江苏省淮安市2021-2022学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析）

淮安市2021-2022学年度第二学期期末调研测试

高二数学试题

注意事项：

考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求

1.本试卷共4页，包括单项选择题（第1题一第8题）、多项选择题（第9题一第12题）、填空题（第13题一第16题）、解答题（第17题一第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置上．

3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡的指定位置上，写在本试卷上无效，

4.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等加黑、加粗．考试结束后，请将试卷与答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 的展开式中含项的系数为（    ）

A.  B.  C. 1 D. 5

【答案】A

【解析】

【分析】由二项展开式的通项求解即可.

【详解】的展开式的通项为，

令，解得，则，故含项的系数为.

故选：A.

2. 已知集合M，N均为R的子集，且，则（    ）

A.  B. M C. N D. R

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，结合韦恩图可得，再利用交集的定义求解作答.

【详解】因集合M，N均为R的子集，且，如图，

则有，所以.

故选：C

3. 某社区准备从甲、乙、丙、丁、戊5位同学中选取3名同学参加疫情防控志愿者服务，若每人被选中可能性相等，则其中甲、乙2名同学同时被选取的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】甲、乙2名同学同时被选取，只需要在剩下三位同学里面再选一个，即可完成选取任务.再结合组合数即可求解.

【详解】解：甲、乙2名同学同时被选取的概率为,

故选：A.

4. 对四组数据进行统计后，获得了如下图所示的散点图，对于其相关系数的比较，下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据正相关、负相关以及线性相关关系的强弱可得出结果.

【详解】由题意可知，第一、四组数据正相关，第二、三组负相关，

当相关系数的绝对值越大，数据的线性相关性越强，

且第一组数据的线性相关性较第四组强，则，

第二组数据的线性相关性较第三组强，则且，，则.

因此，.

故选：C.

5. 某班50名同学参加体能测试，经统计成绩c近似服从N（90，），若，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为（    ）

A. 5 B. 10 C. 15 D. 30

【答案】B

【解析】

【分析】由已知可得正态分布曲线的对称轴，再由已知条件结合对称性求得，即可求得该班体能测试成绩低于85分的人数.

【详解】由c近似服从N（90，），可知正态分布曲线的对称轴为，

则，

所以,

则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为人，

故选：B.

6. 已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据方差和期望的性质即可求解.

【详解】根据方差和期望的性质可得：,,

故选：D

7. 已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且满足：，则下列结论中不正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】作出函数图象，根据函数图象得出4个零点的关系及范围，进而得出结论.

【详解】函数的四个不同的零点，，，，就是函数与两个图象四个交点的横坐标，

作出函数的图象，

由图象可知，故A正确；

由，可得或，结合图象可知，故B错误；

根据二次函数的性质和图象得出，所以，故C正确；

又，且，

所以，即，

所以，故D正确.

故选：B.

8. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，M为PC上一动点，，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用即可求解.

【详解】分别以、、为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设， ，故，,，,

由可知，，即，

又因为为钝角，所以，

由,,可知，，

，整理得，

解得，

故选：D.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 下列随机变量中属于离散型随机变量的是（    ）

A. 某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X

B. 测量一个年级所有学生的体重，在60kg~70kg之间的体重记为X

C. 测量全校所有同学的身高，在170cm~175cm之间的人数记为X

D. 一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X

【答案】AC

【解析】

【分析】根据离散型随机变量的定义知，离散型随机变量是可以列举的；连续型随机变量

不能一一列举。

【详解】电话1小时内使用的次数是可以列举的，是离散型随机变量，选项A正确；

体重无法一一列举，选项B不正确；

人数可以列举，选项C正确；

数轴上的点有无数个，点的位置是连续型随机变量；选项D不正确；

故选AC.

10. 高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（    ）

A. 如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种

B. 如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种

C. 如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种

D. 如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种

【答案】ABC

【解析】

【分析】求得社区A必须有同学选择的方法数判断选项A；求得同学甲必须选择社区A的方法数判断选项B；求得三名同学选择的社区各不相同的安排方法数判断选项C；求得甲、乙两名同学必须在同一个社区的安排方法数判断选项D.

详解】安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，

选项A：如果社区A必须有同学选择，

则不同的安排方法有（种）.判断正确；

选项B：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种）.判断正确；

选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，

则不同的安排方法共有（种）.判断正确；

选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，

再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，

则不同的安排方法共有（种）.判断错误.

故选：ABC

11. 对于函数，下列说法正确的有（    ）

A. 在其定义域上偶函数

B. 在上单调递减，在上单调递增

C. 值域为

D. 有解集为

【答案】AD

【解析】

【分析】分段函数需要考虑定义域的范围，对于含有绝对值的简单的分段函数，可以先判断奇偶性再画图像更容易.

【详解】画出函数图像，如图,

,为偶函数，关于轴对称，所以A正确；

在时的函数图像不是连续递增，所以B不正确；

当时，代入函数得，所以C不正确；

当时，代入得或，结合图像可知，选项D正确.

故选：AD.

12. 将边长为的正方形ABCD沿BD折成如图所示的直二面角，对角线BD的中点为O，下列说法正确的有（    ）

A.  B.

C. 二面角的正切值为 D. 点B到平面ACD的距离为

【答案】AC

【解析】

【分析】由面面垂直可得线面垂直，进而得线线垂直，根据勾股定理即可求解A,假设，进而得到矛盾，即可判断B，根据二面角的几何求法即可求解C,根据等体积法即可判断D.

【详解】因为平面平面,其交线为，且故平面，所以,由,所以,故A正确，

假若，又因为,则平面,进而,而这与矛盾，故不可能成立，故B错误，

取中点为，连接,因为,平面,故可得,进而可得平面,因此,故为二面角的平面角,,故C正确.

，故D错误.

故选：AC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 甲、乙、丙三名同学竞选班长、团支书、学习委员三个职位，每人只竞选一个职位，设事件A为“三人竞选职位都不同”，B为“甲独自竞选一个职位”，则P（A|B）＝________．

【答案】##0.5

【解析】

【分析】先求出事件B发生的概率和事件A事件B共同发生的概率，利用条件概率公式即可求出.

【详解】由题三名同学竞选三个职位，共有种情况，

其中事件B的情况有种，

事件A和事件B共同发生的情况有种，

所以，，

所以.

故答案为：.

14. 甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，每局比赛没有平局且相互独立，每局比赛甲胜的概率为p，若比赛采取5局3胜制，甲仅用3局就赢得比赛的概率为，则________．

【答案】

【解析】

【分析】利用相互独立事件的乘法公式即可求解.

【详解】设“甲仅用3局就赢得比赛”的事件为，则

，解得，

所以.

故答案为：.

15. 某学校有一块绿化用地，其形状如图所示．为了让效果更美观，要求在四个区域内种植花卉，且相邻区域颜色不同．现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不同的种植方案共有________种．（用数字作答）

【答案】180

【解析】

【分析】利用分步乘法计数原理即得.

【详解】先在1中种植，有5种不同的种植方法，再在2中种植，有4种不同的种植方法，

再在3中种植，有3种不同的种植方法，最后在4中种植，有3种不同的种植方法，

所以不同的种植方案共有（种）．

故答案为：180．

16. 在的展开式中，已知前三项的二项式系数之和为22，则n的值为________，展开式中系数最大的项为________．

【答案】    ①. 6    ②. （或第六项）

【解析】

【分析】根据题意得到，即可求得的值；利用展开式的通项，设展开式的第项的系数最大，列出不等式组，进而求得展开式中系数最大的项.

【详解】由题意可得且，

解得，

∴二项式，

则展开式的通项为，

设展开式的第项的系数最大，则，

解得，所以，

所以展开式中系数最大的项为.

故答案为：6；.

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知非空集合，                ．①函数的定义域为集合B；②不等式的解集为B．试从以上两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并解答．

（1）当时，求；

（2）若，求实数m的取值范围．

【答案】（1）选①；选②；   

（2）选①；选②.

【解析】

【分析】（1）由题可求出集合，然后利用并集的定义运算即得；

（2）由题可得，然后利用集合关系列出不等式组，即得.

【小问1详解】

若选①：当时，，

，解得，

则；

若选②：当时，，

，解得

则；

【小问2详解】

若选①：因为，

所以，

因为，所以，

解得，

所以m的取值范围为；

若选②：因为，

所以，

因为，所以或，

解得，

所以m的取值范围为．

18. 已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当时，．

（1）求f（x）的解析式；

（2）解不等式．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设，则，带入解析式，再利用奇函数的性质，即可求解.

(2)根据（1）的解析式，分段求解，即可.

【小问1详解】

设，则，，则

因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以时

综上

【小问2详解】

当时，即，,解得．

当时，符合题意；

当时，即，,解得

综上，不等式的解集为．

19. （1）用二项式定理求除以5的余数；

（2）某小组有8人，从中选择4人参加活动，有两种选法：第一种：直接选4人，有种选法．第二种：如果该组的组长参加活动，则从剩余的7人中选3人，有种选法；如果该组的组长不参加活动，则从剩余的7人中选4人，有种选法．因为这两种选法的效果是一致的，所以我们可以得到一个等式：．试将这种情形推广：从个元素中选择m个元素的不同选法得到的等式是                ．并以此求解：．（用数字作答）．

【答案】（1）4；（2），84.

【解析】

【分析】（1）利用二项式定理展开式即可求解整除问题；

（2）利用类比推理及组合数的性质即可求解.

【详解】（1）因为．在展开式中，前5项均可以被5整除，最后一项为，因此除以5的余数为4．

（2）类比引例方法可得．

所以

．

20. 某校成立了生物兴趣小组，该兴趣小组为了探究一定范围内的温度x与豇豆种子发芽数y之间的关联，在5月份进行了为期一周的实验，实验数据如下表：

该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中任选5组数据建立y关于x的线性回归方程，并用该方程对剩下的2组数据进行检验．

（1）若选取的是星期一、二、三、六、日这5天的数据，则求出y关于x的线性回归方程；

（2）若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

【答案】（1）   

（2）可靠

【解析】

【分析】（1）根据题中给出的数据，结合回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式计算即可求解；

（2）将星期四、五两天的数据代入线性回归方程，验证误差是否不超过2，即可得出结论.

【小问1详解】

解：由数据得．

因为，，

所以．

所以．

所以y关于x的线性回归方程为．

【小问2详解】

解：由（1）知，y关于x的线性回归方程为．

当时，，．

当时，，．

所以，所得到的线性回归方程是可靠的．

21. 疫情过后，百业复苏，某餐饮店推出了“三红免单”系列促销活动，为了增加活动的趣味性与挑战性，顾客可以从装有个红球、个白球的袋子中摸球参与活动，商家提供、两种活动规则：规则：顾客一次性从袋子中摸出个球，如果个球都是红球，则本次消费免单；如果摸出的个球中有个红球，则获得价值元的优惠券；如果摸出的个球中有个红球，则获得价值元的优惠券；如果摸出的个球中没有红球，则不享受优惠．规则：顾客分次从袋子中摸球，每次摸出只球记下颜色后放回，按照次摸出的球的颜色计算中奖，中奖优惠方案和规则相同．

（1）某顾客计划消费元，若选择规则参与活动，求该顾客参加活动后的消费期望；

（2）若顾客计划消费元，则选择哪种规则参与活动更加划算？试说明理由．

【答案】（1）元   

（2）、都一样，理由见解析

【解析】

【分析】（1）记顾客按照规则参加活动后消费金额为，则可取、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得的值；

（2）记顾客按照规则参加活动后消费金额为，则可取、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，求出的值，比较、的大小，可得出结论.

小问1详解】

解：记顾客按照规则参加活动后消费金额为，则可取、、、，

，，

，．

则该顾客消费期望．

答：该顾客参加活动后消费期望为元．

【小问2详解】

解：记顾客按照规则参加活动后消费金额为，则可取、、、，

，，

，．

该顾客消费期望．

按照规则参加活动的期望与按照规则的期望一致．

因此选择规则、都一样．

22. 已知四棱锥的底面为正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，，平面平面ABCD，平面平面．

（1）求证：平面PAD；

（2）设M为l上一点，求PC与平面MAD所成角正弦值的最小值．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）先由证得CD//平面PAB，再由线面平行的性质得，最后由面面垂直的性质得CD⊥平面PAD，即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，表示出平面MAD的法向量，求出，由线面角的向量求法结合二次函数求出最小值即可.

【小问1详解】

由题意知，因为平面PAB，平面PAB，所以CD//平面PAB．因为平面平面，

平面，所以；因为，平面PAD⊥平面ABCD，平面平面，

CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD．又，所以平面PAD；

【小问2详解】

取AD中点O，连接PO，由△PAD为等腰直角三角形知．又因为平面PAD⊥平面ABCD，

平面平面，平面PAD．所以PO⊥平面ABCD．以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则有，设，则，则有，，

设平面MAD的一个法向量，则有．即，令有，，

设PC与平面MAD所成角为，则，令，，

则，当即时，有最小值，

即PC与平面MAD所成角正弦值的最小值为.