2024-2025学年四川省巴中市高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省巴中市高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(x,4)，b=(3,−3)，且a⊥b，则x的值为( )
A. 4B. −4C. 3D. −3
2.已知复数z(1−i)=3i，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AD1与DC1所成的角的大小为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
4.在△ABC中，设D是AB边上的一点，且AD=2DB，则( )
A. CD=13CA−23CBB. CD=23CA−13CB
C. CD=13CA+23CBD. CD=23CA+13CB
5.要得到y=cs(2x−π4)的图象，只要将y=cs2x的图象( )
A. 向左平移π8个单位B. 向右平移π8个单位C. 向左平移π4个单D. 向右平移π4个单位
6.已知5−2i是关于x的方程x2−mx+n=0(m,n∈R)的一个根，则m的值为( )
A. 10B. −6C. 6D. −10
7.棱长为6的正四面体内放置了一个球，球的体积与正四面体的体积之比为15，则球的表面积为( )
A. 12π( 210π)23B. 36π(110π)23C. 12π(110π)23D. 36π( 210π)23
8.化简计算12tan40°−2cs50°的值为( )
A. 3B. − 32C. 33D. − 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.学校为调研同学们对某旅游城市景区的了解情况，随机调查了6名同学所知道的景区个数，得到一组样本：1，2，3，2，4，5，则( )
A. 这组数据的众数为2B. 这组数据的平均数为3
C. 这组数据的极差为4D. 这组数据的60%分位数为3
10.已知函数f(x)=sin(2x+π3)，下列说法正确的有( )
A. f(x)的图象关于点(−2π3,0)对称
B. 若f(x1)=f(x2)=0，则x1−x2是π的整数倍
C. f(x)在[−π6,π]有2个零点
D. 不等式f(x)≥12的解集为[−π12+kπ,π4+kπ]，k∈Z
11.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD为正三角形，且AD=2，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是( )
A. .平面PAD与平面PBC的交线平行于直线AD
B. 二面角P−BC−D的余弦值为2 77
C. 点B到平面PCD的距离为2
D. 四棱锥P−ABCD的外接球的半径为 213
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.母线长和底面圆的直径都为4的圆锥的侧面积为______．
13.某大品牌家电公司从销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间[5,25](单位：百万元)内，将其分成5组：[5,9)，[9,13)，[13,17)，[17,21)，[21,25]，并整理得到如右的频率分布直方图，据此估计销售员工销售额的平均值为______(百万元)，(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，P是平面任意一点，满足sinAsinB=ac，B=π3，且PA2+PB2+PC2=5.若a=1，则PA的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知△ABC内角A，B，C对的边分别为a，b，c，且a= 7，b=5，c=6．
(1)求csA；
(2)求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=4sinxcs(x−π6)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在[−π12,π2]的值域．
17.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD−A′B′C′D′中，E是AD的中点，BD与AC交于点O，A′B与AB′交于点G．
(1)证明：OG//平面BCC′B′；
(2)证明：EG⊥平面A′BC′；
(3)求直线BA′与平面BDD′B′所成角的大小．
18.(本小题15分)
统计学家将战争中摧毁敌军的战机序列号作为样本，用样本估计总体的方法推断敌军每年生产的战机数量.假设敌军某年生产的战机数量为N，摧毁某年生产的n架战机编号从小到大为x1，x2，x3，…，xn，最大的编号为xn，摧毁敌军战机是随机的，摧毁战机的编号x1，x2，x3，…，xn，相当于从[1,N]中随机抽取的n个整数，这n个数将区间[0,N]分成(1+n)个小区间(如图)，可以用前n个区间的平均长度xnn估计所有(1+n)个区间的平均长度Nn+1进而得到N的估计值．
已知在某次战斗中摧毁敌军的战机编号为：2，5，7，13，15，17，21，据此回答下列问题．
(1)根据材料估计敌军生产的战机数量；
(2)已知敌军所有现役战机分为三个等级(四代战机，四代半战机，五代机)，通过分层抽样调查三类战机的飞行高度，得到各个等级飞行高度的样本平均数为x−，y−，z−．
(ⅰ)根据上述信息是否可以估计敌军所有现役战机的平均飞行高度？若不能，还需要什么条件，请补充条件并写出估计式；
(ⅱ)若敌军现役战机是按照比例生产的，四代战机，四代半战机，五代机的战机数量分别为A，B，C，样本量分别为a，b，c，据此证明：AA+B+Cx−+BA+B+Cy−+CA+B+Cz−=aa+b+cx−+ba+b+cy−+ca+b+cz−．
19.(本小题17分)
已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
(1)若2csB+1=ca；
(ⅰ)求证：B=2A；
(ⅱ)求sinAsinC的取值范围；
(2)若G是△ABC的重心且AG⊥BG，求csC的取值范围．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.C
5.B
6.A
7.D
8.B
9.ACD
10.AD
11.ABD
12.8π

14. 33
15(1)因为a= 7，b=5，c=6，
所以由余弦定理得：csA=b2+c2−a22bc=25+36−72×5×6=910；
(2)因为sin2A+cs2A=1，
由(1)知csA=910，且A∈(0,π)，所以sinA= 1910，
所以S=12bcsinA=12×5×6× 1910=3 192．
16.(1)f(x)=4sinx⋅(csxcsπ6+sinxsinπ6)
=2 3sincsx+2sin2x
= 3sin2x−cs2x+1
=2sin(2x−π6)+1，
可得f(x)的最小正周期T=2π|ω|=2π2=π；
(2)方法1：令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得：−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，
可得f(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ]，k∈Z，
又x∈[−π12,π2]，
可得f(x)max=f(π3)=3，f(x)min=f(−π6)=1− 3
可得f(x)的值域为[1− 3,3]；
方法2：因为x∈[−π12,π2]，
所以2x−π6∈[−π3,5π6]，
由正弦函数图象可知，当x=π3时，函数y=2sin(2x−π6)+1有最大值3，
当x=−π12时，y=2sin(2x−π6)+1有最小值1− 3，
可得f(x)的值域为[1− 3,3]．
17.(1)证明：在正方体ABCD−A′B′C′D′中，连接B′C，因为ABCD为正方形，
所以O为AC中点，同理，G为AB′中点，
所以GO//B′C，因为GO⊄平面BB′C′C，B′C⊂平面BB′C′C，
所以GO//平面BB′C′C；
(2)证明：连接DB′，在△AB′D中，G、E分别为AB′、AD的中点，所以DB′//EG．
在正方形A′B′C′D′中，A′C′⊥B′D′，
又因为ABCD−A′B′C′D′为正方体，
所以BB′⊥平面A′B′C′D′，
因为BB′⊂平面A′B′C′D′，所以BB′⊥A′C′，
因为B′D′∩BB′=B′，B′D′，BB′⊂平面BB′D′D，
所以A′C′⊥平面BB′D′D，
因为B′D⊂平面BB′D′D，所以A′C′⊥B′D，
同理可得：A′B⊥B′D，A′B∩A′C′=A′，
所以B′D⊥平面A′BC′，
所以EG⊥平面A′BC′；
(3)设A′C′∩B′D′=Q，并连接QB，
由(2)可知A′C′⊥平面BB′D′D，
所以直线BA′与平面BB′D′D所成的角为∠QBA′，
设正方体棱长为2a，Rt△A′QB中，A′B=2 2a，A′Q= 2a，所以∠QBA′=π6，
所以直线BA′与平面BB′D′D所成的角的大小为π6．
18.(1)解：∵可用xnn估计Nn+1，
∴217=N8，解得N=24．
∴估计敌军生产的战机数量为24架．
(2)(ⅰ)解：不能估计敌军所有现役战机的平均飞行高度，
需要知道这三个等级战机具体的个体数量X，Y，Z，或者抽取样本的数量m，n，l，
估计式为XX+Y+Zx−+YX+Y+Zy−+ZX+Y+Zz−
或mm+n+lx−+nm+n+ly−+lm+n+lz−．
(ⅱ)证明：∵样本是按比例在各层抽取的且各层抽取的样本量分别为a，b，c，
∴aA=bB=cC，
∴aa+b+c=AA+B+C，ba+b+c=BA+B+C，ca+b+c=CA+B+C，
∵样本平均数为：ax−+by−+cz−a+b+c=aa+b+cx−+ba+b+cy−+ca+b+cz−，
∴AA+B+Cx−+BA+B+Cy−+CA+B+Cz−=aa+b+cx−+ba+b+cy−+ca+b+cz−．
19.(1)(ⅰ)证明：根据题意可知，2csB+1=ca，
∴2acsB+a=c，由正弦定理得：2sinAcsB+sinA=sinC，
∵A+B+C=π，∴sinC=sin(A+B)，
原式等价于2sinAcsB+sinA=sin(A+B)=sinAcsB+sinBcsA，
得：sinAcsB−sinBcsA=−sinA，
sin(A−B)=sin(−A)，又∵A∈(0,π2)，B∈(0,π2)，
∴A−B=−A，即2A=B；
(ⅱ)由(1)知2A=B，∴3A+C=π，sin3A=sinC，
sinAsinC=sinAsin3A=sinAsin2AcsA+sinAcs2A=sinA2sinAcs2A+sinAcs2A，
∴sinAsinC=14cs2A−1，
∵三角形ABC为锐角三角形，
∴0a2，则5a2+a2+b2>5b25b2+a2+b2>5a2，
即6a2>4b26b2>4a2，令t=ab，则23