初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）16.3.1 平方差公式课前预习ppt课件

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）16.3.1 平方差公式课前预习ppt课件，共45页。PPT课件主要包含了逐点导讲练，课堂小结，作业提升，课时讲解，课时流程，知识点，平方差公式，知1－讲，知1－练，知2－讲等内容，欢迎下载使用。
平方差公式完全平方公式添括号
1. 平方差公式的推导(1)代数运算证明法：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝ a2－b2 .
(2)几何图形证明法：图16.3－1 ①中阴影部分的面积为a2－b2，把它分割并拼接成图16.3－1 ② 中的长方形，长为(a＋b)，宽为(a－b)，故阴影部分的面积为(a＋b)(a－b). 故(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
2. 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
3. 平方差公式的几种常见变化及应用
特别解读1. 公式的特征：(1)等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.(2)等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.2. 平方差公式中的a，b既可以代表一个单项式，也可以代表一个多项式.
易错警示平方差公式的右边是平方差，不是差的平方，不要把a2－b2与(ab)2混淆.
计算：(1)(5m－3n)(5m＋3n)；(2)(2x＋y)(－2x＋y)；(3)(－3y－4x)(3y－4x)；(4)(2a－3)(2a＋3)(4a2＋9)；(5)(－x＋1)(x＋1)－(x－3)(3x＋1)
解题秘方：先确定公式中的“a”和“b”，然后根据平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2进行计算.
解：(1)(5m－3n)(5m＋3n)＝(5m)2－(3n)2＝25m2－9n2；(2)(2x＋y)(－2x＋y)＝(y＋2x)(y－2x)＝y2－(2x)2＝y2－4x2；(3)(－3y－4x)(3y－4x)＝(－4x－3y)(－4x＋3y)＝(－4x)2－(3y)2＝16x2－9y2；(4)(2a－3)(2a＋3)(4a2＋9)＝(4a2－9)(4a2＋9)＝16a4－81；(5)(－x＋1)(x＋1)－(x－3)(3x＋1)＝－x2＋1－(3x2－9x＋x－3)＝－x2＋1－3x2＋9x－x＋3＝－4x2＋8x＋4.
1－1. 下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是( )A. (a－1)(1－a)B. (－a＋2)(－a－2)C. (a＋2)(2＋a)D. (a－b)(－a＋b)
1－2. 若a＋b＝2，a－b＝1，则a2－b2＝______.
原式＝(2m)2－(3n)2＝4m2－9n2；
原式＝(－2y)2－x2＝4y2－x2；
(4)(3x＋2)(3x－2)(9x2＋4)；(5)(x＋5)(x－5)＋(x－3)(－3－x)．
解：原式＝(9x2－4)(9x2＋4)＝81x4－16；
原式＝x2－25＋9－x2＝－16.
解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式进行计算.
401 与399 的平均数为400
2 025 与2 027 的平均数为2 026
2－1. 运用平方差公式进行简便计算：(1)9.8×10.2；(2)1 007×993；
解：原式＝(10－0.2)×(10＋0.2)＝102－0.22＝100－0.04＝99.96；
原式＝(1 000＋7)×(1 000－7)＝1 0002－72＝1 000 000－49＝999 951；
原式＝(128＋1)×(128－1)－1282＝1282－12－1282＝－1.
1. 完全平方公式的推导：(1)代数运算证明法(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2 .
(2)几何图形证明法(数形结合思想)图16.3－2 ①：大正方形的面积为(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab；图16.3－2 ②：左下角正方形的面积为(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
2. 完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.语言叙述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2 倍.
特别提醒(a＋b)2 ≠ a2＋b2；(a－b)2 ≠ a2－b2.产生这种错误的原因是类比了(ab)2＝a2b2.
3. 完全平方公式的几种常见变形(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；(2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；(3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；(4)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；(5)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
特别解读1. 公式的特征：(1)公式的左边是一个二项式的完全平方；(2)公式的右边是一个三项式，其中两项分别是左边二项式的各项的平方，另一项是二项式各项的乘积的2 倍.2. 公式中的字母a，b可以表示具体的数，也可以表示含字母的单项式或多项式.
口诀记忆：首平方，尾平方，二倍乘积在中央，中央符号看前方.
计算：(1)(x＋7y)2； (2)(5b－4a)2；(3)(－2m－n)2； (4)(2x＋3y)(－2x－3y).
解题秘方：确定公式中的“a”和“b”，利用完全平方公式进行计算.
(1)(x＋7y)2； (2)(5b－4a)2；
解：(x＋7y)2＝x2＋2·x·(7y)＋(7y)2＝x2＋14xy＋49y2；
(5b－4a)2＝(5b)2－2·(5b)·(4a)＋(4a)2＝25b2－40ab＋16a2；
不能漏掉“2ab”项且符号与完全平方中的符号一致.
(3)(－2m－n)2； (4)(2x＋3y)(－2x－3y).
解：(－2m－n)2 ＝(2m＋n)2＝(2m)2＋2·(2m)·n＋n2＝4m2＋4mn＋n2；
(2x＋3y)(－2x－3y)＝－(2x＋3y)2＝－［(2x)2＋2·(2x)·(3y)＋(3y)2］＝－(4x2＋12xy＋9y2)＝－4x2－12xy－9y2.
两个二项式相乘，若有一项相同，另一项相反，则用平方差公式计算；若两项都相同或都相反，则用完全平方公式计算.
方法总结：求二项式的平方时，当所给二项式中两项的符号相同时，一般选用“和”的完全平方；当二项式中两项的符号相反时，一般选用“差”的完全平方.
3－1. [期中·唐山路北区]下列多项式乘法中能用完全平方公式计算的是( )A. (m－n)(－m－n)B. (m＋n)(－m＋n)C. (m－n)(－m＋n)D. (m＋2)(m－1)
3－2.计算：(1)(2y－1)2；(2)(3a＋2b)2；(3)(－x＋2y)2；(4)(－2xy－1)2.
解：原式＝4y2－4y＋1；
原式＝9a2＋12ab＋4b2；
原式＝x2－4xy＋4y2；
原式＝4x2y2＋4xy＋1.
解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展开计算即可.
解：9992＝(1 000－1)2＝1 0002－2×1 000×1＋12＝1 000 000－2 000＋1＝998 001；
解：原式＝(100＋2)2＝10 000＋400＋4＝10 404；
原式＝(100－0.2)2＝10 000－40＋0.04＝9 960.04；
1. 添括号：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号 .即：用字母表示为a＋b＋c＝a＋(b＋c)＝a－(－b－c)；a－b－c＝a－(b＋c)＝a＋(－b－c).
2. 添括号的应用：添括号在利用乘法公式计算中应用广泛，先利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，再运用乘法公式计算.
特别解读1. 添括号只是一个变形，不改变式子的值.2. 添括号时，如果括号前面是负号，括号里的各项都要改变符号，而不是只改变括号里第一项的符号.3. 添括号是否正确，可利用去括号检验.
计算：(1)(2x－y＋4)(2x＋y－4)； (2)(m－2n＋1 )(－2n－1＋m)；(3)(2a＋3b－1)(1－2a－3b)；(4)(3a－b＋c)2.
解题秘方：先通过添括号把式子转化为符合平方差公式或完全平方公式的形式，再利用乘法公式进行计算.
(1)(2x－y＋4)(2x＋y－4)； (2)(m－2n＋1 )(－2n－1＋m)；
解：(2x－y＋4)(2x＋y－4)＝[2x－(y－4)][2x＋(y－4)]＝(2x)2－(y－4)2＝4x2－y2＋8y－16；
(m－2n＋1 )(－2n－1＋m)＝[(m－2n)＋1][(m－2n)－1]＝(m－2n)2－12＝m2－4mn＋4n2－1；
应用加法的交换律和结合律
(3)(2a＋3b－1)(1－2a－3b)；
解：(2a＋3b－1)(1－2a－3b)＝(2a＋3b－1)[－(2a＋3b－1)]＝－[(2a＋3b)－1]2＝－[(2a＋3b)2－2(2a＋3b)＋12]＝－(4a2＋12ab＋9b2－4a－6b＋1)＝－4a2－12ab－9b2＋4a＋6b－1＝－4a2－9b2－12ab＋4a＋6b－1；
(4)(3a－b＋c)2.
解：(3a－b＋c)2＝[(3a－b)＋c]2＝9a2－6ab＋b2＋6ac－2bc＋c2＝9a2＋b2＋c2－6ab＋6ac－2bc.
方法总结利用乘法公式简化运算的方法：1. 既有相同的项又有互为相反数的项的两个三项式相乘，可通过变形用平方差公式计算，且相同的项为“a”，互为相反数的项为“b ”；2. 两个因式中所有的项都相同或都互为相反数，可通过变形用完全平方公式计算.
5－1. 运用乘法公式计算：(1)(a＋b－c)2；(2)(2a＋3b－1)(2a＋3b＋1).
解：原式＝[(a＋b)－c]2＝(a＋b)2－2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2－2ac－2bc＋c2；
原式＝[(2a＋3b)－1][(2a＋3b)＋1]＝(2a＋3b)2－12＝4a2＋12ab＋9b2－1.