安徽省马鞍山市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份安徽省马鞍山市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

安徽省马鞍山市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、复数（其中i为虚数单位）的虚部为( )
A.1 B.－1 C.i D.
2、( )
A. B. C. D.
3、下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A.， B.，
C.， D.，
4、通过抽样调查得到某栋居民楼12户居民的月均用水量数量（单位：吨），如下表格：
4.1
3.2
4.2
5.6
4.3
5.0
6.3
6.2
3.5
3.9
4.5
5.2
则这12户居民的月均用水量的第75百分位数为( )
A.5.0 B.5.2 C.5.4 D.5.6
5、已知，是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则下列命题为真命题的是( )
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，且，则
D.若，，且，则
6、将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则( )
A. B.
C. D.
7、正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，BE与AF交于点G．则( )
A. B.
C. D.
8、在直三棱柱中，，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、若复数z满足（i为虚数单位），则( )
A. B. C. D.
10、已知函数的部分图象，则( )

A.
B.
C.点是图象的一个对称中心
D.的图象向左平移个单位后所对应的函数为偶函数
11、在中，下列说法正确的是( )
A.若，则
B.若，则为锐角三角形
C.若，则为钝角三角形
D.存在满足
12、在正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，G为线段上的动点，过E，F，G作正方体的截面记为，则( )

A.当截面为正六边形时，G为中点
B.当时，截面为五边形
C.截面可能是等腰梯形
D.截面不可能与直线垂直
三、填空题
13、已知向量，，且，则______.
14、已知某圆锥的侧面积为，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为____________．
15、计算：__________．
16、已知是钝角三角形，角A，B，C的对边依次是a，b，c，且，，则边c的取值范围是____________．
四、解答题
17、某小学对在校学生开展防震减灾教育，进行一段时间的展板学习和网络学习后，学校对全校学生进行问卷测试（满分100分）．现随机抽取了部分学生的答卷，得分的频数统计表和对应的频率分布直方图如图所示：

得分




人数
6
a
24
18
（1）求a，b的值，并估计全校学生得分的平均数；
（2）根据频率分布直方图，估计样本数据的和分位数．
18、在中，角A，B，C的对边依次是a，b，c.若.
（1）求角C；
（2）当，时，求的面积.
19、如图所示，在直三棱柱中，，D，E分别为棱AB，的中点.

（1）证明：平面；
（2）求BE与平面所成角的正弦值.
20、在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.
（1）若的面积为3，求的值；
（2）设，，且，求的值.
21、已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若关于x的方程在区间上恰有一解，求实数m的取值范围.
22、如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长2的正方形，侧面PAD为等腰三角形，，侧面底面ABCD．

（1）在线段PD上是否存在一点E，使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
（2）求二面角的余弦值．
参考答案
1、答案：A
解析：因为，所以复数z的虚部为1.故选：A
2、答案：D
解析：．故选：D．
3、答案：C
解析：对于A，，不可以作为基底，A错误；
对于B，，，共线，不可以作为基底，B错误；
对于C，与为不共线的非零向量，可以作为一组基底，C正确；
对于D，，，共线，不可以作为基底，D错误.
故选：B.
4、答案：C
解析：依题意，居民的月均用水量由小到大排列为：3.2，3.5，3.9，4.1，4.2，4.3，4.5，5.0，5.2，5.6，6.2，6.3，而，可知第75百分位数为第,9项和第10项数据的平均数，所以这12户居民的月均用水量的第75百分位数为5.4.故选：C
5、答案：D
解析：
对于A项，m，n可能相交，如图所示正方体中，若m，n分别为直线AB,BC，为平面，此时符合条件，但结论不成立，故A错误；
对于B项，有的可能，如图所示正方体中，若m，n分别为直线AB，，为平面，此时符合条件，但结论不成立，故B错误；
对于C项，如图所示正方体中，若m，n分别为直线，为平面，为平面ABCD，此时符合条件，但结论不成立，故C错误；
对于D项，因为，又，所以，故D正确；
故选：D
6、答案：B
解析：由题意知，将函数的图象上各点的横坐标
缩短到原来的倍（纵坐标不变），就可得函数的图象，
所以.故选：B
7、答案：A
解析：如图，以A为原点，分别以AB,AD所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为2，则,,,,,，
所以,,，，
因为A,G,F三点共线，所以存在唯一实数，使，
所以，
因为B,G,E三点共线，所以存在唯一实数k，使，
所以，所以，解得，
所以，
设，则，
所以，，
所以，
故选：A

8、答案：C
解析：三棱柱的侧棱垂直于底面，
，，，
可将棱柱补成长方体，且长方体的长宽高分别为4,4,6.
长方体的对角线，即为球的直径.
球的半径，
球的表面积为.故选：C．
9、答案：BD
解析：因为，所以，
对于A项，，故A项错误；
对于B项，，故B项正确；
对于C项，，故C项错误；
对于D项，，故D项正确.故选：BD.
10、答案：ACD
解析：A选项，由图象可得到函数最小正周期，故，因为，所以，解得，A正确；
B选项，将代入解析式得，因为，解得，B错误；
C选项，，故，故点是图象的一个对称中心，C正确；
D选项，的图象向左平移个单位后得到，因为的定义域为R，且，故为偶函数，D正确.故选：ACD
11、答案：AC
解析：对于A，因为，所以由正弦定理得，所以由大边对大角可得，所以A正确，
对于B，因为，所以由正弦定理得，所以由余弦定理得，因为，所以A为锐角，因为，所以B，C中有可能有钝角，或直角，所以不一定是锐角三角形，所以B错误，
对于C，因为，所以，且角A为锐角，当角B锐角时，则，所以，所以角C为钝角，当角B为钝角时，则，所以，则，此式成立，综上，为钝角三角形，所以C正确，
对于D，若，则，
因为A，，在上递减，
所以，所以，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以不存在满足，所以D错误，故选：AC
12、答案：AC
解析：若G为中点，如图：

延长EF交DC于，交DC于，延长交于T，取的中点S，连接交于，
连接AC，，因为E为AB的中点，F为BC的中点，所以，
又，，所以，
所以T为的中点，所以，
又，所以，同理，则，
所以S,T,G,F,E,P共面，此时正六边形STGFEP为截面，符合题意，故A正确；
因为四边形ABCD为正方形，则，
而平面ABCD，平面ABCD，即有，
又，BD，平面，
则平面，而平面，因此，
同理平面，又平面，则有，
又，，所以，，EF,FG为相交直线且在内，所以，故当G为线段上的中点时，截面与直线垂直，故D错误；
如图：

延长EF交AD于，交DC于，连接交于G，连接交于M，
此时截面为五边形，因为，所以，
所以，即，
当时，截面为五边形，当时，截面为六边形，
当时，截面为四边形，所以当时，截面为五边形，故B错误；
当G与重合时，如图：

连接，，，则，且，
又，所以四边形为等腰梯形，即截面是等腰梯形，故C正确；
综上，正确的选项为AC.
故选：AC
13、答案：
解析：因为，，且，
所以，即，解得.
故答案为：
14、答案：
解析：某圆锥的侧面积为，其侧面展开图是半圆，设半圆的半径为r，
所以，所以，因为半径即为圆锥母线长，
设圆锥底面圆半径为R，则，
底面半径，
所以圆锥的高为，
故圆锥的体积为．
故答案为：．
15、答案：
解析：由，可得，所以，故答案为.
16、答案：
解析：当角C为最大角时，由题意，，
即，解得，又三角形两边和大于第三边，故，故；
当角C不是最大角时，则角B为最大角，由题意，，
即，解得，又三角形两边差小于第三边，故，故；所以边c的取值范围是.
故答案为：
17、答案：（1），，
（2）；．
解析：（1）由频率分布直方图可知，
得分在的频率为，
故抽取的学生答卷数为，
由，得．
所以，
得分的平均数估计值为：
．
（2）由图可知，内的比例为，
内的比例为，内的比例为，
内的比例为．
因此，分位数一定位于．
由，
可以估计样本数据的分位数为45．
类似的，由，
可以估计样本数据的分位数为90．
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
由正弦定理得，即，
所以，又，所以；
（2）由题意，又，所以，
由正弦定理：得，
又，
所以的面积.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接，取中点为点G，连接EG,DG，
因为G，D分别为，AB的中点，所以且，
又E为中点，所以且，
所以且，则四边形DGEC为平行四边形，
所以，又平面，平面，则平面.
（2）连接BG，BE，

因为，D为AB中点，则，
又直三棱柱，面，则，
又，又面，面，所以面，
由（1）知，，所以面，则BE与平面所成角为，因为，所以，，
所以，则BE与平面所成角的正弦值为.
20、答案：（1）；
（2）.
解析：（1），，则，
的面积为，.
因此，；
（2），，且，所以，，即，.
，.
，，因此，.
21、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为

，由，得，，
所以函数的递增区间为；
（2）因为，所以，
而在上单调递减，在上单调递增，
而，，，
如图作出函数，的图象：

又方程在区间上恰有一解，
所以的图象与直线在区间上有一个交点，
所以或，解得或
即m的取值范围为.
22、答案：（1）存在，
（2）．
解析：（1）
存在点E满足条件，且
证明：因为底面ABCD为正方形，所以，
因为侧面底面，侧面底面，平面ABCD，
所以平面PAD，
因为平面PAD，
所以，
而，平面PCD，平面PCD，
要使，则必有平面PCD，
因为平面PCD，
所以
在等腰三角形PAD中，，，计算可得，，所以，所以．
（2）作AD的中点O，连接PO．
因为，所以．
取BC的中点F，连接PF,OF,
因为，，
所以，
因为，，PO，平面POF，
所以平面POF，
因为平面POF，所以，
所以是所求二面角的平面角．
因为为等腰三角形，且，底面ABCD为边长为2的正方形，所以，．
因为，侧面底面ABCD，侧面底面，平面PAD，
所以底面ABCD，
因为底面ABCD，
所以，
在中，，
所以．
所以
故二面角的余弦值．