2024-2025学年北京市大兴区高二下学期期末数学试题（含解析）

这是一份2024-2025学年北京市大兴区高二下学期期末数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共10小题，共40分。
1.在x+1x5的展开式中，x的系数为( )
A. −20B. 20C. −10D. 10
2.设函数fx=ax−1，f′1=2，则实数a=( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
3.已知随机变量X服从二项分布，X∼B3,13，则X的数学期望是( )
A. 13B. 1C. 2D. 53
4.已知函数fx=x3+x2+mx在定义域上不是单调函数，则实数m不可能是( )
A. 0B. −1C. 1D. −2
5.设等比数列an的公比q≠1，其前n项和为Sn，则下列等式中一定成立的是( )
A. S1+S3=2S2B. 3S1+S3=2S2
C. S22=S1S3D. S2S2−S1=S1S3−S1
6.给定一组正整数：a1,a2,a3,a4,a5，则“这5个数依次成等差数列”是“这5个数的平均数和中位数均为a3”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.设0N0时，an>aN0，则an为递增数列”是假命题的一组a1，q的值为a1= ，q= ．
15.关于函数fx=sin2x−lnx+1，给出下列四个结论：
①fx的值域是−∞,+∞；②fx在区间0,π6上单调递增；
③0是fx的一个极值点；④曲线y=fx与x轴有且仅有3个交点．
其中所有正确结论的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知无穷等比数列an的各项都是正数，a1=1，a2a4=16．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设无穷数列{bn的前n项和为Sn，b1=2，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使数列bn唯一确定，求数列an−bn的前n项和Tn．
条件①：bn+1−bn=2，n∈N∗；
条件②：Sn=n2+n，n∈N∗；
条件③：2bn+1=bn+bn+2，n∈N∗．
注：如果选择的条件不符合要求，此题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分
17.已知袋中装有3个红球和2个黄球，这5个球除颜色外完全相同，现从该袋中不放回地随机摸出2个球．
(1)在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率；
(2)设X表示摸出红球的个数，求X的分布列及数学期望E(X)；
(3)若摸出1个红球得2分，摸出1个黄球得0分，直接写出摸出2球得分的数学期望．
18.已知函数fx=x3−3x2+x．
(1)求曲线y=fx的斜率为1的切线方程；
(2)当x∈0,3时，求证：−4≤fx−x≤0；
(3)设P是曲线y=fx上的动点，P在何处时，曲线y=fx在P处的切线斜率最小？(结论不要求证明)
19.为了解某地中学生使用M、N两款大语言模型辅助日常学习的情况，对该地的80名初中生和120名高中生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
假设所有学生对M、N两款模型是否使用互相独立．用频率估计概率．
(1)从该地全体中学生中随机抽取1人，估计此人使用M款模型的概率P；
(2)从该地全体初中生中随机抽取1人，全体高中生中随机抽取2人，记这3人中使用N款模型的人数为X，估计X的分布列；
(3)假设该地某校初中生和高中生人数比为3:1，从该校全体中学生中随机抽取1人，记其使用M款模型的概率估计值为P1，比较P1与(1)中P的大小．(结论不要求证明)
20.已知函数fx=xex．
(1)求fx的单调区间；
(2)设函数gx=x−2fx+2ex−kx2，函数gx在x=0处取得极小值．
(ⅰ)求实数k的取值范围；
(ⅱ)是否存在x0≠0，使得g−x0=gx0成立？说明理由．
21.若有穷数列Q:a1，a2，⋯，ak满足如下三个性质，则称Q为k−数列：①项数k≥3；②a1≥0，am+1>amm=1,2,⋯,k−1；③令集合M=a1,a2,⋯,ak，对∀i，j1≤i≤j≤k，aj−ai∈M或ai+aj∈M．
(1)判断数列0，2，4，6是否是4−数列，并说明理由；
(2)若Q:a1，a2，⋯，ak为k−数列，求证：对∀s，∃t满足ak=at+as1≤s,t≤k；
(3)已知Q:a1，a2，⋯，ak为k−数列，求证：当k≥5时，Q是等差数列．
答案解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据二项式定理性质计算即可．
【详解】由题可知：C52x31x2=10x．
故选：D
2.【答案】C
【解析】【分析】求函数fx=ax−1的导函数，再求f′1，根据由条件列方程求a即可．
【详解】因为fx=ax−1，所以f′x=−ax−2，
所以f′1=−a，又f′1=2，
所以−a=2，
所以a=−2，
故选：C．
3.【答案】B
【解析】【分析】根据二项分布期望公式求X的数学期望即可．
【详解】因为X∼B3,13，
所以X的数学期望EX=3×13=1，
故选：B．
4.【答案】C
【解析】【分析】先求导根据原函数的单调性确定导函数的正负情况结合二次函数图象的性质确定Δ>0即可求出m的取值范围．
【详解】对函数求导得：f′x=(x3+x2+mx)′=3x2+2x+m，
因为函数fx=x3+x2+mx在定义域上不是单调函数，所以导函数的函数值既有正值又有负值，
故Δ>0，即22−4×3⋅m>0，所以m2an+1⇒an+2−an+1>an+1−an，
则am=2025=am−am−1+am−1−am−2+am−2−am−3+...+a2−a1+a1，
因为am−am−1>am−1−am−2>am−2−am−3>...>a2−a1=1，且an∈Z，
所以2025>m−1+m−2+..+2+1+1=1+m−1m−12+1⇒mm−1N0时，an>aN0，但an不是递增数列”．
【详解】要说明该命题为假命题，需要找到反例，即找一组a1，q，使存在正整数N0，满足n>N0时，an>aN0，但an不是递增数列，
取a1=−1,q=−12，则等比数列通项公式为an=a1qn−1=−1×−12n−1=−−12n−1，
验证条件：由通项公式可得，a2=12，a3=−14，a4=18，⋯，
可以发现当N0=1时，n≥2，即a2=12>a1=−1，∴满足存在正整数N0，当n>N0时，an>aN0，
递增数列要求对任意的n，都有an+1>an，
a1=−1,a2=12，a2>a1，满足条件，
但a2=12,a3=−14，a30，lnx+1∈R，sin2x∈−1,1，
故fx=sin2x−lnx+1∈R，即函数fx的值域为−∞,+∞，①对；
对于②，当x∈0,π6时，2x∈0,π3，则cs2x∈12,1，所以2cs2x∈1,2，
此时f′x=2cs2x−1x+1>2cs2x−1>0，
故函数fx在区间0,π6上单调递增，②对；
对于③，因为f′0=2cs0−1=1且函数fx是可导函数，
故0不是fx的一个极值点，③错；
对于④，当x∈−1,0时，2x∈−2,0，则函数y=2cs2x、y=−1x+1在−1,0上均为增函数，
故函数f′x在−1,0上为增函数，
因为f′−12=2cs−1−2=2cs1−20，
故存在m∈−1,0，使得f′m=0，
且当x∈−1,m时，f′x0，即函数fx在m,0上单调递增，故fm0，
故存在x1∈−π4,m，使得fx1=0，
作出函数y=sin2x与y=1x+1的图象如下图所示：
由图可知，函数y=1x+1与函数y=2cs2x在0,3π4上的图象有且只有一个交点，
且交点的横坐标为n，
由图可知，当00，
即函数fx在0,n上单调递增，
当n