最大值；
（3）点为抛物线上一点，其横坐标比在(2)中取得最大值时点的横坐标大，连接，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
解：（1）当时，，
，
，
，
点的坐标为，
对称轴是直线
设，
把代入得：，
（2）设的解析式为：，
解得：
的解析式为
设则
如图，延长交轴于点，
，轴，
，，
，
当时，有最大值为
（3）由（2）得：点的横坐标为，
为抛物线上一点，其横坐标比的横坐标大，即的横坐标为，
点的坐标为
由题意知：原抛物线沿射线方向平移，即原抛物线向上抛物线平移个单位，再向右平移个单位，
平移后的抛物线的解析式为：
解得：，
，
如图，设交轴于，
由，，可得的解析式为：，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
分两种情况：
①当点在轴的下方时，
，，
，
过点作轴于，
，
，，
，
，
，
设，则，，
，
解得：
同理可得的解析式为：
解得：
的坐标为
②如图3，当点在轴的上方时，
由①知：，
∴，
∴点的纵坐标为2，
∴
解得：，
∴的坐标为，
综上，点的坐标为或．
24. 在中，，，为的中点，为上一点．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，若为外部一点，为的中点，将绕点按顺时针方向旋转到（，均在直线的左侧），连接、．若，求证：；
（3）将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，请直接写出的值．
（1）解：在中，，
∴
∵，
∴，
如图，作的中点，连接，
∴，，
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴
在中，;
（2）证明：如图，连接，过点作交于点，延长交于点，交的延长线于点，
∵在中，，，为的中点，为的中点，
∴，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转到
∴，
∴，即
∴
∴，，
∴
又∵
∴
∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴
∴
在
∴
∴
∴，即
（3）解：如图所示，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到线段，
∴
∵将绕点按顺时针方向旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，为的中点，
∴
设，则，，
∵将沿直线翻折至所在平面内得到，
∴
∴，即在以为圆心的上运动，
连接过点作于点，则，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，则，
∴，
∴，
∵，
∴当在上，取得最小值，最小值为，
∴.
年级
七年级
八年级
平均数
85
85
中位数
88
众数
87
x
5
4
5