辽宁省葫芦岛市2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷(含解析)

这是一份辽宁省葫芦岛市2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列式子中，一定是二次根式的为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则的值为（ ）
A．B．C．10D．
3．如图是三个正方形和一个直角三角形，图形A的面积是( )

A．225B．144
C．81D．无法确定
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．化简二次根式的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A．2﹣1B．2C．2.8D．2+1
7．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．3cmB．5cmC．6cmD．8cm
8．已知，，则代数式的值为（ ）
A．9B．C．3D．5
9．在中，于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
10．数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、填空题
11．若式子有意义，则的取值范围是 ．
12．已知、、是的三边长，化简 ．
13．若直角三角形的两直角边长分别为6，12，则该直角三角形的斜边上的高为 ．
14．对于有理数和，定义了一种新运算：，例如，则为 ．
15．如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，又被成为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，能够通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明勾股定理，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．因此这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽．现已知小正方形的面积为8，每个直角三角形的面积都比小正方形的面积小1，则每个小直角三角形的周长为 ．
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)
17．先化简再求值：
(1)，其中．
(2)已知，求的值．
18．如今，春节团聚坐高铁或火车长途出行，是一件很普便的事情．而进出火车站经常要刷身份证过闸机，如图是火车站通道闸机的示意图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，连接，并向两边延长，分别交，于点，．若，，求闸机通道的宽度．
19．由，可知，则的整数部分为3，小数部分为．
(1)的整数部分为 ，小数部分为 ．
(2)的整数部分为，小数部分为，求的值；
(3)已知与的小数部分分别为，且求的值；
20．如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点与点重合，点与点重合，若，求：
(1)求的长；
(2)求阴影部分的面积．
21．【发现】
我们将称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是二次根式除法可以这样解：如，像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
【应用】
(1)的对偶式是 ，分母有理化得 ．
(2)①计算：
②已知：，求的值．
22．综合与实践
【情景再现】
如图，在中，分别是上的一点，则可知三条线段之间的关系．
【问题提出】
（）是的中点，连接．已知．试说明，四条线段的等量关系，并写出证明过程．
【数学感悟】
（）如图，若分别在的延长线上，（）中的结论是否成立，若成立，请写出理由；若不成立，请写出正确的结论．
【学以致用】
（）如图，已知是的中点，，请直接写出线段的长度．
23．【问题提出】
勾股定理是直角三角形一个非常重要的性质，有着及其广泛的应用，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁．因此勾股定理与动点、方程、几何图形等结合就可以进行相应的数量计算．
在中，，
【新知初探】
（1）如图1，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点运动，连接．当点运动 秒时，．
【类比分析】
（2）如图2，当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动的时间为．
①当为等腰三角形时，求的值；
②当为直角三角形时，求的值；
【学以致用】
（3）如图2，当点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为．若点恰好在的平分线上，求的值．
《辽宁省葫芦岛市2024--2025学年下学期八年级第一次月考数学试卷 》参考答案
1．C
解：A、不是二次根式，故本选项不符合题意；
B、当时，则它无意义，故本选项不符合题意；
C、由于，所以它符合二次根式的定义，故本选项符合题意；
D、当时，它无意义，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．D
由题意可得：，
解不等式，得；
解不等式，得．
所以．
把代入，
，
那么，
故选：D．
3．C
如图所示：

根据题意得：∠BCD=90°，BD2=225，CD2=144，
∴BC2=BD2-CD2=81，
∴图中字母A所代表的正方形面积=BC2=81；
故选：C．
4．C
解：A、，原计算错误，不合题意；
B、，原计算错误，不合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不合题意；
故选：C．
5．A
解：由题意得，，
，
故选：A．
6．A
解：由题意得，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
即，
∴，
∴，
即点D表示的数为：，
故选A．
7．D
当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：，
则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：18−15=3(cm)；
当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度为18−12=6（cm），
即铅笔在笔筒外面最长不超过6cm，
所以铅笔露出笔筒部分的长度不短于3cm，不超过6cm．
所以前三项均符合题意，只有D选项不符合题意；
故选：D．
8．C
解：∵，，
∴，，
∴，
故选：C．
9．C
解：如图：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
10．B
如图所示，
可看作两直角边分别为和1的的斜边长，
可看作两直角边分别是和2的的斜边长．
∴求的最小值即求的最小值，
当与共线时，为最小，即的长．
连接，
∵，，
∴，
∴代数式的最小值是5．
故选：B．
11．
解：∵式子有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
12．
解：由三角形的三边关系知：，，
∴
．
故答案为： ．
13．/
解：∵直角三角形的两直角边长分别为6，12，
∴斜边长为，
设斜边上的高为
由题意得，
∴，
故答案为：．
14．/
解：由题意得：，
故答案为：．
15．14
设直角三角形的两直角边分别为a、b，且斜边为c，
由题意可得
由①得，，
∴③，
由②得，，
把代入③，得，
由勾股定理，知，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴直角三角形的周长为：．
故答案为：14．
16．(1)
(2)
（1）解：
=
=
（2）
17．(1)，
(2)
（1）解：
=
=
=
当时，原式；
（2）解：由，可知，，
则，
原式．
18．闸机通道的宽度为
解：由对称可知，且，，
的长度就是闸机的宽度．
，
，
在中，，
，
解得：（负值舍去），
．
答：闸机通道的宽度为．
19．(1)4，
(2)
(3)或
（1）∵，即，
∴的整数部分为4
∴的小数部分为．
（2）∵即，
∴的整数部分为1，
∴的小数部分为．
∴，，
∴．
（3）已知与的小数部分分别为，
∵，
∴，
∴的整数部分为10，小数部分为，
∵，
∴，
∴的整数部分为，小数部分为，
∴，， ，
，或．
20．(1)
(2)阴影部分的面积为
（1）解：由折叠可知，
设，则，
在中，，
，
解得：，
；
过点作于，则，
在中，
，由勾股定理：，即，
．
，
，
，
；
（2）解：过点作于，
，
，，
，
，
．
21．(1)，
(2)①；②
（1）解：的对偶式是，分母有理化得：；
故答案为：，；
（2）解：①
；
②∵，
∴，
，
．
22．（），理由见解析；（）成立，理由见解析；（）
解：（），证明如下：
延长到点，使，连接，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（）成立，理由如下：
延长到，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（）∵，
∴，
设，则，
∵是的中点，，
∴，
∴，
解得，
∴．
23．（1）；（2）①当为等腰三角形时，的值为5或8或；②当为直角三角形时，的值为或4；（3）的值为或．
解：（1）∵在中，，
∴，
设，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴，
∴点运动秒时，．
故答案为：；
（2）①当时，则，
解得；
当时，则，
解得，；
当时，由（1）得，
∴，
解得；
综上，当为等腰三角形时，的值为5或8或；
②当，，，
在中，由勾股定理得，
在中，，
∴，
即，
解得；
当，则P与C重合，则，
解得；
综上，当为直角三角形时，的值为或4；
（3）如图，作，
∵点P恰好在的平分线上，，
∴，
∴，
∴，，
由题意得，，
由勾股定理得，解得；
当点P运动到点A时，也在角平分线上，此时，．
综上，的值为或．