广东省茂名市高州市2025届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

这是一份广东省茂名市高州市2025届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的绝对值是（ ）
A．2025B．C．D．
2．中国红十字会是中华人民共和国统一的红十字组织，以保护人的生命和健康，维护人的尊严，发扬人道主义精神，促进和平进步事业为宗旨．下列红十字会的图标中，文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．国务院新闻办公室2025年1月17日上午举行新闻发布会，2024年末全国人口为万人，比上年末减少139万人．数据“万”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．抖空竹是我国传统体育项目，如图，某一时刻对空竹进行受力分析，抖线给空竹的拉力为和，空竹受到的重力为G，方向竖直向下，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．教室图书角有《数学的故事》《数学简史》《中国数学史话》《数学之美》四本书，小明从中任选两本，拿到《数学简史》《数学之美》的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则计算结果的近似值为（ ）
A．7.070B．5.656C．4.242D．2.828
8．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为( )
A． B．
C． D．
9．如图所示，在Rt中，，，，点为上的点，的半径，点是边上的动点，过点作⊙的一条切线（点为切点），则线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
10．如图，菱形的边长为3cm，，动点P从点B出发以的速度沿着边运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以的速度沿着边向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数为 h．
12．在实数范围内因式分解： ．
13．若m，n是一元二次方程的两个根，则 ．
14．如果与是同类项，则 ．
15．如图，在矩形中，平分交于点E，．以点B为圆心，长为半径画弧，交于点F，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．

三、解答题
16．计算：．
17．如图，在中，，．
(1)求作边上的高；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下求的值．
18．五一节前，某商店拟用元的总价购进两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元．
(1)求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
(2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？
19．睡眠是人体的一种主动过程，可以恢复精神和解除疲劳，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动是国际社会公认的三项健康标准．某校为了让全校学生认识睡眠的重要性，开展了“健康睡眠，你我同行”活动，随机调查了该校60名学生每天的睡眠时间（单位：），将收集的数据分成五组进行整理，并绘制成如图所示不完整的频数分布表和频数分布直方图．
所抽取学生睡眠时间频数分布表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图，所抽取学生每天的睡眠时间的中位数落在________组；
(2)求所抽取学生每天的睡眠时间的平均数；
(3)由于初中生的身体处于生长阶段，需保证每天的睡眠时间不少于8小时（含8小时），若该校共有1500名学生，请你估计该校能保证每天的睡眠时间不少于8小时（含8小时）的学生总人数．
20．数学兴趣小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点C处测得大树顶端的仰角为．再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的点D处，在点D处测得大树顶端A的仰角为．已知斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上）．
(1)求点D到地平线的距离；
(2)求大树的高度．（参考数据：，，）
21．（1）课本再现：如图1，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的与，与有什么关系？请说明理由．
（2）知识应用：如图2，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M，交于点E，过点M作交于N．
①求证：是的切线；
②当时，求的半径及图中阴影部分的面积．
．
22．综合与探究
问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的不变关系．如图1，已知中，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段（点分别是的对应点）．
特例分析：（1）创思小组先研究了点与点重合时的情形，如图2．连接．请判断此时线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
深入探究：（2）博闻小组沿着上述思路继续探究，他们改变点的位置，提出了如下问题，请你解答：
①如图3，当点在线段上，连接，猜想线段与的数量关系和位置关系，说明理由；
②在点沿射线方向运动过程中，是否存在某一时刻使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出相应的两点间的距离；若不存在，说明理由．
23．已知，抛物线：交轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点，顶点为点．
(1)求、两点的坐标；
(2)如图1，连接，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由；
(3)如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线，相交于，两点，抛物线，位于，两点之间的部分图形记作，过点的直线与相交于，两点，若面积的最大值为4，请直接写出满足条件的的值．
2025年广东省茂名市高州市第15周联考二模数学试题参考答案
1．A
【详解】解：的绝对值是，
故选：A．
2．C
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
3．A
【详解】解：万，
故选：A．
4．A
【详解】解：如图所示：
∵，
∴，
∵
∴
∵，，
∴，
故选：A．
5．D
【详解】解：A. ，故选项不符合题意；
B. ，故选项不符合题意；
C. ，故选项不符合题意；
D. ，故选项符合题意；
故选：．
6．A
【详解】解：把《数学的故事》《数学简史》《中国数学史话》《数学之美》四本书，分别用、、、表示，
画树状图如下所示，
从树状图中可以看出共有种等可能的结果，其中拿到《数学简史》《数学之美》的情况有种，
小明从中任选两本，拿到《数学简史》《数学之美》的概率是．
故选：A．
7．B
【详解】解：，
∵，
∴．
故选：B．
8．D
【详解】解：将抛物线向左平移1个单位所得直线解析式为：；
再向下平移3个单位为：，即．
故选：D．
9．B
【详解】解：如图，连接OE、OD，
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=6，
∵DE为⊙O的切线，
∴∠DEO=90°，
∴DE2+OE2=OD2，
∵OE=1，
∴DE2=OD2-1，即DE=，
要使DE最小，则OD最小即可，
∵D为AB边上的动点，
∴当OD⊥AB时，OD最小，
∵BC=6，OC=1，
∴BO=5，
∵∠ODB=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BDO∽△BCA，
∴，即，
解得：OD=4，
∴DE==，
故选：B．
10．D
【详解】解：∵点P的速度是，点Q的速度为，运动时间为x（s），
∴点P运动的路程为，点Q运动的路程为．
①当时，点P在线段上，点Q在线段上．
过点Q作于点E，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴此段函数图象为开口向上的二次函数图象，排除B；
②当时，点P在线段上，点Q在线段上．
过点C作于点F，则为中边上的高．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴此段函数图象为y随x的增大而增大的正比例函数图象，故排除A；
③当时，点P在线段上，点Q在线段上．
过点P作于点M．
∴．
∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴．
∴．
由题意得：．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴此段函数图象为开口向下的二次函数图象．
故选：D．
11．8
【详解】解：根据众数的定义可知，一组数据中出现次数最多的数是众数，从统计图可知，出现次数最多的是8时，即众数是8；
故答案为：8．
12．
【详解】解：；
故答案为：．
13．9
【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根，
∴，
∴，
故答案为；．
14．
【详解】解：与是同类项，
，，
，
，
故答案为：．
15．/
【详解】解：∵矩形的边，平分，
∴，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积
．
故答案为：．
16．
【详解】解：
17．(1)见解析；
(2)
【详解】（1）如图，即为所作：
（2），
是的中线，
，
．
在中，，
．
18．(1)A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元．
(2)采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台．
【详解】（1）设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元，
由题意得：，
解得：，
∴A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元；
（2）设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台，
由题意得：，
其正整数解为：
或或
当时，利润（元），
当时，利润（元），
当时，利润（元），
∵，
∴当时，利润最大，
答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台．
19．(1)见解析；C
(2)
(3)人
【详解】（1）解：由题意得，，
补全统计图如下：
把这60名学生的睡眠时间按照从低到高的顺序排列，中位数为第30名和第31名学生的睡眠时间的平均数，
∵，
∴中位数落在C组；
（2）解：，
∴所抽取学生每天的睡眠时间的平均数为；
（3）解：人，
∴估计该校能保证每天的睡眠时间不少于8小时（含8小时）的学生总人数为人．
20．(1)点到地平线的距离为4米
(2)大树的高度是20米
【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，
由题意知：米，斜面的坡比为，
，
设米，则米，
在中，由勾股定理得：，
，
，即米，
点到地平线的距离为4米；
（2）解：如图2，过点作于点，设米，
由（1）得：米，
米，
，
四边形为矩形，
米，米，
，
米，
米，
在中，，
，
，经检验：是原方程的解，
（米），
答：大树的高度是20米．
21．（1）；理由见解析；（2）①见解析；②半径为，
【详解】解：（1）；理由如下：
如图1，连接和，
∵和是的两条切线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）①证明：∵分别与相切于点A、B、C，
∴分别平分，
又∵，
∴，
∴，
∴．
∴，
又∵，
∴，
又∵经过半径的外端点M，
∴是的切线．
②解：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即的半径为．
∴，
综上所述：的半径为，图中阴影部分的面积是．
22．（1），，见解析；（2）①，；②或
【详解】解：（1），．
证明：线段绕点逆时针旋转得到线段，
．
，
．
，
，
，
四边形是平行四边形，
，．
（2）解：①，．
理由：连接，并延长交于点
，
．
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，
．
，
，
，
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
②存在；
当点D在线段上时，
由①知：
，，
当时，
，
，即，
解得或（不符合题意，舍去）；
当时，
由①知：
，，
，
，
，
和重合，
故不存在，不符合题意，舍去；
当点D在线段的延长线上时，
同理可证
，，
当时，
，
，即，
解得或（不符合题意，舍去）；
当时，
同理可证
，，
，
，
，
和重合，
故不存在，不符合题意，舍去；
综上，两点之间的距离为或．
23．(1)，
(2)为定值，
(3)
【详解】（1）解：当抛物线解析式函数值为0时得，
整理得
解得，
∴，；
（2）解： 为定值，定值为2，理由如下：
如图所示，过点作轴交于点，作交于点；过点作轴交于点，作交于点，
∵,
∴，
即，
假设直线的解析式为，将代入解析式得
解得
∴直线的解析式为
通过抛物线解析式可求，则，
∴，
；
（3）解：如图所示，连接，
假设抛物线的解析式为
根据中心对称的性质可得抛物线的，，，的对称点坐标分别为，则，求得，
∴抛物线的解析式为，
联立抛物线和得
解得
∴
由中心对称的性质可得，四边形为平行四边形，,
当点在轴上时，的面积最大，即面积的最大，值为4，
，
解得．组别
睡眠时间
人数/名
组内睡眠总时间
5
28
10
66
150
15
126
10
92
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
A
D
A
B
D
B
D