湖南省岳阳市2024_2025学年高一数学上学期期末试题含解析

这是一份湖南省岳阳市2024_2025学年高一数学上学期期末试题含解析，共17页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号、姓名和座位号填写在答题卡指定位置.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改
动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的运算法则计算．
【详解】由题意 ，所以 ．
故选：A．
2. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由带存在量词的命题的否定要求，改变量词，否定结论即得.
【详解】将命题的量词改变，并否定结论即得：
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命题“ ， ”的否定是“ ， ”.
故选：A.
3. 的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式化简，再代入特殊角的三角函数值即得.
【详解】 .
故选：C.
4. 已知 ， ，则“关于 的不等式 有解”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】解：若关于 的不等式 有解，
当 时，关于 的不等式 一定有解，此时无法确定判别式是否大于零，
当 时，则 ，
则关于 的不等式 有解不能推出 ，
若 ，
当 时，关于 的不等式 一定有解，
当 时，关于 的不等式 有解，
所以 能推出关于 的不等式 有解，
所以“关于 的不等式 有解”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
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5. 若如图是函数 （ 且 ， ）的大致图象，则函数 的大
致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据函数 的图象确定 的范围，再根据指数函数的图象即可得解.
【详解】由函数 的图象知 ，
则 ，
所以函数 为增函数，
且函数 的图象是由函数 向上平大于零小于 个单位，
所以函数 的大致图象是 C 选项.
故选：C.
6. 下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定.
【详解】对于 A，函数 上单调递增，有唯一零点 ，
所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于 B，函数 ，
故函数有唯一零点 ，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点；
对于 C，当 时， ，
当且仅当 时，等号成立，无零点；
当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
函数在 上单调递减，在 上单调递增，
此时有两个零点 ，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于 D，函数 在 上单调递增，有唯一零点 ，
所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.
故选：B
7. 玻璃的透光性是玻璃的一项重要的性能指标．某玻璃厂在进行产品的性能测试时，发现光线通过一块玻
璃，强度要损失 10%．设光线原来的强度为 k，通过 x 块这样的玻璃以后，光线强度为 ，要使光
线削弱为原来的 ，至少需要通过几块这样的玻璃？（已知 ， ）（ ）
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】由题意列方程 ，通过取对数并代值估计即得.
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【详解】由题意，设通过 x 块这样的玻璃以后，光线削弱为原来的 ，则易得： ，
即 ，两边取对数，可得 ，
故至少需要通过 16 块这样的玻璃.
故选：D.
8. 已知 是 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由分段函数的单调性列出不等式组，求解即得参数范围.
【详解】由题意，需使 ①； 在 上恒成立②； ③； ④
同时满足，由②可得 ；由③ 可得 ；由④ 可得 .
综上可得：实数 a 的取值范围为 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题有个细节是关键，就是需要考虑第一段函数中真数部分函数在 上恒为正
数这一条件,而且还要考虑对数型复合函数的单调性.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知函数 ， ，则（ ）
A. 函数 的最小正周期为
B. 函数 的图象关于点 成中心对称图形
C. 函数 的最大值为 2
D. 函数 的单调递减区间为
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【答案】ACD
【解析】
【分析】由周期公式求出周期即可判断 A；计算 即可判断 B；由正弦函数性质即可判断 C；计算不
等式 即可判断 D.
【详解】对于 A，函数 的最小正周期为 ，故 A 正确；
对于 B， ，
所以函数 的图象不关于点 成中心对称图形，故 B 错误；
对于 C，因为 ，所以 ，
所以函数 的最大值为 2，故 C 正确；
对于 D，令 ，解得 ，故 D 正确；
故选：ACD
10. 已知实数 a,b,c,m，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ， ，则
C. 若关于 x 的不等式 的解集为 ，则关于 x 的不等式 的解集为
D. 若 ，且 ，则 的最小值为
【答案】AB
【解析】
【分析】对于 A，利用不等式性质即可判断；对于 B，运用作差法比较即得；对于 C，利用三个二次的关系，
求出 的值，再解一元二次不等式即可；对于 D，由题设等式推出 ，代入所求式，运用基本不等式
并判断等号成立条件即可判断.
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详解】对于 A，由 可知 ，故可得 ，即 A 正确；
对于 B，由 ，
因 ， ，可得 ，故有 ，即 B 正确；
对于 C，依题意， 是方程 的两根，且 ，
则得 ，解得 ，
于是不等式 即 ，解得 或 ，
故其解集为 ，故 C 错误；
对于 D，由 ，且 可得 或 ，解得 或 ，
因 ，故 ，则 ，当且仅当 时等号成立，
但当 时， 不满足 ，故等号不成立，即 的最小值不是 ，故 D 错误.
故选：AB.
11. 函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ，则
下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用轴对称有中心对称的意义推理可得函数 是偶函数，再利用单调性逐项分
析判断.
【详解】由 为奇函数，得 ，即 ，
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由 偶函数，得 ，则 ，
，于是 ，
因此函数 是偶函数，且当 时， 单调递减，
对于 A， ，则 ，A 正确；
对于 B， ，则 ，B 正确；
对于 C， ，C 正确；
对于 D， ， ，
则 ， ，即 ，D 错误.
故选：ABC
【点睛】结论点睛：函数 的定义域为 D， ，
①存在常数 a，b 使得 ，则函数 图象关于点
对称.
②存在常数 a 使得 ，则函数 图象关于直线 对称.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 函数 （ 且 ）的图象过定点______．
【答案】
【解析】
【分析】代入 即可得到答案.
【详解】当 时， ，
则其所过定点为 .
故答案为： .
13. 已知 分别是方程 与 的实数解，则 的值为______．
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【答案】10
【解析】
【分析】结合函数的图象，将 看成 与 的交点 的横坐标， 看成 与
的交点 的横坐标，因函数 与 的图象关于直线 对称，直线
也关于直线 对称，则得点 与点 也关于直线 对称，即
可列式计算.
【详解】由 可得 ，由 可得 ，
不妨记 ，
依题意， 为 与 的交点 的横坐标，
为 与 的交点 的横坐标，作出这些函数的图象如下：
因函数 与 是一对反函数，图象关于直线 对称，
而直线 与直线 垂直，故也关于直线 对称，
则点 与点 也关于直线 对称，
故得 ，化简得： ，即 .
故答案为：10.
14. 已知函数 ， ，则函数 的值域为______．
【答案】
【解析】
【分析】由原函数和所求函数求得其定义域，化简所求函数解析式，利用 换元，得到一元二次函
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数，结合其图象性质即可求得函数值域.
【详解】因 ， ， ，
则由 ，解得： ，
即函数 的定义域为 ，
设 ，则 ，且 在 上单调递增，
故当 时，即 时， ；当 ，即 时， ，
因 ，故函数 的值域为 .
故答案为： .
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 ， ，满足 ， ．
（1）求函数 的解析式；
（2）判断函数 的奇偶性，并用定义证明．
【答案】（1）
（2） 为奇函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用函数值代入解析式，得到方程组，求解即得；
（2）利用奇函数的定义计算化简即可判别.
【小问 1 详解】
因为 ， ，所以
得 ， ，所以
【小问 2 详解】
因 的定义域为 ，关于原点对称，
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又 ，
所以 为奇函数．
16. 如图，在平面直角坐标系 中，角 的始边与 x 轴的非负半轴重合，将角 的终边按逆时针方向旋
转 ，恰好与单位圆 O 相交于点 ，过 A 作 x 轴的垂线，垂足为 B．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）理解题意，利用三角函数的定义即可求得；
（2）由三角函数的定义先求得 ，再利用二倍角公式将所求式化简成齐次的弦的分式，运
用同角的三角函数关系式化弦为切，代入计算即得.
【小问 1 详解】
由题意得角 的终边与单位圆 O 相交于 ，
所以 ．
【小问 2 详解】
因角 的终边与单位圆 O 相交于 ，
故 ，
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则
．
17. 春节期间，“旅游潮”、“探亲潮”将为交通带来巨大压力．已知某火车站候车厅，候车人数与时刻 t 有
关，时刻 t 满足 ， ．经观察，当 时，候车人数达到满厅人数 5000 人，当
时，候车人数相对于满厅人数减少，减少人数与 成正比．已知 时，候车人数为 3800
人，记候车厅候车人数为 ．
（1）求 的表达式；
（2）铁路系统为了体现“人性化”管理，每逢整点时，会给旅客提供免费面包，数量为
，求 t 为何值时，需要提供的免费面包数量最少．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意设得 的解析式，代入 ，确定参数 ，即得 的表达式；
（2）根据分段函数解析式，分别利用基本不等式和函数的单调性求其最值并比较即得.
【小问 1 详解】
依题意，当 时，设 ，
因 ，解得 ，
，
【小问 2 详解】
当 ，
，
当且仅当 时等号成立；
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当 时 ， 在 上 为 减 函 数 ， 故 得
.
又 ，所以当 时，需要提供的面包数量最少．
18. 已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）将 图象上所有的点向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，若对于任意的
，当 时， 恒成立，求实数 的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图象得出周期，即可根据三角函数周期计算得出 ，将点 代入新解析式，得
，根据已知得出范围，结合三角函数的零点得出 ，将点 代入新解析式，即可得出
，即可得出答案；
（2）设 ，根据已知结合诱导公式与辅助角公式化简，结合已知与函数单调性的定义
得出 在区间 上单调递减，由三角函数的单调区间解出 的单调递减区间，即可根据范
围结合集合包含关系列出不等式组，即可解出答案.
【小问 1 详解】
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由图象可知，周期 ，
，
因为点 在函数图象上，
所以 ，即 ，
又 ，
，
则 ，即 ，
因为点 在函数图象上，所以 ，即 ，
故函数 的解析式为 .
【小问 2 详解】
由题意可得 ，
设
，当 时， 恒成立，
即 恒成立，
即 恒成立，
在区间 上单调递减，
令 ，解得 ，
因为 ，所以 ，则 ，
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故 ，解得 ，
所以 最大值为 .
19. 若函数 满足：对于任意正数 m,n，都有 , ，且 ，则
称函数 为“速增函数”．
（1）试判断函数 与 是否为“速增函数”；
（2）若函数 为“速增函数”，求 a 的取值范围；
（3）若函数 为“速增函数”，且 ，求证：对任意 ，都有
．
【答案】（1） 不是“速增函数”， 不是“速增函数”
（2） ．
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据“速增函数”的定义易判断 不是“速增函数”；通过举反例，结合“速增函数”
的定义可判断 不是“速增函数”；
（2）由 是“速增函数”可得①与②两式恒成立，经等价转化，利用参变分离，
即可求得参数范围；
（3）由函数 为“速增函数”，取 可推得 ，利用迭代法推出 ，则可利用该
结论证得 和 ，借助于不等式性质即可证明.
【小问 1 详解】
对于函数 ，
当 ， 时，有 ， ；
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因为 ，
所以 ，
故根据“速增函数”的定义可得： 不是“速增函数”．
对于函数 ，
当 时，有 ，
故根据“速增函数”的定义可得： 不是“速增函数”．
【小问 2 详解】
因为 是“速增函数”，
根据“速增函数”的定义可得：当 时， 恒成立①；
当 ， 时， 恒成立②．
由①可得： 对一切正数 n 恒成立
又因为当 时， ，所以 对一切正数 n 恒成立，故得 ．
由②可得： ，
即 对一切正数 n，m 恒成立．
因为
，
所以 ，
又因为当 ， 时， ，所以 ，
由 对一切正数 n，m 恒成立，可得 ，即 ．
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综上可知，a 的取值范围是 ．
【小问 3 详解】
由函数 为“速增函数”，可知对于任意正数 m，n，
都有 ， ，且 ，
令 ，可知 ，即 ，
故对于正整数 k 与正数 m，都有 ．
对任意 ，可得 ，又 ，
所以 ，
同理 ，
故 ．
【点睛】关键点点睛：本题为函数新定义题，关键是读懂题意，根据“速增函数”的定义解题，首先判断
两个函数是否符合“速增函数”的定义，说明是“速增函数”，需按定义严格证明，说明不是只需举一反
例；其次若函数是“速增函数”，则满足定义，利用满足的条件，借助恒成立条件和变量分离等方法求出
参数的范围.
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