2024-2025学年安徽省马鞍山市高一（下）期末数学试卷(含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省马鞍山市高一（下）期末数学试卷(含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足i⋅z=1−i，则|z|=( )
A. 12B. 1C. 2D. 2
2.已知向量a，b满足|a|=1，丨b丨=2，a与b的夹角为120°，则a⋅b=( )
A. 2B. 4C. −1D. 1
3.已知某圆锥的母线与底面所成的角为60°，且母线长为2，则该圆锥的表面积为( )
A. 2πB. 3πC. (2 3+3)πD. (4 3+3)π
4.为庆祝中华全国总工会成立100周年，某单位举行工会知识竞赛，进入决赛的8名选手得分如下：82，85，80，91，87，80，88，90.则这组数据的80%分位数为( )
A. 88B. 89C. 90D. 90.5
5.对空中移动的目标连续射击两次，设A={两次都击中目标}，B={两次都没击中目标}，C={恰有一次击中目标}，D={至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是( )
A. A⊆DB. A∪C=B∪DC. A∪C=DD. B∩D=⌀
6.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列结论正确的是( )
A. 若m//n，α//β，m⊥α，则n⊥βB. 若m//n，n//α，则m//α
C. 若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γD. 若m//n，m⊂α，n⊂β，则α//β
7.在2025年春晚的舞台设计中，工程师设计了一个三角形装饰灯架ABC用于悬挂灯光设备.已知灯架的两边AB=8米，AC=10米，且∠BAC=120°.为了加固结构，需从边BC的中点D到顶点A安装一条加固杆AD，则加固杆AD的长度为( )
A. 21米B. 31米C. 51米D. 61米
8.在△ABC中，CD=2DA，AE=3EB，直线BD与CE交于点M，则AM=( )
A. 23AB+13ACB. 23AB+19ACC. 89AB+19ACD. 89AB+13AC
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知z1，z2为复数，下列命题为真命题的是( )
A. 若z12∈R，则z1∈RB. 若z1∈R，则z1−∈R
C. 若z1=z2−，则z1z2∈RD. 若z12+z22=0，则z1=z2=0
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，b= 2，则B可以是( )
A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°
11.如图是一个由直三棱柱与半个圆柱拼接而成的简单组合体，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=2，AA1=3.P为该组合体曲面部分上一动点，下列结论正确的是( )
A. 存在点P，使得BP//AC1
B. 一质点从点B沿着该组合体表面运动到C1的最短路程为 4π2+9
C. 三棱锥P−ABB1体积的最大值为1+ 2
D. 当PA⊥平面A1BC时，直线PA与底面ABC所成角的正切值为 23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量a=(t−1,2−t)，b=(3,−2)，若a//b，则t=______．
13.甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是12，13，则该密码被成功破译的概率为 ．
14.如图，等腰三角形ABC的底边BC=2，将△ABC绕顶点A旋转θ角后得到△ADE，且CD=2，分别沿着AC，AD将△ABC，△ADE折起，使得B，E重合于点P，得到三棱锥P−ACD，若三棱锥P−ACD外接球的半径为43，则△ABC的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
某校对高一年级的学生进行了一次测试.整理参加此次测试的学生的分数得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求m的值；
(2)从分数在[65,85)内的学生中抽取15人，求分数在[75,85)内被抽取到的学生人数；
(3)估计此次测试分数的平均值x−(同组数据以这组数据的中间值作为代表)．
16.(本小题12分)
如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB//CD，DC⊥AD，且CD= 2AB= 2AD，点M为棱DD1的中点，点N为棱BC的中点．
(1)证明：DN//平面MB1C；
(2)证明：平面MB1C⊥平面BB1C1C.
17.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bcsC=2a−c．
(1)求B；
(2)若b= 3，且sinAsinC=15，求1a+1c．
18.(本小题12分)
甲、乙、丙三人相约下围棋，共下4局，规则如下：每局由两人上场对弈，第三人轮空，一局结束后，原轮空者上场与胜者对弈下一局，败者轮空，按此规则循环下去.第一局由三人中随机选择两人进行对弈．
(1)求第一局由乙、丙两人进行对弈的概率；
(2)若甲、乙、丙三人每局对弈中战胜对手的概率均为12，每局对弈相互独立且没有平局，第一局由乙、丙两人进行对弈．
(ⅰ)丙提出用掷骰子来决定谁先落子：连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记骰子朝上的点数分别为a和b，若|a−b|≤1，则由乙先落子，否则由丙先落子.请你运用所学知识判断这个方法公平吗？说明理由；
(ⅱ)求在4局对弈中甲轮空2局的概率．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AB⊥AD，且PA=AC=2，E为棱PC的中点，F在棱PD上，且AF⊥PD．
(1)求证：AF⊥PC；
(2)记平面AEF∩底面ABCD=l，求二面角E−l−C的大小；
(3)当异面直线AB与EF所成角为30°时，求三棱锥P−AEF的体积．
参考答案
1.C
2.C
3.B
4.C
5.B
6.A
7.A
8.B
9.BC
10.ABC
11.ACD
12.4
13.23
14. 393或 73
15.(1)由(0.006+0.014+0.020+m+0.036)×10=1，解得m=0.024．
(2)分数在[65,75)与[75,85)内的频率之比为2：3，
故[75,85)被抽到的人数为15×35=9．
(3)估计此次测试分数的平均值为x−=(50×0.006+60×0.014+70×0.024+80×0.036+90×0.020)×10=75．
16.证明：(1)在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB//CD，DC⊥AD，且CD= 2AB= 2AD，
点M为棱DD1的中点，点N为棱BC的中点，
取B1C中点为P，连接MP和PN，
则PN=12BB1，PN//BB1，
∵点M为DD1的中点，∴MD=12BB1，MD//BB1，
∴MD//PN，MD=PN，∴四边形MDNP为平行四边形，
∴DN//PM，∵DN⊄平面MB1C，PM⊂平面MB1C，
∴DN//平面MB1C.
(2)连接DB，由AB//CD，DC⊥AD，得AB⊥AD，
又CD= 2AB= 2AD，则DB=DC，
∵点N为BC的中点，∴DN⊥BC，
又BB1⊥平面ABCD，DN⊂平面ABCD，∴BB1⊥DN，
又BB1∩BC=B，BC，BB1⊂平面BB1C1C，∴DN⊥平面BB1C1C，
由(1)知DN//PM，∴PM⊥平面BB1C1C，
∵PM⊂平面MB1C，∴平面MB1C⊥平面BB1C1C.
17.(1)由2bcsC=2a−c，根据正弦定理得2sinBcsC=2sinA−sinC，
在△ABC中，sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
所以2sinBcsC=2sinBcsC+2csBsinC−sinC，化简得2csBsinC−sinC=0，
因为在△ABC中，sinC>0，
所以2csB−1=0，即csB=12，结合B∈(0,π)，可得B=π3；
(2)由正弦定理得asinA=csinC=bsinB= 3 32=2，可得sinA=a2，sinC=c2，
所以sinAsinC=ac4=15，解得ac=45，
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB=(a+c)2−2ac−2accsB，
即3=(a+c)2−85−45，解得a+c=3 155(舍负)，所以1a+1c=a+cac=3 154．
18.(1)首局所有对弈情况为：
(甲、乙)，(甲、丙)，(乙、丙)，
所以由乙、丙两人进行对弈的概率为13；
(2)(i)由已知样本空间Ω={(m,n)|m，n∈{1,2,3,4,5,6}}共有36个样本点，
设A={(a,b)||a−b|≤1}，则A中所有的样本点为：
(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(2,1)，
(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)，(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)(5,5)，(6,6)，
共有16个样本点，故乙先落子的概率为：P(A)=n(A)n(Ω)=1636=49≠12，
所以这个方法不公平；
(ii)轮空情况如下表所示：
其中甲轮空2局的可能有6种，所以在四局比赛中甲轮空2局的概率为68=34．
19.(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD，
因为底面ABCD为矩形，所以AD⊥CD，
又PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，因为AF⊂平面PAD，
所以CD⊥AF，
又AF⊥PD，PD，CD⊂平面PCD，
所以AF⊥平面PCD，
因为PC⊂平面PCD，所以AF⊥PC．
(2)因为PA=AC，E为棱PC的中点，所以AE⊥PC，
由(1)AF⊥PC，易得PC⊥平面AEF，
因为EF⊂平面AEF，所以PC⊥EF，
延长EF与CD交于点G，则l即AG，
又AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG，
又PA⊥AG，PC，PA⊂平面PAC，
所以AG⊥平面PAC，
所以∠EAC即二面角E−l−C的平面角，大小为45°．
(3)AB与EF所成角即CD与EF所成角，即∠EGC，则∠EGC=30°，
由(2)PC⊥EF，所以∠PCD=60°，
所以CD=12PC= 2，则AD= 2，PD= 6，
由AF⋅PD=PA⋅AD，
得AF=2 33，
又AE=12PC=12 PA2+AC2=12 22+22= 2，
所以EF= AE2−AF2= ( 2)2−(2 33)2= 63，
则VP−AEF=13S△AEF⋅PE=13×12×2 33× 63× 2=29．第一局
第二局
第三局
第四局
甲
乙
甲
乙
丙
丙
甲
乙
丙
甲
乙
丙
乙
甲
丙