2024-2025学年四川省泸州市老窖天府中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省泸州市老窖天府中学高二（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在(x+2x)4的展开式中，常数项为( )
A. 6B. 8C. 12D. 24
2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10，a4a8=45，则S5=( )
A. 25B. 22C. 20D. 15
3.从4件合格品和2件次品共6件产品中任意抽取2件检查，抽取的2件中至少有1件是次品的概率是( )
A. 25B. 815C. 35D. 23
4.函数f(x)=2ex⋅csx的图象在x=0处的切线方程为( )
A. x−y+1=0B. x−y+2=0C. 2x−y+2=0D. 2x−y+1=0
5.函数f(x)=(x2−2x)ex的图象大致是( )
A. B. C. D.
6.已知数列{an}满足a1=12，an+1=an+1n2+n，则an=( )
A. 32−1nB. 2−3n+1C. 1−1n+1D. 32+1n
7.某班有A，B，C，D，E五名同学要排成一排进行拍照，其中B同学不站在两端，C，D两名同学相邻，则不同的排列方式种数为( )
A. 12B. 24C. 36D. 48
8.如图，已知F1，F2为双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过点F1，F2分别作直线l1，l2交双曲线E于A，B，C，D四点，使得四边形ABCD为平行四边形，且以AD为直径的圆过F1,|DF1|=|AF1|，则
双曲线E的离心率为( )
A. 2 B. 3
C. 52 D. 102
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知10个互不相同的样本数据x1，x2，…，x10的平均值为x，则关于新样本数据x1，x2，…，x10，x−，下列说法正确的是( )
A. 极差不变B. 平均数变大C. 方差变小D. 中位数变小
10.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点D(4,0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，则下列说法正确的是( )
A. 对任意直线l，均有∠AOB=π2 B. 若|AD|=2|BD|，则|AF|+|BF|=11
C. △OAB面积的最小值为16 D. 以AB为直径的圆与C的准线不可能相切
11.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(−∞,0]上是增函数，在[0,2]上是减函数，且方程f(x)=0有3个不等实根，它们分别为m，n，2，则( )
A. 实数c为0B. 1m+1n为定值C. f(1)>3D. |m−n|>3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}满足a1=1,an+1=anan+1,(n∈N∗)，则数列{an}的通项公式an= ______．
13.函数f(x)=x−sinx的零点为______．
14.设函数f(x)=2+ln1−xx，a1=1，an=f(1n)+f(2n)+f(3n)+⋅⋅⋅+f(n−1n)(n∈N∗,n≥2).设数列{an}的前n项和Sn，则Sn+20n的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
等比数列{an}的各项均为正数，且a1+a3=10，4a32=a2⋅a6．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{n⋅an}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
A，B，C三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如表(单位：小时)：
(Ⅰ)试估计A班的学生人数；
(Ⅱ)从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；
(Ⅲ)从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率．
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1= 3，AB⊥AC，D为A1C1的中点．
(1)证明：AB1⊥平面A1BD；
(2)若二面角A−BC−D的余弦值为 24，求点A到平面BCD的距离．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x2−2x+alnx．
(1)若a=−4，求f(x)的极值；
(2)若a>0，求函数f(x)的单调增区间；
(3)若a>0，函数f(x)有两个极值点x1，x2，x1mx2恒成立，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
焦点在x轴上的等轴双曲线E，其顶点到渐近线的距离为 22，直线过点P(− 5,0)与双曲线的左、右支分别交于点A、B．
(1)求双曲线E的方程；
(2)若4PA=PB，求直线AB的斜率；
(3)若点B关于原点的对称点C在第三象限，且S△AOB>2S△APC，求直线AB斜率的取值范围．
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.C
5.C
6.A
7.B
8.D
9.AC
10.ACD
11.ABD
12.1n
13.0
14.415
15.解：(1){an}是各项均为正数的等比数列，设数列{an}的公比为q，且q>0，由a1+a3=10，4a32=a2⋅a6．
即4a32=a2⋅a6=a42
得：q2=4，所以q=2．
由a1+a3=a1+4a1=5a1=10，得到a1=2
所以数列{an}的通项公式为an=2n．
(2)由条件知，Tn=1×2+2×22+3×23+⋯+n×2n……①
又2Tn=1×22+2×23+3×24+⋯+n×2n+1……②
将两式相减：即①−②可得−Tn=2+22+23+⋯+2n−n×2n+1=2(2n−1)−n×2n+1=(1−n)2n+1−2，
所以Tn=(n−1)2n+1+2．
故得数列{n⋅an}的前n项和Tn=(n−1)2n+1+2．
16.解：由题可得：A，B，C三个班抽取的人数分别为6，7，7，共有20人；
(Ⅰ)由题可得：A班的人数估计为：120×66+7+7=36人；
(Ⅱ)抽取的20人中，网时长超过15小时的有：3+2+4=9；
∴从这120名学生中任选1名学生，这名学生一周上网时长超过15小时的概率为：920；
(Ⅲ)从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，共有抽法：∁62×∁71=105种；
这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的抽法有：①均来自A班，有∁32×∁51=15种；
②一个来自A班，一个来自B班，有∁31×∁31×∁21=18种；
故共有：15+18=33种；
∴这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率为：33105=1135．
17.解：(1)证明：因为四边形AA1B1B为正方形，所以AB1⊥A1B，
因为AA1⊥平面A1B1C1，且A1C1⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥A1C1，
由AB⊥AC，得A1C1⊥A1B1，
又AA1∩A1B1=A1，AA1⊂平面AA1B1B，A1B1⊂平面AA1B1B，所以A1C1⊥平面AA1B1B，
又AB1⊂平面AA1B1B，所以A1C1⊥AB1，
又A1B∩A1C1=A1，A1B⊂平面A1BD，A1C1⊂平面A1BD，
所以AB1⊥平面A1BD；
(2)由(1)知，AB，AC，AA1两两互相垂直，
则以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AC=2a(a>0)，则A(0,0,0)，B( 3,0,0)，C(0,2a,0)，D(0,a, 3)，
所以BC=(− 3,2a,0)，CD=(0,−a, 3)，
设n=(x,y,z)是平面BCD的一个法向量，则n⋅BC=− 3x+2ay=0n⋅CD=−ay+ 3z=0，
令y= 3，则x=2a，z=a，所以n=(2a, 3,a)为平面BCD的一个法向量，
由题知，平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1)，
因为二面角A−BC−D的余弦值为 24，
则|cs|=|m⋅n||m||n|=|a| 5a2+3= 24，解得a=1，所以n=(2, 3,1)，
因为AB=( 3,0,0)，所以点A到平面BCD的距离为d=|AB⋅n||n|=2 3 4+3+1= 62．
18.(1)当a=−4时，f(x)=x2−2x−4lnx，x>0，
则f′(x)=2x−2−4x=2(x2−x−2)x=2(x−2)(x+1)x，
所以当x∈(0,2)时，f′(x)0，f(x)单调递增；
所以函数的单调递增区间为(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)，
所以函数只有极小值，为f(2)=−4ln2；
(2)因为f′(x)=2x−2+ax=2x2−2x+ax，x>0，
又因为y=2x2−2+a的判断别式Δ=4(1−2a)，
①当a≥12时，f′(x)≥0，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
②当00，
此时f′(x)=2(x−x1)(x−x2)x，
所以当∈(0,1− 1−2a2)∪(1+ 1−2a2,+∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(0,1− 1−2a2)及(1+ 1−2a2,+∞)上单调递增；
(3)由(2)知，当012)，
故ℎ(x)在(12,1)上为增函数，
且ℎ(12)=−32−ln2，
故m≤−32−ln2，
所以实数m的取值范围为(−∞,−32−ln2]．
19.解：(1)设等轴双曲线E的方程为x2−y2=a2，
其渐近线方程为y=±x，
故a 2= 22，
解得a=1，
所以双曲线E的方程为x2−y2=1．
(2)由题意，过点P(− 5,0)的直线AB斜率存在且不为0，
可设其方程为x=ny− 5，
设A(x1,y1)5B(x2,y2)，由4PA=PB，得4y1=y2，
联立x=ny− 5x2−y2=1，
整理得(n−1)2y2−2 5ny+4=0，
由韦达定理得：y1+y2=2 5nn2−1=5y1，y1y2=4n2−1=4y12，
联立解得n=± 5，
经验证均满足题意，所以直线AB的斜率为± 55．
(3)点C在第三象限，如图所示，故直线AB的斜率是正数，
由SΔAOB>2SΔAPC，得SΔABC>4SΔAPC，
所以AB>4AP，则PB>5AP，
则y2>5y1>0，
由(y1+y2)2y1y2=y1y2+y2y1+2，
得5n2n2−1>365，
所以n21136，
又因为直线AB交两支两点，
故直线AB的斜率kAB∈(0,1)，
所以直线AB斜率的取值范围是( 116,1)．A班
12 13 13 18 20 21
B班
11 11.5 12 13 13 17.5 20
C班
11 13.5 15 16 16.5 19 21