湖南省益阳市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷（解析版）

这是一份湖南省益阳市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了 直线的斜率为， 过点且与直线平行的直线方程是， 已知两个向量，则的值是， 已知等差数列的前项和为，则， 已知圆， 已知直线，则， 已知数列的前项和为，且，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】的斜率为，
故选：B.
2. 过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设与直线平行的直线可设为，
因为点在上，
所以，所以方程为.
故选：A.
3. 已知两个向量，则的值是（ ）
A. B. C. 1D. 5
【答案】D
【解析】根据可得，解得，
故选：D.
4. 已知等差数列的前项和为，则（ ）
A. 36B. 64C. 72D. 88
【答案】C
【解析】由可得，故，
进而可得，故，
故选：C.
5. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】由于双曲线的两条渐近线互相垂直，故渐近线的斜率为，即，故，
故选：A.
6. 已知圆.过点的直线与交于两点，当弦的长最短时，直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为圆的半径为，设原点到直线的距离为，则有，
可知当最大时弦的长最短，所以当直线时，弦的长最短，设直线的斜率为，则有，因为，所以，所以，
直线的方程为.
故选：D.
7. 在四面体中，、分别是棱、的中点，是的中点，设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为为的中点，则，即，
所以，，
因为、分别为、的中点，
同理可得，
故选：C.
8. 已知点、及直线，如果上有且仅有个点，使得是直角三角形，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当为直角时，直线的方程为，此时，直线与直线有一个公共点，当为直角时，直线的方程为，此时，直线与直线有一个公共点，
由题意可知，在直线上有且只有一个点，使得为直角，
此时，，则点在以线段为直径的圆上，
且该圆的圆心为原点，半径为，且圆的方程为，
所以，直线与圆相切，
直线的一般方程为，
则，
解得.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知直线，则（ ）
A. 的倾斜角为
B. 在轴上的截距为
C. 原点到的距离为1
D. 与坐标轴围成的三角形的面积为2
【答案】ABC
【解析】选项A：直线的倾斜角为，斜率，则，由得，故选项A正确；
选项B：令则则在轴上的截距为，故选项B正确；
选项C：原点到的距离为，故选项C正确；
选项D：与坐标轴围成的三角形的面积为，故选项D错误.
故选：ABC.
10. 已知数列的前项和为，且，则（ ）
A. B.
C. D. 数列为等比数列
【答案】AB
【解析】因为，所以，
所以数列是以首项为，
公比为2的等比数列，所以，故A正确；
数列的前项和为
，故B正确；
因为，故C错误；
令，所以数列为等差数列，故D错误.
故选：AB.
11. 在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，是线段上一个动点，则（ ）
A. 在线段上存在一点，使得
B. 三棱锥的体积为
C. 与平面所成角的余弦值的最小值为
D. 若平面，则平面与正方体的截面面积是
【答案】BCD
【解析】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设点，
对于A，，
当时，与不共线，
当时，与不共线，因此不平行，A错误；
对于B，，
设平面的法向量为，
则，
令，得，
点到平面的距离，
，，
则，，
因此三棱锥的体积，B正确；
对于C，，
设与平面所成的角为，
则，
当且仅当时取等号，此时取得最小值，C正确；
对于D，，取中点，过点的平面截正方体
的截面为正六边形， ，
则，，
于是，
而，平面，
则垂直于该截面，该截面与的交点为，
因此平面，
截面正六边形的面积为，D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知两个向量，则__________.
【答案】
【解析】
.
13. 已知圆，直线与交于两点，则的面积等于__________.
【答案】
【解析】的圆心为半径为，
故圆心到直线的距离为，
弦长，故.
14. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，与轴交于点的内切圆与边相切于点，若，则与的内切圆的半径之和的最小值等于______.
【答案】2
【解析】因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点，
由切线长定理可知，，，
因为在轴上，所以，
所以
，
所以，，，双曲线的方程为：，
如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，，
设，，与圆分别相切于点，，，
由切线长定理得
，
而，两式相加得，
所以是双曲线的右顶点，轴，所以的横坐标为，
同理可求得的横坐标为，则，
设直线的倾斜角为，由双曲线渐近线为，倾斜角分别为，
要使直线与双曲线的右支交于两点，则，有，
在，中，
有，，
因为，所以，
所以，
当且仅当即时，等号成立．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求；
（2）若，记，求的值.
解：（1）设等差数列的公差为，则，解得，.
所以数列的通项公式是.
（2）由题意知，则，
数列是首项为，公比为的等比数列，
又因为，所以，.
16. 已知抛物线的焦点为，点在上.
（1）求焦点的坐标及的值；
（2）设的准线与轴的交点为，求过三点的圆的方程.
解：（1）由题意可得焦点的坐标为.
点在上，.
解得（舍去），.
（2）由抛物线可得准线方程为，所以，.由（1）知.
设过三点的圆的方程为，
代入点得，
解得.
所以，过三点的圆的方程为（或者）.
17. 如图，在正三棱柱中，为的中点，为棱上一个动点.
（1）若，求证：平面；
（2）若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：正三棱柱平面平面.
为正三角形，为中点，.
又平面平面平面.又平面，
.
所以，.
.
又平面,故平面.
（2）解：以为坐标原点，以及过点且垂直平面的垂线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量为，
则，可取.
设平面的一个法向量为，
则，可取.
平面与平面夹角的余弦值为.
18. 已知椭圆过点，且的离心率为.
（1）求的方程；
（2）设分别是的左顶点，上顶点，与直线平行的直线与交于两点.
①若以线段为直径的圆与直线相切，求在轴上的截距；
②当直线斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值.
解：（1）由题意可知解得.
故的方程为.
（2）①由题意知.则直线的方程为.
设平行于直线的直线的方程为.
联立，消去得：.
，解得：.
设与椭圆的交点坐标为，
.
.
又直线与直线的距离，
由于以线段为直径的圆与直线相切，则，
即.
解得.
经检验：，
故在轴上的截距为；
②由
.
为定值.
19. 若各项均为正整数的数列，对任意的，均有成立，则称数列为“下凸正整数数列”.
（1）若数列是“下凸正整数数列”，求出所有的数对；
（2）设数列满足，且，判断数列是否为“下凸正整数数列”，并说明理由；
（3）已知“下凸正整数数列”中，，，，，求最大值.
解：（1）因为数列为“下凸正整数数列”，则，
所以，，可得，
又、，当时，或，当时，不符合题意.
即所求的数对有、.
（2）数列是“下凸正整数数列”，理由如下：
因为，所以，.
对任意的，所以，，即，且.
则当时，，，，，，
累加得，
则，
也满足，故对任意的，.
①由可知是正整数，
②因，
其中且，
即成立，综合①②可得数列是“下凸正整数数列”.
（3）因为，
对任意的，令，
则且，故对任意的恒成立，
当，，，时，
因为，
所以，，
此时，，
即，解得，故.
若取，则对任意的，，
此时，数列为“下凸正整数数列”，
且，
即符合题意.
综上，的最大值为.