湖南省常德市2024_2025学年高二数学上学期期末质量检测试题含解析

这是一份湖南省常德市2024_2025学年高二数学上学期期末质量检测试题含解析，共23页。试卷主要包含了 已知双曲线 等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求 的定义域得集合 ，求函数 的值域得集合 ，根据集合的交集运算即可
得 .
【详解】由 ，解得 ，所以 ，而 ，
所以 ，所以 ，
故选：B.
2. 在复平面内，复数 ， 对应的向量分别是 ， ，则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由复数的几何意义求 ，再求 ，结合复数的模的坐标公式求结论.
【详解】由题意得 ， ，
第 1页/共 23页所以 ，
所以 ，
故选：C.
3. 以点 为圆心，且与 轴相切的圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题求得圆的半径，再结合圆心坐标可得出所求圆的标准方程.
【详解】以点 为圆心，且与 轴相切的圆的半径为 ，
故圆的标准方程是 .
故选：A.
4. 已知等差数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列的前 项和公式可得 ，结合题意继而即可求解.
【详解】由 为等差数列得 ，
解得 ，所以 .
故选：A.
5. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，若椭圆上一点 P 满足 ，且
，则椭圆的离心率为（ ）
第 2页/共 23页A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的几何性质列式求解离心率即可.
【详解】解：如图，
设 ，∴ ，∵
∴ ，
∴离心率 .
故选：C．
6. 已知函数 ， （ ），若 与 在区间 上
有且仅有 3 个交点，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出图形，结合图形可得 ，解之即可求解.
【详解】由图可知，要使 与 在区间 上有且仅有 3 个交点，
则 ，解得 ，即 的最小值为 .
故选：D.
第 3页/共 23页7. 在 中，已知 ， ， ， 是 的中点， 是线段 上一点，且
.连接 并延长交 于点 ，则线段 的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取 平面向量的一个基底，令 ，利用共线向量定理的推论求出 ，再利用数量
积的运算律求出模即可.
【详解】设 ，则 ，
由 ， ， 三点共线，得 ，解得 ，
即 ， ，因此 ，
所以 .
故选：B
8. 已知正四面体 的顶点 ， ， 均在球 的表面上，球心 在平面 内，棱 与球面交于
点 .若 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， （ ）且 与
（ ）之间的距离为同一定值，棱 ， 分别与 交于点 ， ，若 的周长为
，则球 的半径为（ ）
第 4页/共 23页A. 2 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设球的半径为 ，则 ，由 ， ， 共线，则存在实数 使
计算得 ，即得 ， ，又 （ ）且 与 （ ）之间
的距离为 ，即可计算 ，由 的周长为 即可求得半径 .
【详解】设 和 （ ）之间的距离为 ，球 的半径为 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，则 ，
故 ，所以 ，
由 、 、 共线，则存在实数 使 ，且 ，
则 ，所以， ，
所以
即 ，整理得 ，
可得 ，所以 ，
即 ，所以 ，
又 （ ）且 与 （ ）之间的距离为 ，
则 ， ，故 ， ，
第 5页/共 23页由余弦定理可得 ，
所以， ，同理可得 ，且 ，
的周长 ，解得 ，
故选：A.
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问
题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相
等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些
元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错得 0 分.
9. 已知双曲线 ： 的上焦点为 ，直线 ： 是 的一条渐近线， 是 上支上的一
点， 为坐标原点，则（ ）
A. 到 的距离为 2 B. 的焦距为
C. 的离心率为 D. 若 ，则 的最小值为 4
【答案】CD
【解析】
【分析】根据渐近线求出双曲线的标准方程，结合点线距公式计算即可判断 A；根据焦距和离心率的定义
即可判断 BC；根据双曲线的定义计算即可判断 D.
【详解】由题得双曲线 ： 的渐近线方程为 ，
又直线 ： 是 的一条渐近线，
第 6页/共 23页所以 ，即双曲线的标准方程为 .
A 选项， 到 ： 的距离为 ，故 A 错误；
B 选项， ，故双曲线的焦距为 ，故 B 错误；
C 选项，双曲线的离心率 ，故 C 正确；
D 选项，设双曲线的下焦点为 ，由双曲线的定义得 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 A， ， 三点共线时， 取得最小值为 4，故 D 正确.
故选：CD
10. 如图，点 在棱长为 1 的正方体 的面对角线 上运动 点异于 点），则下列
结论正确的是（ ）
A. 异面直线 与 所成角为 60°
B.
C. 三棱锥 的体积为
D. 直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为
【答案】ABD
第 7页/共 23页【解析】
【分析】对于 A，通过平移即可借助于正三角形进行判断；对于 B，通过证明 平面 即可判断；
对于 C，利用线面平行和等体积思想即可求得三棱锥体积判断；对于 D，构建空间直角坐标系，利用空间向
量的夹角公式求出所成角正弦值的解析式，由二次函数的值域即得.
【详解】对于 A，如图，连接 ， ， ，
在正方体中 ，则异面直线 与 所成角为 ，
又 ，所以 为等边三角形，
即 ，故 A 正确；
对于 B，如图，连接 ，因 平面 ， 平面 ，则 ，
易得 ，又 ，则 平面 ，
又 平面 ，故 ，同理可证 ，
因 平面 ，故 平面 ，
又因 ，则 平面 ，故 .故 B 正确；
对于 C，在正方体中， ， 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
而点 在棱长为 1 的正方体 的面对角线 上运动，
故有 ，即 C 错误；
第 8页/共 23页对于 D，建立空间直角坐标系如图所示，
则 ， ， ， ，
设 ， ，则
，即 ，
所以 ， ，
而 ，因 平面 ， 平面 ，则 ，又
平面 ，所以 平面 ，
即平面 的法向量为 ， ，
则 ，
因 ，故 ，即 D 正确.
故选：ABD.
11. 定义 为不超过 最大整数，例如： ， .已知集合 ，且 ，
， ，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 的真子集个数为
C. 记 为 中所有元素之和，且 （ ），则数列 的单调性无法确定
第 9页/共 23页D. 若 （ ），正整数 满足：对任意 ， ，都有 ，则 的最小
值为 3
【答案】AD
【解析】
【分析】由选项，求出 即可判断 AB；由递推公式可得 ，即可判断 C；分别表
示 ，进而 （ ），则 ，即可判断 D.
【详解】A 选项： ，则 ， ，
， ， ，故 A 正确；
B 此项： ， ，故 ， ，
， ，故 ， ，
， ，故 ， ，
则 （ ）， （ ），
故真子集个数最大为 ，故 B 错误；
C 选项：由题设有 ，
若 ，则 ，若 ，则 ，则 ，矛盾，
故当 时，有 ，
当 时， ，而 ，
所以 ，则 ，得 ，
则 ，
即数列 为常数列，所以数列 的单调性可确定，故 C 错误；
第 10页/共 23页D 选项： （ ），故 ， ，
故 ， ，
由 ， ， ，
∵ ，∴ ，
故 ，
，且 ，
故 ，
故 （ ）.
故当 时， ，
所以 的最小值为 3，故 D 正确.
故选：AD
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决
问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知抛物线 ： （ ）上一点 到其焦点 的距离与到 轴的距离之差为 2，则
______.
【答案】4
【解析】
【分析】利用抛物线定义即可求解.
【详解】由抛物线的定义得：
第 11页/共 23页抛物线 上的点 到其焦点 的距离等于点 到准线 的距离，
则 ， .
故答案为：4
13. 记数列 的前 项和为 ，若 ，则 ______.
【答案】4048
【解析】
【分析】分 和 两种情况，根据 与 之间的关系分析可知数列 是首项为 2，公差为 2 的等
差数列，进而可得结果.
【详解】因为
当 时，则 ，即 ，解得 ；
当 时，则 ，
两式相减得 ，整理可得 .
且 符合上式，可知数列 是首项为 2，公差为 2 的等差数列，
所以 .
故答案为：4048.
14. 如图所示，由半椭圆 和两个半圆 ，
组成曲线 ，其中点 、 分别是 的上、下焦点和 、 的
圆心.若过点 、 作两条平行线 、 分别与 、 和 、 交于 、 和 、 ，则 的
最小值为______.
第 12页/共 23页【答案】
【解析】
【分析】求出椭圆 方程，设直线 与椭圆的另一个交点为 ，由对称性得出 ，进而得出
，设直线 的方程为 ，将该直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，
结合弦长公式可求得 的最小值，进而得解.
【详解】半圆 的圆心为 ，半径为 ，
半圆 的圆心为 ，半径为 ，
对于椭圆 的焦距为 ，则 ，可得 ，
所以，椭圆 的方程为 ，如图所示，
设直线 与椭圆 的另一个交点为 ，
由椭圆的对称性可知，点 与点 关于原点对称，
即点 为线段 、 的中点，所以，四边形 为平行四边形，
第 13页/共 23页所以， ，
，
若 的斜率不存在，则直线 过点 ，不合乎题意，所以，直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
所以，
，
故当 时， 取最小值 ，
则 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用对称性得出 ，由此得出 ，
将问题转化为椭圆的焦点弦长的最值问题.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆 经过 ， ，且圆心在直线 上.
（1）求圆 标准方程；
（2）若直线 ： 截得圆 弦长最短时，求实数 的值.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）设圆的方程为 ，由条件列方程求 可得结论；
第 14页/共 23页（2）由圆的性质可得直线 与 垂直时，直线被圆截得的弦长最短，由直线垂直时两直线的斜率关系列
方程求 可得结论.
【小问 1 详解】
因圆心在直线 上，设圆心 坐标为 ，
圆 标准方程为： ，
则 ，解得：
即圆 标准方程为：
【小问 2 详解】
已知直线 ： 过定点 ，
圆 的圆心为 ，
当直线 与 垂直时，直线被圆截得的弦长最短，
，所以 ，即 .
16. 在 中，内角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ， .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 面积的最大值.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理把边化成角可得 ，再利用和差公式及辅助角公式
可得 ，结合角 的范围即可求解.
（2）利用余弦定理及基本不等式，结合三角形的面积公式即可求解.
【小问 1 详解】
第 15页/共 23页，
，
，
，
.
， ，
.
， ， .
【小问 2 详解】
，
由余弦定理知 ，
当且仅当 时等号成立，所以 .
，所以 面积的最大值为 .
17. 如图，四棱台 的上，下底面为正方形， 与 交于点 ，平面 平面
，平面 平面 .
第 16页/共 23页（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由已知 结合面面垂直性质定理证明 平面 ， 平面 ，
由此证明 ， ，再利用线面垂直判定定理证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求直线 的方向向量和平面 的法向量，利用向量夹角公式求结论.
【小问 1 详解】
证明：∵四边形 为正方形，∴ ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 ，
∴ .
又∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
∵ ， 平面 ，
∴ 平面 .
【小问 2 详解】
由题意可建立空间直角坐标系如图所示，
第 17页/共 23页令 ，可得 ， ， ，
则 ， ， ，
∵在四棱台 中，上，下底面为正方形且 ，
∴ 且 ，∴ ，
即 ，则 ，
，∴ .
设平面 的法向量为 ，
则 ，故 ，
令 ，得 ，
所以 为平面 的一个法向量，且 .
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18. 已知抛物线 （ ）的焦点为 ，过焦点 的直线与抛物线交于点 ，
，点 在第一象限， 为坐标原点.
（1）求 的最小值（用 表示）；
第 18页/共 23页（2）若直线 与抛物线的准线交于点
（ⅰ）求证： 轴；
（ⅱ）若直线 的斜率大于零， 的中点为 ，过点 作直线 的垂线交抛物线的准线于点 ，
与 的面积相等，求直线 的斜率.
【答案】（1） .
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）设 的方程 ，联立抛物线方程，结合韦达定理和抛物线的定义即可求出求解；
（2）（i）求得 即可证明；（ii）设过点 的垂线方程为 ，证明 ，
由 ，解之即可求解.
【小问 1 详解】
易知直线 的斜率不为 0，设直线 的方程为 ，
联立方程 ，整理得 ，
所以 ， ，
，
当且仅当 时等号成立，所以 的最小值是 .
【小问 2 详解】
（ⅰ）易知直线 的方程为 ，则 ，
由（1）知 ，所以 ，所以 轴.
第 19页/共 23页（ⅱ）过点 的垂线方程为 ，所以与准线的交点为 ，
则 ，所以 ，则 ，
又 ，
，
记点 ， 到直线 的距离分别是 ， ，
由相似知
所以 ，
由条件知 ，化简得 ，
解得 ，因为直线 的斜率大于零，
所以直线 的斜率 .
19. 已知数列 为等差数列，其前 项和为 ， ， ，数列 的前 项和为 ， ，
（ ）.定义：若 被 除得的余数为 ，记为 ，如： ，
，数列 满足 ，记 的前 项和为 .
第 20页/共 23页（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）若对任意 ，都有 恒成立，求 的最大值；
（3）求数列 的前 项和.
【答案】（1） .
（2） .
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的性质求出通项公式；根据 与 的关系，结合等比数列的定义即可求出 ；
（2）由新定义，根据等差数列前 项和公式求得 ，进而 ，整理，利用基本
不等式的应用即可求解；
（3）利用错位相减法求和即可.
【小问 1 详解】
∵ 是等差数列， ， ，
∴ ， ，
，
∵ ，①
∴ （ ），②
①－②得 ，
当 时， ， ，
∴ 为等比数列，∴ .
【小问 2 详解】
第 21页/共 23页由题意，
.
∵ ，∴ ，
当且仅当 时，等号成立，∴ ，即 的最大值为 .
【小问 3 详解】
记 的前 项和为 ，
，
，
记 ，
，
两式相减得
，
∴ .
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决
问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.落脚点仍然是
数列求通项或求和.
第 22页/共 23页第 23页/共 23页