2024-2025学年四川省巴中市高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省巴中市高一（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(x,4)，b=(3,−3)，且a⊥b，则x的值为( )
A. 4B. −4C. 3D. −3
2.已知复数z(1−i)=3i，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AD1与DC1所成的角的大小为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
4.在△ABC中，设D是AB边上的一点，且AD=2DB，则( )
A. CD=13CA−23CBB. CD=23CA−13CB
C. CD=13CA+23CBD. CD=23CA+13CB
5.要得到y=cs(2x−π4)的图象，只要将y=cs2x的图象( )
A. 向左平移π8个单位B. 向右平移π8个单位C. 向左平移π4个单D. 向右平移π4个单位
6.已知5−2i是关于x的方程x2−mx+n=0(m,n∈R)的一个根，则m的值为( )
A. 10B. −6C. 6D. −10
7.棱长为6的正四面体内放置了一个球，球的体积与正四面体的体积之比为15，则球的表面积为( )
A. 12π( 210π)23B. 36π(110π)23C. 12π(110π)23D. 36π( 210π)23
8.化简计算12tan40°−2cs50°的值为( )
A. 3B. − 32C. 33D. − 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.学校为调研同学们对某旅游城市景区的了解情况，随机调查了6名同学所知道的景区个数，得到一组样本：1，2，3，2，4，5，则( )
A. 这组数据的众数为2B. 这组数据的平均数为3
C. 这组数据的极差为4D. 这组数据的60%分位数为3
10.已知函数f(x)=sin(2x+π3)，下列说法正确的有( )
A. f(x)的图象关于点(−2π3,0)对称
B. 若f(x1)=f(x2)=0，则x1−x2是π的整数倍
C. f(x)在[−π6,π]有2个零点
D. 不等式f(x)≥12的解集为[−π12+kπ,π4+kπ]，k∈Z
11.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD为正三角形，且AD=2，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是( )
A. .平面PAD与平面PBC的交线平行于直线AD
B. 二面角P−BC−D的余弦值为2 77
C. 点B到平面PCD的距离为2
D. 四棱锥P−ABCD的外接球的半径为 213
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.母线长和底面圆的直径都为4的圆锥的侧面积为______．
13.某大品牌家电公司从销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间[5,25](单位：百万元)内，将其分成5组：[5,9)，[9,13)，[13,17)，[17,21)，[21,25]，并整理得到如右的频率分布直方图，据此估计销售员工销售额的平均值为______(百万元)，(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，P是平面任意一点，满足sinAsinB=ac，B=π3，且PA2+PB2+PC2=5.若a=1，则PA的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知△ABC内角A，B，C对的边分别为a，b，c，且a= 7，b=5，c=6．
(1)求csA；
(2)求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=4sinxcs(x−π6)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在[−π12,π2]的值域．
17.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD−A′B′C′D′中，E是AD的中点，BD与AC交于点O，A′B与AB′交于点G．
(1)证明：OG//平面BCC′B′；
(2)证明：EG⊥平面A′BC′；
(3)求直线BA′与平面BDD′B′所成角的大小．
18.(本小题15分)
统计学家将战争中摧毁敌军的战机序列号作为样本，用样本估计总体的方法推断敌军每年生产的战机数量.假设敌军某年生产的战机数量为N，摧毁某年生产的n架战机编号从小到大为x1，x2，x3，…，xn，最大的编号为xn，摧毁敌军战机是随机的，摧毁战机的编号x1，x2，x3，…，xn，相当于从[1,N]中随机抽取的n个整数，这n个数将区间[0,N]分成(1+n)个小区间(如图)，可以用前n个区间的平均长度xnn估计所有(1+n)个区间的平均长度Nn+1进而得到N的估计值．
已知在某次战斗中摧毁敌军的战机编号为：2，5，7，13，15，17，21，据此回答下列问题．
(1)根据材料估计敌军生产的战机数量；
(2)已知敌军所有现役战机分为三个等级(四代战机，四代半战机，五代机)，通过分层抽样调查三类战机的飞行高度，得到各个等级飞行高度的样本平均数为x−，y−，z−．
(ⅰ)根据上述信息是否可以估计敌军所有现役战机的平均飞行高度？若不能，还需要什么条件，请补充条件并写出估计式；
(ⅱ)若敌军现役战机是按照比例生产的，四代战机，四代半战机，五代机的战机数量分别为A，B，C，样本量分别为a，b，c，据此证明：AA+B+Cx−+BA+B+Cy−+CA+B+Cz−=aa+b+cx−+ba+b+cy−+ca+b+cz−．
19.(本小题17分)
已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
(1)若2csB+1=ca；
(ⅰ)求证：B=2A；
(ⅱ)求sinAsinC的取值范围；
(2)若G是△ABC的重心且AG⊥BG，求csC的取值范围．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：向量b=(3,−3)，a=(x,4)，且a⊥b，
由向量垂直的性质可知，3x−12=0，解得x=4．
故选：A．
由向量垂直列方程求解即可．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由复数z(1−i)=3i，得z=3i1−i=3i(1+i)(1−i)(1+i)=−3+3i2=−32+32i，
则z在复平面内对应的点的坐标为(−32,32)，位于第二象限．
故选：B．
应用复数除法化简复数，根据对应点判断所在象限．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由正方体的几何特征可得AD1/​/BC1，
异面直线AD1与DC1所成角为∠BC1D，
设正方体的棱长为a，
则BC1=BD=DC1= 2a，
所以△BDC1为等边三角形，
所以∠BC1D=60°．
所以异面直线AD1与DC1所成的角为60°．
故选：C．
先找到异面哦直线所成角，再计算大小，即可得出答案．
本题考查异面直线所成角，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由题意CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(CB−CA)=13CA+23CB；
故选：C．
利用平面向量的三角形法则将CD表示为CA，CB的表达式，关键平面向量基本定理得到所求．
本题考查了平面向量基本定理的运用；关键是将所求向量利用三角形的基向量表示．
5.【答案】B
【解析】解：将函数y=cs2x的图象向右平移π8个单位得到的函数解析式为：y=cs[2(x−π8)]=cs(2x−π4)，
故选：B．
根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律即可得解．
本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意，5+2i是关于x的方程x2−mx+n=0(m,n∈R)的另一个根，
所以由韦达定理有m=5−2i+5+2i=10．
故选：A．
由实系数方程虚根成对以及韦达定理即可求解．
本题考查复数的运算，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：将棱长为6的正四面体可放置到棱长为3 2的正方体中，
则该正四面体的体积为(3 2)3−4×13×12×(3 2)3=18 2，
又球的体积与正四面体的体积之比为15，
所以球的体积为18 25，设该球的半径为R，
则43πR3=18 25，
解得R=334π×18 25=327 210π=33 210π，
故所求为S=4πR2=4π×9×( 210π)23=36π( 210π)23．
故选：D．
只需求得该球的半径，再结合球的表面积公式即可求解．
本题考查立体几何的综合应用，属中档题．
8.【答案】B
【解析】解：原式=sin40°2cs40∘−4cs40°sin40°2cs40∘
=sin40°−2sin80°2cs40∘
=sin40°−2cs(40°−30°)2cs40∘
=sin40°−2( 32cs40°+12sin40°)2cs40°
=− 3cs40°2cs40°
=− 32．
故选：B．
由三角恒等变换求解即可．
本题考查了三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：将样本数据从小到大排列得1，2，2，3，4，5，
对于A，众数为2，故A正确；
对于B，平均数为1+2+2+3+4+56=176，故B错误；
对于C，极差为5−1=4，故C正确；
对于D，因为6×60%=3.6，
所以这组数据的60%分位数是3，故D正确．
故选：ACD．
根据众数、平均数、极差及百分位数的定义求样本特征数值，即可判断各项正误．
本题主要考查了众数、平均数、极差及百分位数的定义，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：由f(−2π3)=sin[2×(−2π3)+π3]=sin(−π)=0，
可知f(x)的图象关于点(−2π3,0)对称，故A项正确；
取x1=−π6，x2=π3，可得f(x1)=f(x2)=0，此时x1−x2=−π2，故B项错误；
当x∈[−π6,π]时，2x+π3∈[0,7π3]，
结合正弦函数的图象，可知f(x)的零点满足2x+π3=0或π或2π，
即x=−π6或π3或5π6，可见f(x)在[−π6,π]上有3个零点，故C项错误；
若sin(2x+π3)≥12，则π6+2kπ≤2x+π3≤5π6+2kπ,k∈Z，
解得−π12+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z，解集为[−π12+kπ,π4+kπ],k∈Z，故D项正确．
故选：AD．
根据正弦函数的对称性判断出A项的正误；根据正弦函数的零点判断出BC两项的正误；根据正弦函数的图象与性质解不等式f(x)≥12，即可判断出D项的正误．
本题主要考查正弦函数的图象与性质、函数的零点与方程的根等知识，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于选项A：因为AD//BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以AD/​/平面PBC，
又因为AD⊂平面PAD，所以平面PAD与平面PBC的交线平行于直线AD，故选项A正确；
对于选项B：若E，F分别为AD，BC的中点，
则PE⊥AD，EF⊥AD，
因为PE∩EF=E，且PE，EF⊂平面PEF，
所以AD⊥平面PEF，则BC⊥平面PEF，
因为EF，PF⊂平面PEF，所以BC⊥PF，EF⊥BC，
所以∠PFE是锐二面角P−BC−D的平面角，
由平面PAD⊥平面ABCD，PE⊥AD，PE⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PE⊥平面ABCD，
则cs∠PFE=EFPF，而EF=2,PE= 3，则PF= 7，
所以cs∠PFE=2 77，故选项B正确；
对于选项C：因为VB−PCD=VP−BCD=13× 3×12×2×2=23 3，
由PE⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PE⊥CD，又AD⊥CD，
由PE∩AD=E，且PE，AD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，
所以CD⊥PD，故S△PCD=12×2×2=2，
若点B到平面PCD的距离为d，
所以23d=23 3，则d= 3，故选项C错误；
对于选项D：由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为正三角形，四边形ABCD为正方形，
则外接球球心是过正方形ABCD中心且垂直于平面ABCD与过△PAD中心且垂直于平面PAD的两直线的交点，
所以外接球的半径r= (2PE3)2+(AB2)2= 213，故选项D正确．
故选：ABD．
应用线面平行的判定及性质判断A；
若E，F分别为AD，BC的中点，结合二面角的定义有∠PFE是锐二面角P−BC−D的平面角，进而求其余弦值判断B；
应用等体积法求点面距离判断C；
由面面垂直模型确定球心，再利用几何关系求球体半径判断D．
本题考查立体几何综合问题，属于中档题．
12.【答案】8π
【解析】解：由题意母线长和底面圆的直径都为4的圆锥，
可得底面圆的半径为r=2，母线l=4，故所求为πrl=π×2×4=8π．
故答案为：8π．
直接由圆锥的侧面积公式计算即可得解．
本题考查了圆锥的侧面积公式，是中档题．
13.【答案】14.52
【解析】解：根据频率分布直方图的性质可知，(0.02+a+0.09+0.03+0.03)×4=1，可得a=0.08，
故估计销售员工销售额的平均值为0.08×7+0.32×11+0.36×15+0.12×19+0.12×23=14.52．
故答案为：14.52．
根据频率和为1求得a=0.08，再由频率直方图求平均值即可．
本题考查了频率分布直方图的性质，属于基础题．
14.【答案】 33
【解析】解：根据题意可知，sinAsinB=ab=ac，∴b=c，又B=π3，a=1，∴三角形ABC是边长为1的等边三角形，
建立如图所示的平面直角坐标系，由题意A(−12,0),B(12,0),C(0, 32)，设P(x,y)，
∴PA2+PB2+PC2=(x+12)2+y2+(x−12)2+y2+x2+(y− 32)2=3(x2+y2)− 3y+54，
∵PA2+PB2+PC2=5，∴3(x2+y2)− 3y+54=5，即x2+(y− 36)2=43，
设x=2 33csθ,y= 36+2 33sinθ，
PA2=(x+12)2+y2=(2 33csθ+12)2+( 36+2 33sinθ)2
=53+2 33csθ+23sinθ=53+43sin(θ+π3)，
∴|PA|= 53+43sin(θ+π3)≥ 5−43= 33，等号成立当且仅当sin(θ+π3)=−1时取得，
综上所述，PA的最小值为 33．
故答案为： 33．
首先得三角形ABC是边长为1的等边三角形，然后建立坐标系，A(−12,0),B(12,0),C(0, 32)，P(x,y)，根据题目条件可得x2+(y− 36)2=43，进一步通过三角换元即可求解．
本题考查了解三角形，属于中档题．
15.【答案】csA=910；
3 192．
【解析】(1)因为a= 7，b=5，c=6，
所以由余弦定理得：csA=b2+c2−a22bc=25+36−72×5×6=910；
(2)因为sin2A+cs2A=1，
由(1)知csA=910，且A∈(0,π)，所以sinA= 1910，
所以S=12bcsinA=12×5×6× 1910=3 192．
(1)又余弦定理即可求csA；
(2)应用平方关系求得sinA= 1910，再应用三角形面积公式求面积．
本题考查余弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题．
16.【答案】π；
[1− 3,3]．
【解析】(1)f(x)=4sinx⋅(csxcsπ6+sinxsinπ6)
=2 3sincsx+2sin2x
= 3sin2x−cs2x+1
=2sin(2x−π6)+1，
可得f(x)的最小正周期T=2π|ω|=2π2=π；
(2)方法1：令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得：−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，
可得f(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ]，k∈Z，
又x∈[−π12,π2]，
可得f(x)max=f(π3)=3，f(x)min=f(−π6)=1− 3
可得f(x)的值域为[1− 3,3]；
方法2：因为x∈[−π12,π2]，
所以2x−π6∈[−π3,5π6]，
由正弦函数图象可知，当x=π3时，函数y=2sin(2x−π6)+1有最大值3，
当x=−π12时，y=2sin(2x−π6)+1有最小值1− 3，
可得f(x)的值域为[1− 3,3]．
(1)由三角恒等变换得f(x)=2sin(2x−π6)+1，结合周期公式计算即可求解；
(2)思路一：求解单调区间即可得解；思路二：由x∈[−π12,π2]，得2x−π6∈[−π3,5π6]，结合三角函数性质即可得解．
本题考查了三角函数恒等变换以及三角函数性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
17.【答案】证明见解析； 证明见解析； π6．
【解析】(1)证明：在正方体ABCD−A′B′C′D′中，连接B′C，因为ABCD为正方形，
所以O为AC中点，同理，G为AB′中点，
所以GO//B′C，因为GO⊄平面BB′C′C，B′C⊂平面BB′C′C，
所以GO//平面BB′C′C；
(2)证明：连接DB′，在△AB′D中，G、E分别为AB′、AD的中点，所以DB′//EG．
在正方形A′B′C′D′中，A′C′⊥B′D′，
又因为ABCD−A′B′C′D′为正方体，
所以BB′⊥平面A′B′C′D′，
因为BB′⊂平面A′B′C′D′，所以BB′⊥A′C′，
因为B′D′∩BB′=B′，B′D′，BB′⊂平面BB′D′D，
所以A′C′⊥平面BB′D′D，
因为B′D⊂平面BB′D′D，所以A′C′⊥B′D，
同理可得：A′B⊥B′D，A′B∩A′C′=A′，
所以B′D⊥平面A′BC′，
所以EG⊥平面A′BC′；
(3)设A′C′∩B′D′=Q，并连接QB，
由(2)可知A′C′⊥平面BB′D′D，
所以直线BA′与平面BB′D′D所成的角为∠QBA′，
设正方体棱长为2a，Rt△A′QB中，A′B=2 2a，A′Q= 2a，所以∠QBA′=π6，
所以直线BA′与平面BB′D′D所成的角的大小为π6．
(1)只需证明GO//B′C，再结合线面平行的判定定理即可得证；
(2)只需证明DB′//EG，B′D⊥平面A′BC′即可得证；
(3)由线面角的定义可得直线BA′与平面BB′D′D所成的角为∠QBA′，解直角三角形即可得解．
本题考查线面位置关系的判定，以及线面角的计算，属于中档题．
18.【答案】24架；
(ⅰ)不能，需要知道这三个等级战机具体的个体数量X，Y，Z，或者抽取样本的数量m，n，l，估计式见解析；
(ⅱ)证明见解析．
【解析】(1)解：∵可用xnn估计Nn+1，
∴217=N8，解得N=24．
∴估计敌军生产的战机数量为24架．
(2)(ⅰ)解：不能估计敌军所有现役战机的平均飞行高度，
需要知道这三个等级战机具体的个体数量X，Y，Z，或者抽取样本的数量m，n，l，
估计式为XX+Y+Zx−+YX+Y+Zy−+ZX+Y+Zz−
或mm+n+lx−+nm+n+ly−+lm+n+lz−．
(ⅱ)证明：∵样本是按比例在各层抽取的且各层抽取的样本量分别为a，b，c，
∴aA=bB=cC，
∴aa+b+c=AA+B+C，ba+b+c=BA+B+C，ca+b+c=CA+B+C，
∵样本平均数为：ax−+by−+cz−a+b+c=aa+b+cx−+ba+b+cy−+ca+b+cz−，
∴AA+B+Cx−+BA+B+Cy−+CA+B+Cz−=aa+b+cx−+ba+b+cy−+ca+b+cz−．
(1)由题设得217=N8求参数，即可得；
(2)(i)根据题意需要知道这三个等级战机具体的个体数量X，Y，Z，或者抽取样本的数量m，n，l，进而写出公式；
(ii)按比例在各层抽取的且各层抽取的样本量分别为a、b、c，得aA=bB=cC=a+b+cA+B+C，应用分层等比例性质即可证．
本题考查分层随机抽样的性质与平均数公式，属于中档题．
19.【答案】(ⅰ)证明见解析；(ⅱ)(12,1)；
[45, 63)．
【解析】(1)(ⅰ)证明：根据题意可知，2csB+1=ca，
∴2acsB+a=c，由正弦定理得：2sinAcsB+sinA=sinC，
∵A+B+C=π，∴sinC=sin(A+B)，
原式等价于2sinAcsB+sinA=sin(A+B)=sinAcsB+sinBcsA，
得：sinAcsB−sinBcsA=−sinA，
sin(A−B)=sin(−A)，又∵A∈(0,π2)，B∈(0,π2)，
∴A−B=−A，即2A=B；
(ⅱ)由(1)知2A=B，∴3A+C=π，sin3A=sinC，
sinAsinC=sinAsin3A=sinAsin2AcsA+sinAcs2A=sinA2sinAcs2A+sinAcs2A，
∴sinAsinC=14cs2A−1，
∵三角形ABC为锐角三角形，
∴0a2，则5a2+a2+b2>5b25b2+a2+b2>5a2，
即6a2>4b26b2>4a2，令t=ab，则23