初中88个几何模型汇总知识点

这是一份初中88个几何模型汇总知识点，共67页。学案主要包含了∠Pm+∠C=180°×，手拉手全等等内容，欢迎下载使用。
模 型 1 A 两点之间的距离公式
模 型 2 AA 两 点 的 中 点 公 式
模 型 3 线段双中点模型
模 型4 线 段 n 等 分 点
模 型 二 角度相关模型
模 型 5 A 互余、互补模型(方程思想)
模型①
AB=|x₁-x2|
x₁—x2|的几何意义：数轴上，x₁ 与x2两数对应 两点之间的距离
模型②
AB=/(x₁-x2)²+(y1-y2)²
模型①
点A与点B的中点表示的数为
模型②
A(x₁,y₁)B(x₂,y₂)的中点P的坐标为
【双中点模型】点B在线段AC上.
【条件】M为AB的中点， N为BC的 中 点 .
(原创题)如图，C是线段AB上的一点，M是线段AC的 中点，N是线段BC的中点.
(1)若AB=10 cm,AM=3 cm,则CN=2cm .
(2)若MN=a cm,则AB=2a .
【 结 论
【 三等分点模型】
【条件】点P₁,P²是线段AB的三等分点.
【四等分点模型】
【条件】点P₁,P₂,P₃是线段AB的四等分点.
【结论】AP₁=P₁
【 结 论 】 A P₁= P₁P₂= P₂
【条件】∠1与∠2互余(或∠1与∠2互补) . 【方法】设∠1=x° .
【结论】∠2=90° —x°(或∠2=180°-x°)
已知∠a和∠β互为补角，并且∠β的一半比 ∠a小30°,则∠a=80 °.
模 型 6 双角平分线 — — 整体思想
【模型①】双角平分线模型 【条件】∠AOB=m°,OC在
∠ A O B 内 部 ， O E 平 分 ∠AOC,OF平分∠BOC.
【 模 型 ② 】
【条件】点O在直线
A B 上 ， O E 平 分 ∠ A O C , O F 平 分 ∠BOC.
【结论】∠EOF=90°
【 结 论 】
模 型 7 蝴 蝶 模 型
模 型 8 补 角 模 型
模 型 1 1 三角形中的双角平分线问题
模 型 9 飞 镖 模 型
模 型 1 0 折 角 模 型
【 图 形 】
【条件】AB与CD交于点E,∠B=∠C. 【结论】∠A=∠D
【 图 形 】
【条件】∠B+∠D=180° . 【结论】∠A=∠1
【 图 形 】
【结论】①∠1=∠A+∠B;
②∠BDC=∠1+∠C;
③∠BDC=∠A+∠B+∠C
【 图 形 】
【条件】折叠∠C与∠C′重合. 【基本结论】
①∠CDE=∠C'DE;
②∠CED=∠C'DE;
③∠1+∠2=2∠C
模型①
(双内角平分线)
模型②
(双外角平分线)
模型③
(内外角平分线)
模型④
(对顶三角形双内角平分线)
图形
结论
模型12 A 力坐标与平移
模型13 A 特殊点的坐标
模型三 平行线相关模型
模型14 过拐点作平行线 — — 猪蹄模型
模型15 过拐点作平行线——铅笔头模型(难)
点的平移与坐标变化的规律：
y (x,y+a)
上a
(x-ay) 左a(x,y)右 a (x+a,y)
0 下a →x (x,y-a)
点(x,y)向右平移a个单位长度→ (x+a,y)
点(x,y)向左平移a个单位长度→ (x—a,y) 点(x,y)向上平移a个单位长度→ (x,y+a)
点(x,y)向下平移a个单位长度→ (x,y—a)
模型①坐标轴上的点
①点P(x,y)在x轴上⇔y=0. ②点P(x,y)在y轴上台x=0. ③点P(x,y)不在坐标轴上台 x≠0且y≠0
模型②平行于坐标轴 的直线上的点
①AB//x轴⇔yA=yB.
②AC//y轴⇔xA=xc
A(%x)y B(xB,yB)
0 x C(x₂)
模型③象限角平分线上的点
①点P(x,y)在第一、三象限角平 分线上⇔x=y.
②点P'(x,y)在第二、四象限角平 分线上⇔x+y=0
【 模 型 ① 】
【条件】AB // CD.
【辅助线】过点P 作PE//AB .
【结论】①PE// CD;
②∠1=∠B,∠2=∠C;
③∠BPC=∠B+∠C
C
【 模 型 ② 】
【条件】AB//CD.
【辅助线】作PP₁//AB,EE₁// AB,FF₁//AB.
【结论】∠P+∠F=∠B+∠E+ ∠C.
【推论】向左的角的和=向右的角的和(两平行线间拐点 个数不限).
【 模 型 ① 】
【条件】AB//CD. 【辅助线】作PE// AB.
【结论】①PE // CD;
②∠B+∠1=180°,
【 模 型 ② 】
【条件】AB//CD.
【辅助线】作P₁E₁//AB, P₂E₂//AB.
【结论】①P₁E₁//P₂E₂//CD; ②∠B+∠P₁+∠P₂+∠C=
180°×3;
∠C+∠2=180°;
③∠B+∠C+∠BPC=180°×2
③若有m个拐点P₁,P₂,…,Pm,则∠B+∠P₁+…十 ∠Pm+∠C=180°×(m+1)
模型16 A 过拐点作平行线——乌鸦嘴模型
模型17 AA 已知顶点坐标求多边形的面积
模型18 A 等面积法
模 型 四 与中点有关的模型
模型19 A“三线合一”(已知等腰三角形底边上的中点，联想到“三线合一”的性质)
【 模 型 ① 】
【条件】AB//CD.
【结论】∠D=∠B+∠E.
【拓展】∠D=∠B+∠E,则 AB//CD
【 模 型 ② 】
【条件】AB//CD.
【结论】∠B=∠E+∠F
【模型①】 一边在坐标轴上
OB=|-4|=4,h= 6 ,
↑y A(-8,6)
h
B(-4,0)⁰
【模型②】补形法
S△AB=S长方形OEPF-S△OAE-S△OFB-S△ABP =4.
y↑
E A(1.3p
B(3,1)
0 F x
【模型③】分割法
方法1分割成三角形+梯形
S四边形QACB=S△ACD+S四边形ODCB
方 法 2 转 化 为 三 角 形
S△ABC=S四边形QAcD-S△BCD-S△OAB
【 模 型 ① 】
【基本结论】 ①ah₁=bh2;
【模型②】角平分线与等面积法 【条件】∠B=90°,∠1=∠2.
【 辅 助 线 】 过 点 D 作 D E ⊥ A C 于 点 E.
【结论】DE=DB,
S△ABC=S△CDA+S△CDB, AB ·BC=AC ·DE+BC ·DB
已知
图形
结论
A B = A C , D 为 B C 的 中 点
①BD=CD;
②∠BAD=∠CAD;
③AD⊥BC
模型20 斜边上的中线(见直角三角形斜边上的中点，作中线)
模型21 力人构造中位线(三角形中遇到中点，构造三角形的中位线)
模型22 倍长中线、类中线[已知一边上的中点(中线或与中点有关的线段),考虑倍长(类)中线法
构造全等三角形]
模型五 全等三角形模型
模型23 A 平移模型
已知
图形
结论
∠C=90°,D为AB的中 点
已知
图形
结论
D为AB的中点， E为AC 的中点
A B 的 中 点 为 D , 过 点 D 作DE//BC .
E 为 A C 的 中 点 ， D E =
已知
图形
结论
AD是△ABC的中线，延 长 A D 到 点 E , 使 得 D E = A D , 连 接 B E
△ACD≌△EBD
四边形ABCD中， AD// BC, E是CD的中点，延 长 A E 交 B C 的 延 长 线 于 点F
△ADE≌△FCE
A
考虑：△ABC≌△EFD.
结论： AE=BF,CB//DF,AC//DE
模型24 A 翻折模型
模型25 AA 一线三等角全等模型
模型26 A A 三垂直全等模型
【条件】△ABC沿AB对折与
△ABD重合.
【结论】△ABC≌△ABD
【条件】△ABC≌△BAD. 【结论】△ADE≌△BCE
【条件】△ABC≌△EDC.
【结论】对应角相等，对应边 相等；△ADF≌△EBF
【模型①】同侧一线三等角
【条件】∠A=∠B=∠CPD, PC=PD,点A,P,B 共线 .
【结论】△ACP≌△BPD,AB=AC+BD
【模型②】异侧一线三等角
【 条 件 】 ∠ D P C = ∠ D B A = ∠ E A C , P D = PC.
【结论】△BDP≌△APC,AB+AC=BD
【模型①】 一线三垂直型
【条件】∠B=∠C=∠AED =90°,AE=DE.
【结论】△ABE≌△ECD, BC=BE+EC=AB+CD
【模型②】三个直角不在同一直线 上
【条件】∠ABE=∠C=∠AFB= 90°,AB=BC.
【结论】△ABE≌△BCD, BC=AB=CD+EC
【模型③】直角坐标系下的三 垂直模型
【 条 件 】 ∠ A O C = ∠ A C B = ∠90°,AC=BC,OA=m,OC
=n.
【方法】过点B作BDLy轴于 点 D .
【结论】△AOC≌△CDB, B(n,m+n)
模型27 AA 手拉手全等(共顶点的等腰三角形)
模型28 A 六 手拉手全等(正方形)
模型29 A 手拉手全等(半角模型)
【模型①】共顶点的等腰三角 形
【条件】AB=AB′, AC=AC′
∠1=∠2.
【结论】△ABC≌△AB′C′, BC=B'C′,∠BOB′=∠1,
OA平分∠BOC′
【模型②】共顶点的等边三角形
【 条 件 】 等 边 △ A B D , 等 边
△BCE,A,B,C共线.
【结论】△ABE≌ DBC,AE= DC,GF//AC,△BGF是等边三 角形
【模型③】共顶点的等腰直角 三角形
【 条 件 】 ∠ A D C = ∠ E D G = 90°,AD=DC,DE=DG,
【结论】△ADG≌CDE,AG= CE,AG⊥CE
【模型①】两正方形共顶点
【模型②】一正方形的顶点在另一正方形的 中心处
【条件】正方形ABCD和正方形ECGF
【结论】△BCE≌DC G,BE=D G且BE⊥D G
【条件】正方形ABCD和正方形OEFG,点O 为对角线BD的中点.
【结论】△OBM≌△OCN,△ODC≌△OCM;
三 角 形 半 角
在等腰直角三角形ABC中， 点D, E在边BC上，∠DAE= 45°
将△ABD绕着点A逆时针旋转 90°到△ACF,则
(1)△ABD≌△ACF;
(2)△ABE≌△ACD;
(3)DE²=BD²+CE²;
(4)△ADE≌△AEF
(难)
正 方 形 半 角
在正方形ABCD中，连接BD, 点 E 在 边 B C 上 ， 点 F 在 边 D C 上 ， ∠ F A E = 4 5 ° , A H I E F 于 点 H
将△AFD绕着点A顺时针旋转 90°到△AGB,则
(1)△AFD≌△AGB;
(2)AH=AB;
(3)DF+BE=EF;
(4)MN²=BM²+DN²
模型30 AA 角平分线的性质与判定
模型31 A 角平分线模型(作垂线构造全等)
角平分线的性质
图形
角平分线的判定
【条件】如图， CP平分∠ACB,PF ⊥AC,PE⊥BC.
【结论】PE=PF
【条件】PE⊥BC, PF⊥AC,且 PE=PF.
【结论】PC平分∠ACB
【模型①】作单垂线
【条件】∠1=∠2,∠B=90° .
【方法】作DE⊥AC.
【结论】DE=DB,△CDB≌△CDE, AC: BC= AD:BD
【模型②】作双垂线(难)
【条件】∠1=∠2 .
【方法】作DE⊥AB, DF⊥AC. 【结论】△ADE≌△ADF,
【模型③】角平分线+互补型
【条件】∠1=∠2, CE⊥AB,∠B+∠3=180°.
【方法】作CF⊥AD于点F.
【结论】△CEB≌△CFD, AE - BE=AD, AB+ AD=2AE,AB-AD=2BE
【模型④】延长垂线法
【条件】∠1=∠2,∠3=90° . 【方法】延长AP交OB于点B. 【结论】△OPA≌△OPB
【模型⑤】直角梯形作高法
【条件】∠C=∠D=90°,∠1=∠2,∠3=∠4. 【方法】作EF⊥AB.
【结论】△EAF≌△EAD,△EBF≌△EBC,
【模型⑥】过角平分线上点作垂线法(难)
【条件】BP平分∠ABC;
AP平分∠BAC的外角；
CP平分∠ACB的外角.
【方法】作PE⊥BA于点E,作PF⊥AC于点 F , 作 P M ⊥ B C 于 点 M .
【结论】PE=PF=PM
EC=ED=EF,∠AEB=90°,
模型32 角平分线模型(截长补短法)
模型33 A 平行法构造等腰三角形
【模型①】截长补短法
【条件】∠1=∠2 .
【方法】截取OB=OA,连接BP. 【结论】△OPA≌△OPB
【模型②】截长补短(互补型)
【条件】∠1=∠2,∠B+∠3=180° .
【结论】①若截取AE=AD,则△ACE≌△ACD.
②若延长AD到点F,使得AF=AB,则△ACF≌△ACB
【模型①】角平分线、平行线构造等腰
【条件】∠1=∠2, AC//OB. 【结论】△OAC是等腰三角形
【模型②】作底边的平行线构造等腰
C
【条件】AB=AC,作DE//BC. 【结论】△ADE是等腰三角形
【模型③】作腰的平行线构造等腰
【模型④】外角平分线平行对边得等腰
【条件】∠1=∠2, AD//BC. 【结论】△ABC是等腰三角形
【条件】AB=AC,作DE//AC. 【结论】△BDE是等腰三角形
【模型⑤】倍长直角边法
【条件】∠ACB=90° .
【辅助线】延长BC,截取DC= BC.
【结论】AB=AD
【模型⑥】角平分线 →截长补短法
【条件】∠1=∠2,
【辅助线】截AE=AB,连接DE. 【结论】AC=AB+CD
【模型⑦】倍长中线法
【条件】∠1=∠2, BD= CD.
【辅助线】延长AD,使DE =AD,连接BF .
【结论】AB=AC=BE
模 型 34 A 构造“三线合一”
模型35 巧用45°角构造等腰直角三角形
模型36 A 巧用60°角构造等边三角形
【模型①】“三线合一 ”
【条件】AB=AC,∠1=∠2. 【结论】AD⊥BC, BD=CD
【模型②】连中线构“三线合一 ”
【条件】AB=AC, DB=DC . 【辅助线】连接AD.
【结论】AD⊥BC,∠1=∠2
【模型③】连腰构“三线合 一 ”
【条件】I垂直平分BC. 【辅助线】连接PB, PC. 【 结 论 】 P B = P C , P D I BC,BD=CD,∠1=∠2
【模型①】由45°或90°构造
【模型②】作平行构造
45° 45°
已知∠A=45°, 已知∠C=90°, 作 B C ⊥ A C . 取 B C = A C .
【模型③】构造双等腰Rt△
【模型④】作垂线构造旋转全等
【条件】AB=AC,∠ADC=45°,∠BAC= ∠BDC=90°.
【辅助线】作EA⊥AD.
【结论】△AEC≌△ADB, CD=DE+BD
45°
45°
【模型①】由一个60°角构造
【条件】∠A=60° .
【辅助线】作∠B=60°或截取AC=AB,连接BC. 【结论】△ABC是等边三角形
【模型②】由含60°的Rt△构造
【条件】∠B=60°,∠1=90° . 【辅助线】作CD=CB,连接AD. 【结论】△ABD是等边三角形
模型37 A 巧用等边三角形构造等边三角形
模型38 A构造30°角的直角三角形
【模型③】由2个60°延长构造
【条件】∠EBC=∠BCF=120° . 【辅助线】延长EB, FC交于点A. 【结论】△ABC是等边三角形
【模型④】由一边构造
【条件】线段AB .
【辅助线】取CA=AB, CB=AB . 【结论】△ABC是等边三角形
【基本图形】
【条件】等边△ABC. 【辅助线】BE=BD,
∠DBE=60°
【基本结论】
①∠1=∠2,△ABD≌△CBE;
②△BDE是等边三角形；
③∠3=60°,CE//AB;
④CB平分∠ACE;
⑤BC=DC+CE
【模型①】30°作高构造
【模型②】等边三 角形作高构造
【模型③】60° 作高构造
【模型④】双15°延长作高构造
【模型⑤】延长模型
【条件】四边形ABCD中，∠B= ∠D=90°,∠A=60°.
【辅助线】延长BC与AD的延长 线交于点E.
【结论】∠E=30°,∠CDE=90°, 当CB=CD时， AC平分∠BAD
【模型⑥】双30°Rt△
【条件】∠ABC=∠ADB =90°,∠C=30°.
【结论】AB=2AD, BD= 3AD,AC=2AB=4AD
【模型⑦】30°Rt△+45°Rt△ 【条件】∠A=∠30°,∠B=45° . 【辅助线】作CD⊥AB.
【结论】CD=BD, AC=2CD, BC=/2CD
模型六 相似模型
模型39 A六A型相似模型
模型40“8字型”相似模型
模型41 AA一线三等角相似模型
模型42 射影定理
A字型
反 A 型
双割线型
【条件】DE//BC.
【 结 论 】 △ A D E △ A B C
【条件】∠AED=∠B或∠ADE =∠C.
【结论】△AEDO△ABC
【条件】A, B,C,D是⊙0 上的点.
【结论】△PAC△P DB, PA ·PB=PC ·PD
8字型
仅 8 型
相交弦型
【条件】AB//CD.
【结论】△AOB∽△DOC
【条件】∠A=∠C.
【结论】△AOB△COD
【条件】弦AB与CD交于点E.
【结论】△ACE △DBE, EA · EB= EC ·ED
【模型①】同侧
【条件】点B, C,D共线，∠B=∠C=∠ADE=a . 【结论】△ABD∽△DCE
【模型②】异侧
【条件】∠1=∠2=∠3.
【常考类型1】 α=45°
【常考类型2】 α=60°
【常考类型3】 α=90°(同侧)
【常考类型4】 α=90°(异侧)
× /45°
45° 45°
【基本图形】
【条件】BD是Rt△ABC的高
【基本结论】
①图中3个直角三角形两两相似；
②BD²=DA ·DC, AB²=AD ·AC,
CB²=CD ·CA;
③等面积法AB · BC=AC · BD
【基本方法】 ①等量代换；
② 相 似 三 角 形 的 判 定 (AA)
模型43 A 旋转型相似(一转成双)
模型44 A对折型相似
培优模型七 与四边形相关的模型
模型45 A平行四边形的角平分线
模型46入A矩形的性质
【基本图形】
【条件】△ADE∽△ABC,△ADE绕点A旋转
【基本结论】①△AD′E'c△ABC;
②△ABD' △ACE′,且相似比
【条件】在等边△AOB中，△ACD
沿着直线CD折叠，点A恰好落在 OB上与E点重合 .
【结论】△COE∽△EBD
【模型①】平行四边形的角平分线 【条件】□ABCD,BE平分∠ABC.
【结论】∠1=∠2=∠3;AB=CD=AE.
【拓展】延长BE与CD的延长线交于点F,则DE =DF
【模型②】对角平分线模型
【条件】□ABC D,AE平分∠BAD,CF平分 ∠BCD.
【结论】∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6, BA=BE=DC=DF,AE=CF
【模型③】邻角平分线模型
【条件】OABCD,∠1=∠2,∠3=∠4. 【结论】∠5=90°, GB²+GC²=BC²; AB=AF=DC=DE;
EF=2AB—AD
【模型①】矩形对角线的垂直平分线
【条件】矩形ABCD,O为AC的中点， OE⊥AC. 【辅助线】连接EA.
【结论】①OA=OB=OC=OD;
②OE垂直平分AC;
③EA=EC;
④AB²+BE²=(BC—BE)²
【模型②】矩形对折
【条件】沿AC对折矩形ABCD,点B与B'对 应 .
【结论】①△ABC≌△AB'C,△AB'E≌
△CDE;
②EA=EC;
③ C D ² + D E ² = ( A D 一 DE)²
模型47 A 含60°的菱形
模型48 正方形的性质
模型(1) 正方形的对称模型
模型(2) 正方形翻折模型
模型(3) 正方形中的十字架模型
【模型①】120°夹60°(一)
【条件】菱形ABCD,∠A=∠EDF=60°. 【辅助线】连接BD.
【结论】①△BDE≌△CDF, △ADE≌△BDF;
②等边△ABD,等边△BDC,等边△EDF;
③AB=BE+BF;
④S四边形EBED=S△ABD
【模型②】120°夹60°(二)
【条件】菱形ABCD,∠A=∠EDF=60°,E,F分 别在AB,BC的延长线上.
【辅助线】连接BD.
【 结 论 】 △ D B E ≌ △ D C F , 连 接 E F , 得 等 边
△DEF
A
【条件】正方形ABCD中，AC是对角线，点E在 A C 上 .
【结论】△ADE≌△ABE,△CDE≌△CBE
【条件】正方形ABCD中， CE=CF.
【结论】△CDF≌△CBE,△GDE≌△GBF.
已知
基本图形
结论
在 正 方 形 A B C D 中 ， 点 E 在 边 C D 上 ， 且 C D = 3 D E , 点 G 在 边 B C 上 ， 将
△ A D E 沿 A E 对 折 至 △ A F E , 将 △ A B G 沿AG对折至△AGF, G, F, E三点共线， 连 接 A G , C F
(1)BG=CG;
(2)AG//CF;
(3)S△EGc=S△AFE;
(4)∠AGB+∠AED= 135°
【模型①】基本图形
【条件】正方形ABC D, AE⊥BF于点 H.
【结论】AE=BF, S△ABH=S四边形DEHF
【模型②】基本图形(难)
【条件】正方形ABCD,A′E'⊥B'F'.
【辅助线】作AE//A'E′, BF//B′F'.
【结论】①四边形AA′E'E, BFF'B′是平行四边形；
②AE=A'E'=BF=B'F'
模型49 翻折周长定值模型(难)
培优模型八 圆的相关模型
模型50 A 圆的基本性质
模型51 人 圆中直角三角形(直径为斜边)
【模型①】等腰直角三角形
【模型②】正方形
【模型③】含60°的菱形
【条件】点D为等腰直角三角形 ABC斜边上的中点，点E是BC
边上的一点，将△BDE沿着DE
翻折，使得B′E与AC相交于点 F.
【结论】△CEF的周长等于BC
【条件】将正方形沿着EF折叠， 点B落在AD边上的B′处，点C
落在C′处，B'℃′与CD交于点G.
【结论】△DB'G的周长等于2AB
【条件】菱形ABCD中，
∠A=120°,将菱形沿着 E F 折 叠 ， 点 C 落 在 A B 边上的C′处，点D落在
D′处，C′D'与AD交于点 G.
【结论】△AC′G的周长等 于 A B .
半径构等腰
【条件】OA=OB.
【 结 论 】 ∠ A = ∠ B , △ O A B 是 等 腰 三 角 形
圆内接四边形
【条件】四边形AB- C D 是 ◎ O 的 内 接 四 边形 .
【结论】∠A=∠DCE
切线长定理
【 条 件 】 P A , P B 是
◎O的切线.
【结论】PA=PB, OP 平分∠AP B
“弦切角”模型
【 条 件 】 C D 是 ◎ O 的 切 线 .
【结论】∠A=∠BCD.
【基本图形】直径 →90°圆周角 【条件】AB为直径 .
【辅助线】连接BC. 【基本结论】
∠C=90°
【基本图形】90°圆周角 →直径 【条件】圆周角∠C=90° .
【辅助线】连接AB.
【基本结论】AB为◎O直径， AB的中点是圆 心
模 型 5 2 人 垂径定型及推论
模 型 53 A 垂径定理与方程
垂径定理
【条件】直径CD垂直于弦AB. 【基本结论】
(1)AE=BE,(2)OA²=OE²+AE²;
(3)AC=BC;AD=BD;(4)BE²+CE²=BC².
常作辅助线：①连接半径OA.
②过圆心O作OE⊥弦AB于点E .
垂径定理的推论 【条件】EA=EB.
【结论】CD⊥AB, CA =CB,
DA=DB
【基本图形】
【条件】直径BC⊥AD
【基本结论】①OE²+AE²=OA², AE²+BE²=AB²,
AE²+CE²=AC²; ②AE²=OA²-OE² =AB²-BE²
=AC²-CE²
【基本方法】
抓住AE是三个直角 三角形的公共边来 列方程
模型54
AA
圆与全等三角形常考模型
模型55 AA 圆中相似三角形常考模型
C
【条件】AD, CD, BC是◎O的切 线 .
【结论】△AOD≌△EOD,
△BOC≌△EOC
【条件】OC=OD.
△PAD≌△PBC
【 条 件 】 A D ⊥ O E , E B I OA.
【结论】△AOD≌△EOB, △ABD≌△EDB
A 型
反 A 型
双垂直结构
【 结 论 】 △ A C O △ A D B
【 结 论 】 △ A C O △ A B D , DB=DC
【结论】CD²=AD · DB, AC²=AD ·AB,
CB²=BD ·AB
弦切角模型
相交弦模型
双割线模型
【条件】BC为◎O的切线， AB 是直径.
【结论】BC²=CD · CA, BD²=AD ·CD,
AB²=AD ·AC
【结论】△CAP∽△BDP, PC ·PD=PA ·PB
【结论】△CE G△CH F, CE ·CF=CG ·CH
模型46
A 与圆有关的阴影部分面积模型
方法一：直接法
长) .
方法二：和差法
C
B
S阴影=S△ABD-S扇形ABP
S阴影=S△ABO-S形OCD
S阴影=S△BOD+S扇形OCD
S阴影=S△Dc-S扇形ODE
S阴影=S扇形QAB-S△OAB
S阴影=S△Pc+S扇形OPB-S扇形OCD
方法三：割补法
模型57 AA 圆周角与圆内接四边形
模型 58 六 A 平分90°圆周角(在2022年广东省卷考查)
模型59 A 平分120°圆周角，平分外角
S△CDp=S△CD,S阴影=S扇形CCD
S阴影=S扇形CDP
△ A B C 绕 B 旋 转 到 △ E B D
△OED≌△PEB,S阴影=S扇形OPD
S阴影=S扇形BAE一S扇形BCD.
【基本图形】
【条件】点A, B,C,D共圆，点E在CB的延长线上.
【基本结论】
③∠3=∠4;
【基本图形】
【条件】AB是◎O的
直 径 ， C D 平 分 ∠ACB
【基本结论】
①∠ACB=∠ADB=90°;
②∠1=∠2=∠3=∠4=45°;
③AD=BD;
④AD=BD,等腰直角△ABD,△OBD,△OAD;
⑤AC²+BC²=AD²+BD²=AB²;
⑥CA+CB=2CD;
【基本方法】
①勾股定理；
②构造全等，构造正 方 形 ；
③等角对等边
【基本图形】
条件：∠APB=120°,PC平分 ∠APB
【基本结论】
①∠ABC=∠BAC=60°;
②等边△ABC;
③PA+PB=PC
【基本方法】
在 线 段 P C 上 截 取 P D = P A 得 等 边 △ P A D , 证
△PAB≌△DAC
模型57 AA 圆周角与圆内接四边形
模型 58 六 A 平分90°圆周角(在2022年广东省卷考查)
模型59 A 平分120°圆周角，平分外角
S△CDp=S△CD,S阴影=S扇形CCD
S阴影=S扇形CDP
△ A B C 绕 B 旋 转 到 △ E B D
△OED≌△PEB,S阴影=S扇形OPD
S阴影=S扇形BAE一S扇形BCD.
【基本图形】
【条件】点A, B,C,D共圆，点E在CB的延长线上.
【基本结论】
③∠3=∠4;
【基本图形】
【条件】AB是◎O的
直 径 ， C D 平 分 ∠ACB
【基本结论】
①∠ACB=∠ADB=90°;
②∠1=∠2=∠3=∠4=45°;
③AD=BD;
④AD=BD,等腰直角△ABD,△OBD,△OAD;
⑤AC²+BC²=AD²+BD²=AB²;
⑥CA+CB=2CD;
【基本方法】
①勾股定理；
②构造全等，构造正 方 形 ；
③等角对等边
【基本图形】
条件：∠APB=120°,PC平分 ∠APB
【基本结论】
①∠ABC=∠BAC=60°;
②等边△ABC;
③PA+PB=PC
【基本方法】
在 线 段 P C 上 截 取 P D = P A 得 等 边 △ P A D , 证
△PAB≌△DAC
模型60 A 圆中等腰图
模型61 A 等腰切线图
【基本图形】
条件：AB为⊙O直径， CD平分∠BCE
【基本结论】
①∠ECD=∠DCB=∠DAB =∠DBA=45°;
②等腰直角△DAB,△DCF;
③BC=AC+/2CD
【基本方法】
在 线 段 B C 上 截 取 B F = AC,证△CAD≌△FBD,再
证△DCF是等腰直角三角 形
【基本图形】两腰为弦
条件：AB=AC
【基本结论】
①AB=AC;
②AD垂直平分BC;
④∠P=∠BAC=∠DOC;
⑤△OAC≌△OAB,△ADB≌△ADC;
⑥CD²=OC²-OD²=AC²—AD²
【基本方法】 ①勾股定理；
②垂径定理；
③中位线定理
【基本图形】腰为直径
锐角图 钝角图 条件：AB=AC,AB是直径
【基本结论】
①AD垂直平分BC; ②∠BAD=∠CAD=∠DBE= ∠BED;
③BD=DE,∠BEA=90°;
④BD=CD=DE,点B, C, E共圆；
⑤BC ·AD=AC ·BE
【基本方法】
①勾股定理；
②圆周角定理；
③等面积法
【基本图形】
【基本结论】
①BD=DE;
②∠ADB=∠AEB=90°;
③DB=DC=DE;
⑤BC ·AD=AC ·BE;
⑥ 矩 形 D F E H
【基本方法】 ①勾股定理；
②等面积法；
③构造矩形；
④中位线定理
锐角图 钝角图
条件： AB=AC, AB是直径， DF是
◎O的切线
模型62 六切割图(教材母题研究)
模型63 A 双切图(教材母题研究)
模型644人三切图(教材母题研究)
模型65 A 内(外)心图(教材母题研究)
【基本图形】 条件：AC平分 ∠BAD,
A B 是 直 径 ， AD⊥CD,
OF⊥AD, CH⊥AB
【基本结论】
①∠1=∠2=∠ACO=∠BCH=∠DCE;
②CD是◎O的切线；
③CE=CB;
④△ACD≌△ACH,△CDE≌△CHB;
⑤矩形OFEG,矩形GEDC,矩形OF DC;
⑥OF=GE=CD=GB=HC
【基本方法】 ①勾股定理； ② 中 位 线 定 理 ；
③构造矩形， 构造全等；
④垂径定理
【基本图形】
条件： PA, PB是◎O的切 线
【基本结论】
①PA=PB;
②∠OAP=∠OBP=∠AFP=90°, ∠1=∠2=∠3=∠4=∠DBE;
③AC=BC,FA=FB;
垂直平分AB;
⑤点C是△ABP的内心
【基本方法】
①切线长定理；
②中位线定理；
③勾股定理；
④等面积法
【基本图形】
【基本结论】
①DA=DE,CE=CB;
CD=AD+BC,CF=BC-AD;
③矩形A BFD;
④CF²+DF²=CD²;
⑤OA²=AD ·BC
【基本方法】
①构造矩形，构造直角三 角 形 ；
②等面积法；
③勾股定理；
④切线长定理
C
条件： AD,BC,CD与⊙O相切， AD//BC.
【辅助线】作DF⊥BC于点F
【基本图形】
条件：点O是△ABC的外心(三边垂 直平分线交点);
点P是△ABC的内心(三条角平分线 的交点)
【基本结论】
①∠1=∠2=∠3=∠4, ∠DAP=∠DPA;
② D A = D B = D P ( 点 A , P , B 共 圆，圆心为点D,半径为DA);
【基本方法】
①等角对等边；
② 全 等 ；
③勾股定理
模型66 在多点共圆的条件
模型67 定弦定角(辅助圆与最值)(难)
模型68 A 点到圆的“距离”(“穿心线”)
模型 69 圆对折
【共圆模型1】
条 件 ： O A = O B = O C = OD.
结论：点A,B,C,D共圆， 圆心为点O,半径为OA
【共圆模型2】
条件：四边形ABCD中，∠A+ ∠C=180°.
结论：点A,B,C,D共圆，任意两 边垂直平分线的交点O是圆心， 半 径 为 O A
【共圆模型3】
两个共斜边的直角三角形的顶 点共圆
【定弦定理角模型】
(定弦定角)如图，在△ABP中，点A,B均为定点，点P 为平面内一动点，且∠APB=α为定值，则点P在以AB 为弦的圆弧上运动
P(动点)
α/
A(定点) B(定点)
【 推 论 】
如图，在△ABP中，点A,B均为定点， 点P为平面内一动点，且∠APB=90°, 则点P在以AB为直径的圆上运动
【基本图形】
条件：点P在◎O外，连接PO交◎O于点A,延长PO 交◎O于点B
【基本结论】
PA最短，PB最长，即PA≤PC≤PB
【基本图形】
【条件】将⊙O沿弦AB折叠，圆 弧 恰 好 经 过 圆 心 O , 点 P 是 弧 ACB上一点
【基本结论】 ∠APB=60°
模型70 “胡不归”与最值问题(※)(难)
模 型 7 1 “费马点”模型(※)(难)
模 型 72 阿基米德折弦定理(※)(难)
模型分解
【模型建立】
如图，点A为直线MN上一定点，点B为直线MN外一定点，点C为直 线MN上一动点，请确定点C的位置使BC+kAC(≤k