2024-2025学年广西桂林中学高一（下）期末数学试卷（B卷）（含答案）

这是一份2024-2025学年广西桂林中学高一（下）期末数学试卷（B卷）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设z=4−3i，则在复平面内z−对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知四棱锥P−ABCD的高为2，其底面ABCD水平放置时的斜二测画法直观图A′B′C′D′为平行四边形，如图所示，已知A′B′=C′D′=3，A′D′=B′C′=1，则四棱锥P−ABCD的体积为( )
A. 2 B. 4 C. 3 2 D. 12
3.下列说法正确的是( )
A. 若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面
B. 与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线
C. 空间三点确定一个平面
D. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
4.王明正在筹划班级迎新晚会，想知道该准备多少斤水果，他最希望得到所有学生需要水果数量的( )
A. 四分位数B. 中位数C. 众数D. 均值
5.甲、乙两人组成“星队”参加必修二数学知识竞答.已知甲每次答对的概率为34，乙每次答对的概率为14在每次答题中，甲和乙答对与否互不影响.两人约定如下：每次由一人答题，若答对，下一次由另一人答题；若答错，则继续答题.约定甲先答题，则前4次中甲恰好答题3次的概率为( )
A. 14B. 18C. 332D. 964
6.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则以下命题正确的个数为( )
①直线BD1⊥平面A1DC1
②平面B1CD与平面BCD的夹角大小为π2
③三棱锥P−A1C1D的体积为定值
④异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π4,π2]
⑤三棱锥A1−BDC1外接球表面积是3π
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7.圆锥SO中，轴截面为正三角形，AB、CD为底面圆的两条相互垂直的直径，点P为BS的中点，则异面直线SA与PD所成角的正弦值为( )
A. 13B. 12C. 22D. 32
8.函数y=csx与y=lg|x|的图象的交点个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,2)，b=(1,−1)，则( )
A. a+2b=(3,1) B. |a|= 5
C. cs= 1010 D. a在b方向上的投影向量坐标是(−12,12)
10.设样本空间Ω={1,2,3,4}含有等可能的样本点，记事件A={1,2}，事件B={1,3}，事件C={3,4}，则下列说法正确的是( )
A. 事件A与事件B相互独立B. 事件A与事件C相互独立
C. 事件A与事件B互斥D. 事件A与事件C互斥
11.已知锐角△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且∠C=π3，b=2，则下列结论正确的是( )
A. B的取值范围为(π6,π2)B. BA⋅BC的最小值为−14
C. c的值可能为3D. △ABC的面积最大值为2 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z满足z2=(z−)2，|z|≤1，则|z−2−3i|的最小值是______．
13.在一次招聘面试中，小明要依次回答甲、乙、丙三个问题，已知他答对这三个问题的概率分别为0.9，0.5，0.4，各题回答正确与否相互独立，则小明能够连续答对至少2个问题的概率为______．
14.已知一个正三棱台的上、下底面边长分别为3，6，侧棱长为2，则该三棱台的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=7，b=8，csB=−17．
(1)求A；
(2)若D为AC的中点，求BD的长．
16.(本小题15分)
1992年，公安部发出通知，将每年的11月9日定为“119消防宣传日”.通过消防宣传日的设立，旨在提醒全民关注消防安全，学习消防知识，提高自救互救能力，减少火灾事故的发生.某高中学校为增强学生的消防安全意识，组织本校高一、高二共800名学生参加“消防安全，在我心中”的知识竞赛，现从每个年级分别随机抽取10名学生的竞赛成绩如下：
高一：90 85 82 85 97 83 88 95 90 85
高二：83 90 97 88 95 85 95 85 80 82
(1)请根据以上20个数据，估计此次参赛学生成绩的第60百分位数、众数和平均数；
(2)若规定95分及以上为一等奖，从一等奖的学生中任选2人作为宣讲代表，则这2人中至少有1人来自高一年级的概率是多少？
17.(本小题15分)
如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为直径，C，D在圆上，AB⊥CD，PO=AB=2，BD= 3．
(1)求证：PC⊥BD；
(2)求PB与平面PAD所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3(sinA−sinC)sinB=3b−2ca+c．
(1)求csA；
(2)若BD=34BC,AD= 3．
(i)求bc的最大值；
(ii)求a的最小值．
19.(本小题17分)
如图所示正四棱锥S−ABCD，SA=SB=SC=SD=2，AB= 2，P为侧棱SD上的点，且SP=3PD．
(1)求证：SD⊥AC；
(2)求平面SBC与平面ACP所成角的正弦值；
(3)侧棱SA上是否存在一点E，使得BE//平面PAC，若存在，求SEEA的值；若不存在，试说明理由．
参考答案
1.A
2.B
3.B
4.D
5.D
6.C
7.C
8.D
9.BD
10.AD
11.AC
12.2 2

14.112π
15.(1)由于csB=−170．
又c2+9b2+2bc=48，
则b2k2+9b2+2b2k=48⇒b2=48k2+2k+9，
由(1)可得b2+c2−a2=23bc，b2+c2−23bc=a2，
可得b2+b2k2−23b2k=a2，
则a2=b2(k2+1−23k)=b23(3k2−2k+3)=16⋅3k2−2k+3k2+2k+9，
注意到16⋅3k2−2k+3k2+2k+9=48−128⋅k+3k2+2k+9，
对于k+3k2+2k+9，令k+3=t，其中t>3，则k=t−3，
则k+3k2+2k+9=t(t−3)2+2(t−3)+9=1t+12t−4≤12 t⋅12t−4= 3+18，
当且仅当t=12t，即t=2 3⇒cb=2 3−3时取等号，
则a2=48−128⋅k+3k2+2k+9≥48−128× 3+18=32−16 3，
则a≥ 32−16 3=4 2⋅ 4−2 3=2 6−2 2，当且仅当cb=2 3−3时取等号，
所以a的最小值为2 6−2 2．
19.(1)证明：设BD∩AC=O，连接SO，
因为四棱锥S−ABCD是正四棱锥，
所以SO⊥面ABCD，
又AC⊂面ABCD，所以SO⊥AC，
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
因为SO∩BD=O，SO、BD⊂面SBD，所以AC⊥面SBD，
因为SD⊂面SBD，所以AC⊥SD．

(2)解：由(1)知BD，AC，SO两两垂直，
故以O为坐标原点，OB，OC，OS所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方形ABCD的边长为 2，
所以OA=OB=OC=OD=12BD=12 AB2+BC2=1，SO= SB2−OB2= 3，
所以S(0,0, 3),B(1,0,0),C(0,1,0),A(0,−1,0),D(−1,0,0)，
所以AC=(0,2,0)，SC=(0,1,− 3)，SB=(1,0,− 3)，
因为SP=3PD，所以PD=14SD=14(−1,0,− 3)=(−14,0,− 34)，
所以PC=PD+DC=(−14,0,− 34)+(1,1,0)=(34,1,− 34)，
设平面ACP的法向量为n=(x,y,z)，则AC⋅n=0PC⋅n=0，即2y=034x+y− 34z=0，
令x=1，则y=0,z= 3，所以n=(1,0, 3)，
设平面SBC的法向量为m=(a,b,c)，则SB⋅m=0SC⋅m=0，即a− 3c=0b− 3c=0，
令c=1，则a=b= 3，所以m=( 3, 3,1)，
所以cs=m⋅n|m|⋅|n|= 3+ 3 7×2= 217，
设面SBC与平面ACP所成角为θ，则sinθ= 1−cs2〈m,n〉=2 77，
所以面SBC与平面ACP所成角的正弦值为2 77．
(3)解：假设SA上存在点E满足题意，不妨设AE=λAS=λ(0,1, 3)，λ∈[0,1]，
则BE=BA+AE=(−1,−1,0)+λ(0,1, 3)=(−1,−1+λ, 3λ)，
由(2)知设平面ACP的法向量为n=(1,0, 3)，
因为BE//平面ACP，所以BE⋅n=0，即−1+0+3λ=0，解得λ=13，
所以AE=13AS，
故SEEA=2．