安徽省蚌埠市2025届高三数学上学期第一次教学质量检查考试1月试题含解析

这是一份安徽省蚌埠市2025届高三数学上学期第一次教学质量检查考试1月试题含解析，共33页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标运算即可求解.
【详解】因为向量 ， ，且 ，
所以 ，解得 .
故选：D.
2. 已知 虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A. B. 5 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法求出复数，再利用复数模长公式即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
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所以 ，
故选：A.
3. 若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式求集合，再应用并运算求集合.
【详解】由 ，
而 ，所以 .
故选：C
4. 已知直线 与圆 相交于点 P，Q，则 （ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得圆心 到直线 的距离，进而可求得 .
【详解】由圆 ，可得圆心 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离 ，
所以弦长
故选：B.
5. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】首先利用诱导公式将 转化为 ，然后将式子 转化为关于
的表达式，最后代入 求值.
【详解】根据诱导公式，可得 .
则 .
将上式分子分母同时除以 ，得到 .
分子分母同时除以 ，则 .
已知 ，将其代入 ，得到 .
故选：B.
6. 若等差数列 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角换元可求 的取值范围.
【详解】设等差数列的公差为 ，则 ，
而 ，
故
设 ，故 ，
故选：D.
7. 已知三棱锥 中， 是边长为 3 的正三角形， ，平面 平面 ，则该
三棱锥的外接球体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取等边三角形 的中心为 ，可证 为外接球的球心，从而可求半径，故可求外接球的体积.
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【详解】
取等边三角形 的中心为 ，连接 并延长交 于 ，
则 且 ，
因为平面 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，故 ，
故 ，同理 ，
， ，故 ，故 为外接球的球心，
且 ，故外接球的体积为 ，
故选：C .
8. 抛掷一枚骰子一次，观察向上一面 点数，将结果记作 ．若事件 ，事
件 ，事件 C 满足 ，则事件 C 的个数为（ ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】由独立乘法公式即可求解.
【详解】根据题意，得到 , ,则
，
当 ， ，等式成立；
当 ， ， ；
C 中含 6，从 1,2,3,5 的 4 个元素中选 3 个，共 种.
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同理，当 也有 4 种，共 种.
故选：A.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知点 P 在抛物线 上，点 M 坐标为 ，O 为坐标原点．若 是等腰直角三
角形，则 p 的值可以为（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D.
【答案】CD
【解析】
【分析】对于等腰直角三角形，需要分情况讨论直角顶点的位置.可能是 ， 或
者 三种情况. 利用等腰直角三角形的性质（两直角边相等）以及点在抛物线上这个条件来求
解 的值.
【详解】因点 ,点 在抛物线 上,故点 不可能是直角顶点.
当 时，因为 是等腰直角三角形，所以 .
则 , 将其代入 得 ，即 .
由题意 ，解得 ；
当 时，因为 是等腰直角三角形，所以 .
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因 ，故 ,即 ,代入 ，解得 .
综上所得，故 的值可以为 或 .
故选：CD.
10. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值可以是（ ）
A. 1 B. C. 6 D. 9
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正弦函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】函数 的单调递增区间为 ，
又函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
则 ，
又 ，即 ，
当 时， ，当 ， .
故选：ABD.
11. 已知 ， ，且 ，其中 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（
）
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A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】原因变形为 ，进而变形为 ，令 ，求导可得
函数 在 上单调递增，从而可得 ，可判断 A；进而计算可得 ，判断 B；进
而得 ，计算可判断 CD.
【详解】因为 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，令 ，求导得 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 A 正确；
所以 ，所以 ，所以 ，故 B 错误；
因为 ，所以 ，故 C 正确；
又 ，所以 ，故 D 正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：关键在于由原式变形放缩得到 ，进而构造函数 ，通
过单调性解决问题.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知随机变量 ，若 ，则 ______．
【答案】0.1##
【解析】
【分析】利用正态分布的对称性求概率即可.
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【详解】由题设，随机变量的分布曲线关于 对称，则 ，且 ，
所以 .
故答案为：
13. 的展开式中系数最大的项为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式定理求得展开式可得结论.
【详解】
，
所以 的展开式中系数最大的项为 .
故答案为： .
14. 已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ， ，点 是 与 的交点．记椭圆
在点 P 处的切线为直线 m，双曲线 在点 P 处的切线为直线 n， 的平分线与 m，n 分别相交于点 M，
N，则 ______．
【答案】2
【解析】
【分析】由题意可求得 ， ， ，可求的椭圆的方程与双曲线方程，
分别设出过点 与椭圆和双曲线相切的方程，利用判别式法求得切线方程，求得 的平分线的
方程，联立方程求得交点 的坐标，可求 .
【详解】因为 ， ， ，所以 ，所以 ， ，
所以 ，设椭圆的长轴为 ，短轴长为 ，
可得 ，解得 ，所以 ，
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所以椭圆的方程为 ，
设双曲线的实轴为 ，虚轴长为 ，可得 ，解得 ，
所以 ，所以双曲线的方程为 ，
设过点 与椭圆 相切的切线 的方程为 ，
代入椭圆方程得 ，
整理得 ，
所以 ，解得 ，
所以切线方程为 ，即 ，
设过点 与双曲线的方程为 相切的切线 的方程为 ，
代入双曲线方程得 ，
整理得 ，因为直线与双曲线相切，故 ，
所以 ，解得 ，
所以切线方程为 ，切线 ，
设 ，则 的平分线的倾斜角为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，解得 或 （舍去），
所以 的平分线的方程为 ，即 ，
联立 ，解得 ，即 ，所以 ，
联立 ，解得 ，即 ，所以 ，
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所以 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：关键在于利用 法求得两切线方程，进而与角平分线方程联立求得交点坐标，进而
可求比值.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 怀远石榴是安徽省怀远县的特产，国家地理标志产品，唐代已有栽植．怀远石榴籽白莹澈如水晶，果实
大如碗，皮黄而透红，肉肥核细，汁多味甘．现按照怀远石榴的果径大小分为四类：特级果，一级果，二
级果，三级果．某果农从其果园采摘的石榴中随机选取 50 个，测量果径对照分类标准得到数据如表所示：
等级 特级果 一级果 二级果 三级果
个数 5 10 20 a
（1）求 a 的值并计算三级果所占的百分比；
（2）用样本估计总体，该果农参考以下两种销售方案进行销售．
方案 1：分类出售，各等级石榴的市场价如表所示：
等级 特级果 一级果 二级果 三级果
售价（元/个） 10 8 5 2
方案 2：不分类出售，均按二级果售价出售．
从果农的收益考虑，不考虑其它因素应该采用哪种方案较好？说明理由．
【答案】（1）15，30%
（2）选择方案 1 较好，理由见解析
【解析】
【分析】（1）求出 值，再得出礼品果所占的比例；（2）求出方案 1 中石榴的平均价格，并与方案 2 中的
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平均价格比较即可.
【小问 1 详解】
，三级果所占的百分比为 ．
【小问 2 详解】
用样本估计总体的分布，可得方案 1 的石榴的平均售价为
（元），
因为 ，所以选择方案 1 较好．
16. 北京时间 2024 年 8 月 8 日凌晨，中国花样游泳队以遥遥领先的得分优势，历史性地登上巴黎奥运会最
高领奖台．赛后采访中，主教练透露自己在编排动作时，特别融入了中国元素，以甲骨文“山”字为造型（图
1），体现了中国花游不畏艰难险阻，逐梦不止的精神．某公司也以此为创意，设计了本公司的 LOGO，如
图 2． 在 中 ， ， ， 点 B， H， C 在 线 段 上 ， 且
， 和 都是等腰直角三角形， ， 交 于点 D，
交 于点 E．
（1）求 ；
（2）求 ；
（3）求四边形 的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）在 中，利用余弦定理可求得 ；
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（2）由余弦定理可求得 ，进而利用两角和的正弦公式可求得 ；
（3）利用正弦定理可求得 ，进而由三角形的面积公式可求结论.
【小问 1 详解】
在 中，由余弦定理，
，所以 ．
【小问 2 详解】
中， ，在 中，由余弦定理，
，
则 ，
．
【小问 3 详解】
在 中， ， ，
由正弦定理， ，
，
四边形 的面积为 ．
17. 如 图 ， 三 棱 柱 中 ， 侧 面 是 菱 形 ， 侧 面 是 正 方 形 ， ，
，点 是 的中点．
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（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 O，由余弦定理求出 ，然后由勾股定理得 ，再由线面垂直的判
定定理可得答案；
（2）以 O 为原点， ， ， 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设 ，由
求出得点 坐标，求出平面 、平面 的法向量，再由二面角的向量求法可得答案．
【小问 1 详解】
取 的中点 O，连接 ， ， ，
在菱形 中， ，则 为正三角形， ，
从而 ，由余弦定理，
，
又 ，正方形 中， ，
所以 ，即 ．
在正方形 中， ， ，
， 平面 ，所以 平面 ；
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【小问 2 详解】
平面 ，则 ，
又 为中位线， ，所以 ．
在正三角形 中， ，
由（1）知， 平面 ， 平面 ，则 ，
而 ，所以 ，
如图，以 O 为原点， ， ， 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
设 ， ，则 ，
由 ，解得点 ．
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，取 ，则 ，
平面 的法向量为 ．
设平面 的法向量为 ，
由 ，取 ，则 ， ，
平面 的法向量为 ．
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ．
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18. 已知函数 ．
（1）求函数 在 处的切线方程；
（2）求函数 的极值；
（3）若关于 的方程 有两个根 和 ，求证： ．
【答案】（1）
（2）极大值为 ，无极小值．
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程；
（2）求出函数的单调区间，即可求出函数的极值；
（ 3） 由 （ 2） 不 妨 令 ， ， 构 造 ，
， 利 用 导 数 说 明 函 数 的 单 调 性 ， 即 可 得 到 ， 再 构 造
， ，利用导数说明 ，即可得证.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，
故 在 处的切线方程为 ，即 ．
【小问 2 详解】
函数 的定义域为 ，又 ，
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令 ，解得 ；令 ，解得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的极大值为 ，无极小值．
【小问 3 详解】
由（2）不妨令 ， ， ，
构造 ， ，
则 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
由 ，则 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
构造 ， ，
，令 ，得 ；令 ，得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
由 ，则 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，又等号不同时成立，
所以 ．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数 ；
（3）利用导数研究 的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题．
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19. 在反诈骗题材电影《孤注一掷》中有这样一个情节，作为程序员的男主角通过在拍照时摆出数字“6”的
手势向朋友发出求救信号，因为数字 6 的二进制表达式为 110．进位计数制是一种计数方法，可使用有限的
数字符号代表所有的数值，可使用数字符号的数目称为基数，基数为 即可称为 m 进制，
例如我们最常用的十进制，就是用 0~9 这十个阿拉伯数字表示所有的数值．对于正整数 n，若它的二进制表
达式为 ，则 ，其中 ， ，
，1，2，…， ，如 ， ．
（1）用二进制表示正整数 2025；
（2）对于正整数 n，若 ，记 ，求证： ；
（3）记 表示正整数 n 的二进制表达式中 0 的个数，求 ．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）3280
【解析】
【分析】（1）利用二进制计算可求结论；
（2）借助二进制的定义计算可得 ， ，即可得证；
（3）计算出 ， 的个数，即可得.
【小问 1 详解】
．
【小问 2 详解】
设 ，
则 ，
，
，
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，所以 ．
【小问 3 详解】
，
对于 ， 的正整数 n 共有
（个），
的有 8 个，也符合，所以 的自然数 n 共有 个，
．
【点睛】关键点点睛：本题最后一小问关键点在于结合二进制的定义，得到 的自
然数 n 共有 个，再结合组合数的性质计算得到结果.
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