2024-2025学年四川省成都市郫都区高一下学期7月期末考试数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省成都市郫都区高一下学期7月期末考试数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足z⋅i=1−2i，则z的虚部为( )
A. iB. −iC. 1D. −1
2.如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其分割成棱长为1cm的小立体，则两面是红色的小立方体的个数为( )
A. 8B. 16C. 24D. 32
3.已知cs(α+β)=15,cs(α−β)=35，则tanαtanβ=( )
A. −12B. 12C. −2D. 2
4.如图，在▵ABC中，D是边AB上一点，且BD=2AD，点E是CD的中点．设AB=a，AC=b，则AE可以表示为( )
A. 12a+16bB. 16a+12bC. 12a−16bD. 16a−12b
5.将函数y=cs2x+4π5的图象上各点向右平移π2个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是( )．
A. y=4cs4x−π5B. y=4cs4x+π5
C. y=4sin4x+4π5D. y=−4sin4x+4π5
6.如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD,P是弧BC(包括端点)上一点，则AP⋅AB的取值范围是( )
A. 1,4+ 24B. 1,2+ 22C. 1,1+ 22D. 24,1
7.在三棱锥S−ABC中，底面▵ABC为斜边AC=2 2的等腰直角三角形，顶点S在底面ABC上的射影为AC的中点．若SA=2，E为线段AB上的一个动点，则SE+CE的最小值为( )
A. 6+ 2B. 2 3C. 2 3+1D. 2 3−1
8.锐角▵ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，若a2=b2+bc，则ab的取值范围是( )
A. (0,2)B. 2,2C. 2, 3D. 3,2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式正确的是( )
A. sin15cs15=14B. 2sin222.5−1=− 22
C. cs26cs34+sin26sin34=12D. tan71°−tan26°1+tan71°tan26°=1
10.如图正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题中正确的是( )
A. 正方体被面AD1C分割成两部分的体积比为1:5
B. 点C到平面ABC1D1的距离为 22．
C. 四面体A1−BDC1的外接球体积为 32π
D. 二面角C1−BD−C的大小为60°
11.已知▵ABC中角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，下列命题正确的是( )
A. 若▵ABC为锐角三角形，则sinA>csB
B. 若a2tanB=b2tanA，则▵ABC是等腰三角形
C. 若a−b=ccsB−ccsA，则▵ABC为直角三角形
D. 若a=2, b=3, A=π6，则此三角形有两解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a=2，b=3，a+b= 19，则a与b的夹角为 ．
13.sin40∘(tan10∘−3)= ．
14.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E是棱BC的中点，P是侧棱AA1上的动点，直线C1P交平面EB1D1于点P′，则动点P′的轨迹长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=sin2x−cs2x+2 3sinx⋅csx
(1)求f(x)的单调增区间和对称中心；
(2)若00)图象的影响可得．
【详解】将函数y=cs2x+4π5的图象上各点向右平移π2个单位长度，得到函数y=cs2x−π2+4π5即y=cs2x−π5的图象，
再把函数y=cs2x−π5的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，就得到函数y=cs4x−π5的图象，
然后再把函数y=cs4x−π5的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍，就得到函数y=4cs4x−π5的图象．
故选：A．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查平面向量的数量积运算，考查三角恒等变换及三角函数的性质，属于中档题．
法一：以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解；法二：连接AC,CP，设∠PAB=θ,0≤θ≤π4，则∠PAC=π4−θ，AP⋅AB=|AP||AB|cs θ=|AB|⋅|AC|cs∠PAC，即可求解．
【解答】
解：方法一：如图1，以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(1,0)).
设P(x,y)，则AP=(x,y)．
因为AB=(1,0)，所以AP⋅AB=x．
由题意知，圆O的半径r= 22.因为点P在弧BC(包括端点)上，
所以1≤x≤12+ 22，所以AP⋅AB的取值范围是1,1+ 22．
方法二：如图2，连接AC,CP.易知∠BAC=π4，
设∠PAB=θ,0≤θ≤π4，则∠PAC=π4−θ．
由已知可得|AB|=1,|AC|= 2,∠APC=π2，
所以|AP|=|AC|cs∠PAC= 2csπ4−θ，
所以AP⋅AB=|AP||AB|cs θ
= 2cs (π4−θ)cs θ
= 2( 22cs θ+ 22sin θ)cs θ
=cs2θ+sin θcs θ
=1+cs 2θ2+sin 2θ2
=12+ 22sin (2θ+π4)．
因为0≤θ≤π4，所以π4≤2θ+π4≤3π4，所以 22≤sin2θ+π4≤1，
所以1≤12+ 22sin2θ+π4≤1+ 22，即AP⋅AB的取值范围是1,1+ 22．
故选：C．
7.【答案】A
【解析】解：如图，在三棱锥S−ABC中，设点O为线段AC的中点，连接BO,SO，
由题易知：AO=BO=CO=12AC= 2，AB=BC=2，SO⊥平面ABC，
在RtΔSAO中，SO= SA2−AO2= 2，故SB= SO2+BO2=2，
所以▵SAB是边长为2的等边三角形．
将▵SAB展开到与▵ABC共面，如图所示，
则SE+CE≥SC，当且仅当S,E,C三点共线时等号成立，即SE+CE取得最小值，
在▵SBC中，SB=BC=2，∠SBC=∠SBA+∠ABC=5π6，
由余弦定理可得：SC2=SB2+BC2−2SB⋅BC⋅cs5π6=8+4 3=( 6+ 2)2，
所以SE+CE⩾SC= 6+ 2，
即SE+CE的最小值为 6+ 2．
故选：A．
8.【答案】C
【解析】【分析】根据正余弦定理，变形已知条件，求出ab与角的余弦之间的关系，根据锐角三角形，求出角的范围，求出结果．
【详解】已知a2=b2+bc，又因为a2=b2+c2−2bccsA，
所以b2+bc=b2+c2−2bccsA，解得c=b(1+2csA)，
所以a2=b2+b2(1+2csA)=b2(2+2csA)，即ab= 2+2csA，
由c=b(1+2csA)，得sinC=sinB(1+2csA)，
由C=π−(A+B)，得sin(A+B)=sinB+2sinBcsA，化简得sinB=sinAcsB−sinBcsA，
即sinB=sin(A−B)，
可得B=A−B或者B+A−B=π(舍)，所以A=2B，
因为▵ABC为锐角三角形，所以0