2025年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区中考数学三模试卷（附答案解析）

这是一份2025年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区中考数学三模试卷（附答案解析），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．2025的相反数是（ ）
A．2025B．C．D．
2．下列图形中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的一张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），则小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
6．如图，由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和主视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
8．为了丰富学生的课余生活，某校开展了丰富多彩的体育活动．某班家长委员会为学生购买跳绳30元/根和45元/根的两种跳绳，购买跳绳共花费450元钱，两种跳绳都买的话，共有（ ）种购买方案．
A．6B．5C．4D．3
9．如图1，在中，，．动点M从A点出发，沿折线方向运动，的面积为y，y与x的函数图象如图2，则的长为（ ）
A．6B．8C．10D．13
10．抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线. 下列说法：①；②； ③（为全体实数）；④若图象上存在点，，当 时，满足 ，则m的取值范围为 ，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．国家统计局2024年2月29日发布《2023年国民经济和社会发展统计公报》，经初步核算，2023年全年国内生产总值达到126万亿元 ．
12．函数中自变量的取值范围是 ．
13．已知圆锥侧面展开得到一个扇形，如果扇形的半径为，圆心角是，那么由它围成的圆锥的高是 ．
14．若关于的方程无解，则的值为 ．
15．如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，对角线轴，交y轴于点D．若矩形的面积是18，，则k的值是 ．
16．已知矩形中，，对角线的垂直平分线与的邻补角的平分线交于点N，若，则这个矩形的周长为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，有一个，，，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且，将绕原点逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍即（）．得到，同理，将绕原点O逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到，…，依此规律，得到三角形，则的坐标为 ．
三、解答题
18．（1）计算：
（2）因式分解：
19．解方程：
20．我区某学校组织开展了健康知识的培训．为了解学生们对健康知识的学习情况，学校准备采用以下调查方式中的一种进行调查：
①从七年级一班随机选取20名学生作为调查对象进行调查；
②从八年级中随机选取200名学生作为调查对象进行调查；
③从全校学生学籍档案中随机抽取200名学生作为调查对象进行调查．
按照一种比较合理的调查方式所得到的数据后，学校按成绩分成五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．

(1)在上述调查方式中，你认为比较合理的一个是___________（填序号）；
(2)补全频数分布直方图，并求出在学生成绩频数分布直方图中m的值为___________；
(3)在学生成绩扇形统计图中，D项所在的圆心角的度数为___________°；
(4)若成绩在80分及以上为优秀，全校共有1800名学生，估计成绩优秀的学生约有多少人？
21．如图，内接于，为的直径，将沿所在的直线翻折，得到，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
22．甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程（单位：千米），（单位：千米）与乙车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
(1)a的值为_____；甲车的速度为______千米/时；
(2)求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的y与x的函数关系式；
(3)直接写出乙车出发多少小时与甲车相距15千米．
23．已知和均为直角三角形，，直线与直线交于点，
（1）观察猜想：如图①，当时，线段和的数量关系是______﹔______．
（2）探究证明：如图②，当时，线段和的数量关系是什么？的度数又是多少？
（3）拓展延伸：在（2）的条件下，若，，将绕点旋转，在整个旋转过程中，当、、三点共线时，请直接写出点到直线的距离．
24．综合与探究
如图已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，且，点D为直线上方抛物线上的点，连接交于点E，连接
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求点D的坐标；
(3)连接，将直线绕点B旋转，与抛物线交于另一交点F，则点F的坐标为 ；
(4)如图2，点是点C关于x轴的对称点，连接，的面积为，的面积为，当最大时，点E的坐标为 ．
等级
A
B
C
D
E
成绩
《2025年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区中考数学三模试卷》参考答案
1．B
【分析】本题考查了相反数的定义，熟知相反数的概念是关键；
根据相反数的定义，数值相同但符号相反的两个数互为相反数即可得到答案.
【详解】解：相反数的定义为：一个数的相反数是在其前面添加负号所得的数；
2025是正数，其相反数为；选项中B符合相反数的定义；
A是原数，C和D分别为倒数和负倒数，均不符合题意；
故选B.
2．C
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：、是中心对称图形，也是轴对称图形，该选项不合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不合题意；
、是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项符合题意；
、是中心对称图形，也是轴对称图形，该选项不合题意；
故选：．
3．D
【分析】根据同底数幂乘法计算并判定A；根据完全平方公式计算并判定B；根据合并同类项法则计算并判定C；根据积的乘方和幂的乘方计算并判定D．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查同底数幂乘法，完全平方公式，合并同类，积的乘方和幂的乘方，熟练掌握同底数幂乘法法则、完全平方公式，合并同类法则、积的乘方和幂的乘方法则是解题的关键．
4．B
【分析】根据概率公式直接求解即可．
【详解】解：由题意知，一共有4种等可能结果，其中小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的只有1种结果，
所以小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
5．A
【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质求出，根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
6．B
【分析】作出相应的俯视图，标出搭成该几何体的小正方体的个数最少时的数字即可．
【详解】解：作出该几何体的俯视图，画出数字，如图所示，
则搭成该几何体的小正方体的个数最少是4 ，
故选:B．
【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，画出相应的俯视图是解本题的关键．
7．C
【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质和定义，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键．
由作图方法可知，是的角平分线，则由角平分线的定义和性质即可判定A、B；利用勾股定理求出，利用等面积法求出，由此求出即可判断C、D．
【详解】解：由作图方法可知，是的角平分线，
∴，故A结论正确，不符合题意；
∵，
∴，故B结论正确，不符合题意；
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故C结论错误，符合题意；
∴，故D结论正确，不符合题意；
故选C．
8．C
【分析】设购买30元/根的跳绳x根，45元/根的跳绳y根，根据共花费450元钱列二元一次方程解答即可．
【详解】解：设购买30元/根的跳绳x根，45元/根的跳绳y根，依题意有：
，即，
∵x，y均为正整数，
∴或或或，
共有4种购买方案．
故选：C．
【点睛】此题考查了二元一次方程的应用， 二元一次方程的解，正确理解题意是解题的关键．
9．A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式、判断出和点M和点B重合时，的面积为3是解本题的关键．
先根据结合图2得出，进而利用勾股定理得，再由运动结合的面积的变化，得出点M和点B重合时，的面积最大，其值为3，即，进而建立方程组求解，即可．
【详解】解：由图知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，①，
设点M到的距离为h，
∴，
∵动点M从A点出发，沿折线方向运动，
∴当点M运动到点B时，的面积最大，即，
由图2知，的面积最大为3，
∴，
∴②，
得，，
∴，
∴（负值舍去），
∴③，
将③代入②得，，
∴或，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
10．C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点位置可判断①，根据特殊点可判断②；根据最值可判断③；根据对称性可判断④．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，抛物线与y轴负半轴相交，
∴，，，
∴，故①正确；
根据对称轴为直线得，
由图象可知，当时，，
∴，故②正确；
由图可知，当时，抛物线有最大值为，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，故③错误；
由图可知，和满足，
∴和关于对称轴对称，
∴，，即，
∵，
∴，，
则，
∴，
解得，故④正确；
故选C．
11．
【详解】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
解：126万亿，
故答案为：．
12．且
【分析】本题考查了函数自变量取值范围，解题关键是明确0指数和二次根式以及分式有意义的条件，准确列出不等式组．
根据0指数底数不为0和二次根式被开方数大于或等于0，以及分式分母不为零列不等式组即可．
【详解】解：根据题意列不等式组得，，
解得，且．
故答案为：且．
13．
【分析】根据圆锥的底面周长就是侧面展开图的弧长，可求得圆锥底面圆的半径，又扇形的半径就是圆锥的母线，然后利用勾股定理即可求得该圆锥的高．
【详解】解：如图，
由题意可得：，
∵扇形的弧长就是圆锥的底面周长，
∴，
即：，
解得：，
∴，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的高、勾股定理，解题的关键是熟记圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．
14．或
【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握整式方程无解或分式方程有增根时，分式方程无解是关键．
将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根两种情况求解．
【详解】解：去分母得：，
整理得：，即，
当，即时，整式方程无解，满足题意；
当，即时，，
此时分式方程的增根为或，
代入得：（无解）或，
解得：，
综上所述，的值为或．
15．
【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，反比例函数系数k的几何意义，根据三角函数可设，，则，根据矩形的面积是18，列方程可得的值，同理可得的长，由勾股定理可得的长，计算的面积可得结论．
【详解】解：∵，，
∴
∵四边形是矩形，
∴，
设，，，
∵矩形的面积是18，
∴，
∴，
∵对角线轴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
16．或/36或20
【分析】分两种情况：当点在直线上方和下方，分别画出相应的图形，作出辅助线构建全等三角形，求出的长，再根据矩形的周长公式进行计算即可．
【详解】①如图1，当点在直线上方时，作交的延长线于点，作于点，连接，，

∵，，，
∴四边形是矩形．
∵，，，
∴．
∴矩形是正方形．
∵，
∴．
∵是的垂直平分线，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴这个矩形的周长为：；
②如图2，当点在直线下方时，作于点，作交的延长线于点，连接，，

同法可得：，，，
∴这个矩形的周长为：．
故答案是或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的周长等知识，解题的关键是分类画图，并作出辅助线构建全等三角形解决问题．
17．
【分析】本题考查了点的坐标变化规律，解直角三角形；根据余弦的定义求出，可分别求出,，……，找出规律，得到，根据规律解答即可，正确得到图形的变化规律是解题的关键．
【详解】解：在中，，
∴，
∴；
∴，，…，
一般地，；
∵，，
∴在x轴正半轴上，
∴，即；
故答案为：．
18．（1）2；（2）
【分析】（1）根据特殊角三角函数值，绝对值的性质，0指数幂的法则及实数运算法则处理；
（2）根据提公因式法、完全平方公式作因式分解；
【详解】解：（1）
；
（2）
【点睛】本题考查绝对值性质、0指数幂、实数的运算、因式分解；掌握运算法则及公式解题的关键．
19．
【分析】移项，变形，提取公因式，化为两个一元一次方程求解．
【详解】解：，
，
，
得或，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程的求解，灵活选择求解方法是解题的关键．
20．(1)③
(2)图见解析，18
(3)144
(4)936人
【分析】（1）根据题意，结合抽样调查方法即可选出适合方案．
（2）结合扇形统计图所占百分比和样本总量即可求出．
（3）在条形统计图找到对应数量利用扇形统计图圆心角公式即可求出．
（4）找到成绩优秀的量，结合扇形统计图即可求出．
【详解】（1）解：由题意可知，从全校学生学籍档案中随机抽取200名学生作为调查对象进行调查，比较合适．
故答案为：③．
（2）解：（人），
（人），
补全频数分布直方图如下所示：

故答案为：人．
（3）解：，
故答案为：．
（4）解：（人），
答：估计成绩优秀的学生有人．
【点睛】本题考查了数据的整理与描述，熟悉抽样调查的可靠性，掌握利用扇形统计图的求圆心角，百分比估算总量是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定与扇形面积公式，折叠的性质，解直角三角形．充分运用圆的性质，综合三角函数相关概念，求得线段长度是解题的关键．
（1）连接，由折叠的性质得，，再证明，推出，据此即可证明是的切线；
（2）先求得，在中，求得，再利用扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵将沿所在的直线翻折，得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积扇形的面积面积．
22．(1)4.5；60
(2)90千米/小时，
(3)小时或小时小时
【分析】题目主要考查一次函数的应用及根据函数图象获取相关信息，理解题意，结合函数图象及一次函数的性质进行分类求解是解题关键．
（1）由乙在途中的货站装货耗时半小时易得，然后利用速度公式计算甲的速度；
（2）设乙开始的速度为v千米/小时，利用乙两段时间内的路程和为460列方程求解即可得出乙的速度，可得到，然后利用待定系数法求出线段所表示的y与x的函数关系式即可；
（3）求出直线的解析式为，直直线的解析式为，再分段进行分析即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
甲车的速度为：（千米/小时）；
故答案为：；60；
（2）设乙开始的速度为v千米/小时，
则，
解得（千米/小时），
，
则，
设直线的解析式为，
把代入得，
解得．
所以线段所表示的y与x的函数关系式为；
（3）甲车前40分钟的路程为千米，则，
设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
所以直线的解析式为，
直线的解析式为，
设甲乙两车中途相遇点为G，由，解得小时，即乙车出发小时后，甲乙两车相遇，
当乙车在段时，由，解得，介于小时之间，符合题意；
当乙车在段时，由，解得，介于小时之间，符合题意；
当乙车在段时，由，解得，不介于之间，不符合题意；
当乙车在段时，由，解得，介于之间，符合题意．
所以乙车出发小时或小时或小时，乙与甲车相距15千米．
23．（1），；（2），；（3）或
【分析】（1）证明，，然后结合相似三角形的性质求解；
（2）证明，然后结合特殊角三角函数值和相似三角形的性质计算求解；
（3）分点E在线段AD上和点E在线段AD的延长线上，结合特殊角三角函数值及（2）中的结论计算求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，，即
∴
∴，即，
∵
∴，
又∵
∴
∴，
（2），，理由如下：
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设与交于点O，则，
∵，
∴，即的度数为30°；
（3）①当点E在线段AD上时，过点C作CH⊥AM
由题意可得，在Rt△ABC，Rt△EBD和Rt△ABD中，
，，
∴
又由（2）可得
∵，
∴
∴在Rt△CDH中，
②当点E在线段AD的延长线上时，过点C作CH′⊥AM
由题意可得，在Rt△ABC，Rt△EBD和Rt△ABD中，
，，
∴
又由（2）可得
∵，
∴
∴在Rt△CDH中，
综上，点到直线的距离为或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
24．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点作轴交于点F，过点B作轴交延长线于点G，求出直线的解析式为，得出，设，得出，证明，得出，即，解方程即可；
（3）分两种情况：将绕点B逆时针旋转时，将绕点B顺时针旋转时，分别画出图形求出结果即可；
（4）过点D作轴于点N，设，则，，，求出，，求出，根据，得出当时，最大，求出此时点的坐标为，再求出直线的解析式为，联立，求出点E的坐标为．
【详解】（1）解：已知抛物线与x轴交于点、，且，
∴，
∴，
∴，
把点A、点B、点C代入得
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过点作轴交于点F，过点B作轴交延长线于点G，
设直线的解析式为，
把点A、点C代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴，
把代入得：，
∴，
设，
∵轴，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
整理得：，
解得：，
∴；
（3）解：①将绕点B逆时针旋转时，过点C作于点G，过点G作轴于点H，过点C作于点K
则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设点G的坐标为，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为：，
把点代入得,，
解得，
∴直线的解析式为，
令，
解得：，（不合题意，舍去），
∴此时点F的坐标为；
②将绕点B顺时针旋转时，取，过L作轴于点M，如图：
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点L的坐标为，
设直线的解析式为：，
把点代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，
解得：，（不合题意，舍去），
∴此时点F的坐标为；
综上所述，，
故答案为：；
（4）解：过点D作轴于点N，如图：
设，则，，，
∵点是点C关于x轴的对称点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
，
∴
，
∵，
∴当时，最大，
∴此时点D的坐标为，
设直线的解析式为，
把点D，点B代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴点E的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题属主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，求二次函数的最值，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
B
A
B
C
C
A
C