湖南省益阳市2024_2025学年高二数学上学期期末质量检测试题含解析

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这是一份湖南省益阳市2024_2025学年高二数学上学期期末质量检测试题含解析，共33页。试卷主要包含了本试卷包括试题卷和答题卡两部分，已知圆，已知直线，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷包括试题卷和答题卡两部分：试题卷包括单项选择题､多项选择题､填空题和解答题四
部分，共 4 页，考试用时 120 分钟，满分 150 分.
2.答题前，考生务必将自己的姓名､考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置，请按答题卡的
要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效.
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 直线的斜率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一般式中斜率的计算公式即可求解.
【详解】的斜率为，
故选：B
2. 过点且与直线平行的直线方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】与直线平行的直线可设为，带点即可解出 .
【详解】设与直线平行的直线可设为，因为点在上，
所以，所以方程为 .
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故选：A.
3. 已知两个向量，则的值是（）
A. B. C. 1 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解.
【详解】根据可得，解得，
故选：D
4. 已知等差数列的前项和为，则（）
A. 36 B. 64 C. 72 D. 88
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.
【详解】由可得，故，
进而可得，故，
故选：C
5. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则的离心率为（）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据渐近线的斜率为即可求解.
【详解】由于双曲线的两条渐近线互相垂直，故渐近线的斜率为，即
，故，
故选：A
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6. 已知圆 .过点的直线与交于两点，当弦的长最短时，直线的方程
是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】当直线时，弦的长最短，利用即可求出直线的斜率.
【详解】因为圆的半径为，设原点到直线的距离为，则有
，
可知当最大时弦的长最短，所以当直线时，弦的长最短，设直线的斜率为，
则有，因，所以，所以，
直线的方程为 .
故选：D.
7. 在四面体中，、分别是棱、的中点，是的中点，设，，
，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的表达式.
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【详解】因为为的中点，则，即，
所以，，
因为、分别为、的中点，
同理可得，
故选：C.
8. 已知点、及直线，如果上有且仅有个点，使得是
直角三角形，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对各内角为直角进行分类讨论，分析可知直线与圆相切，结合点到直线的距
离公式可求得的值.
【详解】当为直角时，直线方程为，此时，直线与直线有一个公共点，
当为直角时，直线的方程为，此时，直线与直线有一个公共点，
由题意可知，在直线上有且只有一个点，使得为直角，
此时，，则点在以线段为直径的圆上，
且该圆的圆心为原点，半径为，且圆的方程为，
所以，直线与圆相切，
直线的一般方程为，则，解得 .
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故选：B.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分.
9. 已知直线，则（）
A. 的倾斜角为
B. 在轴上的截距为
C. 原点到的距离为 1
D. 与坐标轴围成的三角形的面积为 2
【答案】ABC
【解析】
【分析】选项 A，利用直线的倾斜角与斜率的关系求解；选项 B，利用直线的截距求解即；选项 C，利用点
到直线的距离公式求解；选项 D，利用直线与坐标轴的围成面积求解即可.
【详解】选项 A：直线的倾斜角为，斜率，则，由得，故选项 A 正确；
选项 B：令则则在轴上的截距为，故选项 B 正确；
选项 C：原点到的距离为，故选项 C 正确；
选项 D：与坐标轴围成三角形的面积为，故选项 D 错误.
故选：ABC.
10. 已知数列的前项和为，且，则（）
A. B.
C. D. 数列为等比数列
【答案】AB
【解析】
【分析】因为，所以数列是等比数列，即可求出，利用分组求和即可求出
，进而即可判断 CD.
【详解】因为，所以，所以数列是以首项为，
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公比为 2 的等比数列，所以，故 A 正确；
数列的前项和为
，故 B 正确；
因为，故 C 错误；
令，所以数列为等差数列，故 D 错误.
故选：AB.
11. 在棱长为 1 的正方体中，分别是棱的中点，是线段上一个动
点，则（）
A. 在线段上存在一点，使得
B. 三棱锥的体积为
C. 与平面所成角的余弦值的最小值为
D. 若平面，则平面与正方体的截面面积是
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共线判断 A；求出平面的法向量，求出点到平面距离及线面
角的正弦判断 BC；取中点并作出过点的截面正六边形，证明垂直于该截面并求出面积
判断 D.
【详解】在棱长为 1 的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
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则，设点，
对于 A，，当时，与不共线，
当时，与不共线，因此不平行，A 错误；
对于 B，，设平面的法向量为，
则，令，得，点到平面的距离，
，，
则，，
因此三棱锥的体积，B 正确；
对于 C，，设与平面所成的角为，则，
当且仅当时取等号，此时取得最小值，C 正确；
对于 D，，取中点，过点的平面截正方体
的截面为正六边形，，则，，
于是，而，平面，则垂直于该截面，该截
面与的交点为，
因此平面，截面正六边形的面积为，D 正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线
面角的正弦．
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
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12. 已知两个向量，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据模长公式即可求解.
【详解】
,
故答案为：
13. 已知圆，直线与交于两点，则的面积等于
__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据弦长公式以及点到直线的距离公式即可根据面积公式求解.
【详解】的圆心为半径为，
故圆心到直线的距离为，
弦长，
故，
故答案为：
14. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与的右支交于
两点，与轴交于点的内切圆与边相切于点，若，则与的内切
圆的半径之和的最小值等于______.
【答案】2
【解析】
【分析】结合双曲线的定义、圆的切线长定理求得、，从而求得双曲线的方程，结合三角形内切圆
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性质得，设直线的倾斜角为，则，进而求得，，最后利用基
本不等式求解最小值即可.
【详解】因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点，
由切线长定理可知，，，
因为在轴上，所以，
所以
，
所以，，，
双曲线的方程为：，
如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，，
设，，与圆分别相切于点，，，
由切线长定理得
，
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而，两式相加得，
所以是双曲线的右顶点，轴，所以的横坐标为，
同理可求得的横坐标为，则，
设直线的倾斜角为，由双曲线渐近线为，倾斜角分别为，
要使直线与双曲线的右支交于两点，则，有，
在，中，
有，，
因为，所以，所以，
当且仅当即时，等号成立．
故答案为：
【点睛】结论点睛：双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上右支上一点（除了顶点），
则的内切圆圆心横坐标为，为双曲线上左支上一点（除了顶点），则的内切圆圆心横坐
标为 .
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前项和为，且， .
（1）求；
（2）若，记，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
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【分析】（1）设等差数列公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合
等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）求出数列的通项公式，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，结合等比数列的
求和公式可求得的值.
【小问 1 详解】
设等差数列公差为，则，解得， .
所以数列的通项公式是 .
【小问 2 详解】
由题意知，则，
数列是首项为，公比为的等比数列，
又因为，所以， .
16. 已知抛物线的焦点为，点在上.
（1）求焦点的坐标及的值；
（2）设的准线与轴的交点为，求过三点的圆的方程.
【答案】（1）的坐标为，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据焦点坐标即可求解，代入点到抛物线方程中即可求解，
（2）设圆一般式方程，代入三点坐标即可求解.
【小问 1 详解】
由题意可得焦点的坐标为 .
点在上， .
解得（舍去）， .
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【小问 2 详解】
由抛物线可得准线方程为，所以， .由（1）知 .
设过三点的圆的方程为，
代入点得，
解得 .
所以，过三点的圆的方程为（或者）.
17. 如图，在正三棱柱中，为的中点，为棱上一个动点.
（1）若，求证：平面；
（2）若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直可得线面垂直，进而可得，即可根据勾股定理求解长度证明
，即可求解，
（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解.
【小问 1 详解】
证明：正三棱柱平面平面 .
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为正三角形，为中点， .
又平面平面平面 .又平面，
.
.
所以， .
.
又平面 ,故平面 .
【小问 2 详解】
以为坐标原点，以及过点且垂直平面的垂线分别为轴，轴，轴建立如图所示空
间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量为，
则，可取 .
设平面的一个法向量为，
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则，可取 .
平面与平面夹角的余弦值为 .
18. 已知椭圆过点，且的离心率为 .
（1）求的方程；
（2）设分别是的左顶点，上顶点，与直线平行的直线与交于两点.
①若以线段为直径的圆与直线相切，求在轴上的截距；
②当直线斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值.
【答案】（1）
（2）① ；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）代入坐标以及离心率公式即可联立方程求解，
（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式以及点到直线的距离公式列出方程，求解即得在轴上的截距；
根据斜率公式化简，将韦达定理代入计算即可求得定值.
【小问 1 详解】
由题意可知
解得 .
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故的方程为 .
【小问 2 详解】
①由题意知 .则直线的方程为 .
设平行于直线的直线的方程为 .
联立，消去得： .
，解得： .
设与椭圆的交点坐标为，
.
.
又直线与直线的距离，
由于以线段为直径的圆与直线相切，则，
即 .
解得 .经检验：，
故在轴上的截距为；
②由
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.
为定值 .
【点睛】关键点点睛：以线段为直径的圆与直线相切，则，根据
求出的值即得；对于定值问题，一般需要等价转化，利用韦达定理代入，推理
计算可得.
19. 若各项均为正整数的数列，对任意的，均有
成立，则称数列为“下凸正整数数列”.
（1）若数列是“下凸正整数数列”，求出所有的数对；
（2）设数列满足，且，判断数列是否为“下凸正整数
数列”，并说明理由；
（3）已知“下凸正整数数列” 中，，，，，求的最
大值.
【答案】（1）、
（2）是，理由见解析（3）
【解析】
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【分析】（1）根据“下凸正整数数列”的定义可得出关于、的不等式组，结合不等式的基本性质可求出
的取值范围，求出正整数值，进而可得出正整数的值，即可得出数对；
（2）由已知化简得出，利用累加法求出数列的通项公式，再结合题中定义验证即可得出
结论；
（3）由“下凸正整数数列”的定义可得出，令，可得出，利
用累加法结合不等式的基本性质可得出，利用累加法可得出，然后
解不等式，可得出，然后取，验证，即可得出结果.
小问 1 详解】
因为数列为“下凸正整数数列”，则，
所以，，可得，
又、，当时，或，当时，不符合题意.
即所求的数对有、 .
【小问 2 详解】
数列是“下凸正整数数列”，理由如下：
因为，所以， .
对任意的，所以，，即，且 .
则当时，，，，，，
累加得，则，
也满足，故对任意的， .
①由可知是正整数，
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②因为，
其中且，
即成立，综合①②可得数列是“下凸正整数数列”.
【小问 3 详解】
因为，
对任意的，令，
则且，故对任意的恒成立，
当，，，时，
因为，
所以，，
此时，，
即，解得，故 .
若取，则对任意的，，
此时，数列为“下凸正整数数列”，且，即符
合题意.
综上，的最大值为 .
【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：
（1）当出现时，构造等差数列；
（2）当出现时，构造等比数列；
（3）当出现时，用累加法求解；
（4）当出现时，用累乘法求解.
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