山东省菏泽市2024-2025学年高二上学期11月期中考试（A） 数学试卷（解析版）

这是一份山东省菏泽市2024-2025学年高二上学期11月期中考试（A） 数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 下列选项中，与直线平行的直线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
对于A：，可知两直线重合，不符合；
对于B：，所以不平行，不符合；
对于C：，所以不平行，不符合；
对于D：，，且，所以两直线平行，符合；
故选：D.
2. 已知椭圆C：，“”是“点为C的一个焦点”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若可得得一个焦点坐标为，即充分性成立；
若“点为C的一个焦点”，则可得，即，可知必要性成立，
因此，“”是“点为C的一个焦点”的充要条件.
故选：C
3. 已知曲线，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为，且，则点N的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵，∴三点共线，且
又∵轴，∴设，则，，
∵点在上，∴，即.
故选：B.
4. 已知不全为零的实数、、满足，则直线被圆所截得的线段长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为不全为零的实数、、满足，
则直线的方程可化为，
即，
由可得，即直线过定点，
因为，即点在圆内，
圆的圆心为原点，半径为，
当时，圆心到的距离取最大值，且最大值为，
所以，直线被圆截得的弦长的最小值为.
故选：B.
5. 已知椭圆C：的一个焦点为，且C过点，则（ ）
A. 10B. 49C. 50D. 1201
【答案】D
【解析】椭圆C：的一个焦点为，过点，
∴，∴ ，∴.
故选：D.
6. 已知双曲线C：（，）的右焦点为，点在C上，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】点在C上，右焦点，，
则，解得，所以离心率，
故选：A．
7. 直线l：与圆的公共点个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 1或2
【答案】C
【解析】由整理得：，
可知圆圆心坐标为，半径为，
再由直线l：恒过点，
由圆心到点的距离为，可知，
所以点在圆的内部，
即直线l与圆一定有两个交点.
故选：C.
8. 已知椭圆：（，）的左、右焦点分别为，，点是上一点，直线，的斜率分别为，，且是面积为的直角三角形.则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴，
∵，∴设，
则，
∴，
∴，∴，
∵，
∵，
∴，
∴椭圆方程为：.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（ ）
A. 两条平行直线B. 两条相交直线
C. 圆D. 椭圆
【答案】CD
【解析】一个平面去截一个圆柱的侧面，若平面与底面平行，则得到的图形为圆，
若平面与底面夹角为锐角时，可以得到的图形为椭圆.
故选：CD.
10. 设抛物线C：的准线为l，点P为C上的动点，过点P作圆A：的一条切线，切点为Q，过点P作l的垂线，垂足为B.则（ ）
A. l与圆A相交
B. 当点P，A，B共线时，
C. 时，的面积为2或6
D. 满足的点P恰有2个
【答案】BCD
【解析】对于A，由抛物线，即，则准线，
由圆整理可得，则圆心，半径r=1，
由圆心到直线y=-1的距离为，则圆与直线相切，故A错误；
对于B，由题意作图如下：
由共线，且，当时，，则，，
，，故B正确；
对于C，由，则令，，解得，
当时，的高为，面积为，如下图：
当时，的高为，面积为，如下图：
故C正确；
对于D，由题意可作图如下：
由抛物线整理可得，则其焦点，易知，
由直线的斜率，线段中点，
则线段的中垂线方程为，整理可得，
联立，消可得，，
所以线段的中垂线与抛物线存在两个交点，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与圆相切于点，与第二象限内的渐近线交于点，则（ ）
A. 双曲线的离心率
B. 若，则的渐近线方程为
C. 若，则的渐近线方程为
D. 若，则的渐近线方程为
【答案】AC
【解析】对于A，，，，，
，，又与第二象限内的渐近线交于点，
，即，，，A正确；
对于B，由A知：，又，，
直线即为双曲线的一条渐近线，
，，又，
，，
，
，，
，整理可得：，
，，，
即，解得：，的渐近线方程为，B错误；
对于C，，，
，，
，整理可得：，即，
，，的渐近线方程为，C正确；
对于D，，，，
，
，，
，整理可得：，
，，，的渐近线方程为，D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆与x轴相切，则__________.
【答案】
【解析】由圆的方程整理可得圆，
则圆心，半径，
由圆与轴相切，则，解得.
13. 已知抛物线C：的焦点恰为圆的圆心，点是与圆的一个交点，则点到直线的距离为__________，点到直线的距离为__________.
【答案】
【解析】∵圆的标准方程：，∴圆心为0,1，半径，
∴，即，即抛物线C：，F0,1
联立方程组，
解得或（∵舍去），
∴，
∴或，
∵直线与轴重合，∴点到直线的距离为，
由对称性可知，无论取哪个点，点到直线的距离相等，
∴取，直线，
∴点到直线的距离.
14. 已知曲线C是椭圆被双曲线（）所截得的部分（含端点），点P是C上一点，，，则的最大值与最小值的比值是__________.
【答案】2
【解析】由椭圆，则，，
易知为椭圆的左右焦点，
由为椭圆上的点，则，可得，
所以，联立，解得，
当时，取得最小值，则取得最小值
如下图：
当时，取得最大值，则取得最大值，如下图：
.
所以的最大值与最小值的比值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C：.
（1）求C的面积；
（2）若直线l：交C于A，B两点，求.
解：（1）由椭圆C的方程可知，，
所以，椭圆C的面积；
（2）联立，
得，
设，则，，
∴，
所以，.
16. 已知椭圆C：上的左、右焦点分别为，，直线与C交于两点，若面积是面积的3倍，求的值.
解：将直线与椭圆联立，
消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，
则，解得，
设到的距离为，到的距离为，易知F1-1,0，F21,0，
则，，
所以，解得或(舍去)，
故.

17. 已知椭圆C：，直线l过原点，且与C相交于A，B两点，并与点构成三角形.
（1）求的周长的取值范围：
（2）求的面积S的最大值.
解：（1）由题可得，，
则，故，
所以为椭圆的其中一个焦点，则另一个焦点坐标为，
连接，由对称性可知，，

故，则的周长为，
设，，
因为三点构成三角形，故不共线，所以，
故且，
则，
因为，故，
所以的周长；
（2），
不共线，故，
所以，S的最大值为12.
18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的右顶点为，过作直线与椭圆交于另一点，且，求直线l的方程．
解：（1）由题可知，其中，所以,
又点在椭圆上，所以，即，解得，
所以椭圆E的方程为．
（2）由椭圆的方程，得，
所以，
设，其中，因为，
所以，
又点在椭圆上，所以，
联立方程组，得，
解得或（舍），
当时，，即或．
所以当的坐标为时，直线的方程为；
当的坐标为时，直线的方程为．
综上，直线的方程为或.

19. 若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”.
（1）圆的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直线的方程：
（2）已知正方形A的方程为，且正方形A为双曲线的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e的取值范围；
（3）设函数的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由.
解：（1）根据“切立方”的定义，设直线方程，可得
，，，
，；
（2）由正方形A的方程为，则，
由正方形A为双曲线的一个“切立方”，
则，联立整理得，
则，
整理得，即，
由图可知，则，
所以
（3）由曲线，设切点为，
联立，
得，
即，
点在曲线和直线上，整理得，
则过该点的一条切线方程为，
即，
由函数为奇函数，其图象关于原点对称，因此如果曲线C是存在“切立方”，
则正方形也关于原点对称，故与第一条边平行的正方形的另一条边所在直线为：，
设第三个切点为（），同理可得另两条切线为，
若存在正方形，即，
由此可设，，代入消元可得，
设，
由，，且在上，函数图象连续不间断，
则由零点存在性定理可知在上有解，
因此曲线C存在切立方.