北京市大兴区2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份北京市大兴区2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若Δx→0limf(1+Δx)−f(1)Δx=2，则f′(1)=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
2.已知等比数列{an}满足a1=1，a5=4，则a2a3a4=( )
A. −8B. −16C. 8D. 16
3.已知数列{an}满足a1=1，an=an−1+n(n≥2)，则a4=( )
A. 5B. 10C. 11D. 12
4.若函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极小值点是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
5.已知数列{an}的前n项和Sn=n2，则{an}是( )
A. 公差为2的等差数列B. 公差为3的等差数列
C. 公比为2的等比数列D. 公比为3的等比数列
6.设{an}为等比数列，则“存在i>j>k，使得ai>aj>ak”是“{an}为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.设f(x)=x3−3x+a有唯一零点，则a的取值范围是( )
A. (−2,2)B. (−∞,−2)∪(2,+∞)
C. (2,+∞)D. (−∞,−2)
8.若a1，a2，a3，a4，a5是等差数列，1和3为此等差数列中的两项，则a5的值不可能是( )
A. 4B. 0C. −3D. −6
9.设曲线f(x)=x2−1(x>0)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，则当S(t)取得最小值时，t的值为( )
A. 33B. 12C. 2D. 3
10.在下列不等式中，当k≥1时，关于x的不等式对任意的x∈(0,+∞)不能恒成立的是( )
A. kx>sinxB. kx>x−x3C. kx>1−e−xD. kx>x−1ln(ex)
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.数列{an}满足an+2=an+1+an，且a1=a2=1，则a5= ______．
12.将原油精炼为汽油、柴油等各种产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第xh时，原油的温度(单位：℃)为f(x)=x2−7x+15(0≤x≤8)，则第3h时，原油温度的瞬时变化率为______℃/h，此原油温度瞬时变化率的意义是______．
13.已知a1，a2，a3是公比不为1的等比数列，将a1，a2，a3调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组a1，a2，a3的值依次为______．
14.已知函数f(x)=x−aex(a∈R).当a=0时，f′(x)= ______；若曲线y=f(x)有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______．
15.已知函数f(x)=x−1,01.数列{an}满足a1>0，当n≥2时，an=f(an−1).给出下列四个结论：
①若a1= 2，则a2=a5；
②若a3=2，则a1可能有4个不同的取值；
③对于任意的a1>2，不一定存在正整数m，使得∀n∈N*，an+m=an；
④对于任意的正整数m≥2，一定存在实数a1>1，使得∀n∈N*，an+m=an．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知函数f(x)=x3+3x2．
(Ⅰ)求f(x)在区间[−2,1]上的最值；
(Ⅱ)在直角坐标系内，画出f(x)的大致图象；
(Ⅲ)直接写出一个a值，使f(x)在区间(a,a+5)上存在最大值．
17.(本小题14分)
已知等差数列{an}满足a2+a4=10，a4−a3=−2．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn的最大值；
(Ⅲ)若等比数列{bn}满足b2=a4，b3=a6，问：{bn}是否存在最大值与最小值？说明理由．
18.(本小题14分)
已知无穷数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，令bn=an+1．
(Ⅰ)求b1，b2的值；
(Ⅱ)证明：数列{bn}是等比数列，写出数列{bn}的通项公式；
(Ⅲ)记数列{an}的前n项和为Sn，求Sn，并判断数列：S1，S2，S3，…，Sn，…的单调性．
19.(本小题14分)
已知函数f(x)=(x2−a)ex．
(Ⅰ)若f′(0)=1，求a的值；
(Ⅱ)设a∈R，讨论函数f(x)的极值点个数；
(Ⅲ)若f(x)在区间(1,2)上存在极值，求实数a的取值范围．
20.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx．
(Ⅰ)设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l．
(i)求切线l的方程；
(ii)证明：除切点外，曲线y=f(x)在切线l的下方；
(Ⅱ)设m>0，令函数g(x)=f(x)−f(m)x−m，求函数g(x)的单调区间．
21.(本小题15分)
给定项数为n(n≥3)的数列{xn}，若数列{xn}满足|xm+1−xm|≤|xm+1−xm+2|(m=1,2,…,n−2)，则称数列{xn}具有性质P，定义ak=|xk+1−xk|(k=1,2,…,n−1)．
(Ⅰ)判断数列1，2，4，6是否具有性质P，并说明理由；
(Ⅱ)若数列{xn}具有性质P，求证：{xn}为等差数列的必要不充分条件是{an}为常数列；
(Ⅲ)已知数列{xn}共有n项，各项互不相等，对于∀i≤n(i∈N*)，xi∈{1,2,3,…,n}，若{xn}具有性质P，记Sn−1=a1+a2+…+an−1，且Sn−1=n+2，求n的所有取值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为Δx→0limf(1+Δx)−f(1)Δx=f′(1)，
所以f′(1)=2．
故选：D．
利用导数的概念求解．
本题主要考查了导数的概念，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：等比数列{an}满足a1=1，a5=4，则q4=4，即q2=2，
a2a3a4=a13q6=8．
故选：C．
由已知结合等比数列的性质即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为数列{an}满足a1=1，an=an−1+n(n≥2)，
则a2=a1+2=3，
a3=a2+3=6，
a4=a3+4=10．
故选：B．
直接代入求解即可．
本题主要考查数列递推关系式的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：根据图象易知：当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(0,2)时，f′(x)0，f(x)单调递增，
所以x=2为f(x)的极小值点．
故选：D．
结合导函数图象判断即可．
本题考查极小值点的性质，属于简单题．
5.【答案】A
【解析】解：由Sn=n2，得Sn−1=(n−1)2=n2−2n+1(n≥2)，
所以an=Sn−Sn−1=2n−1(n≥2)，
又当n=1时a1=S1=1，满足上式，
所以an=2n−1(n∈N*)，
所以an+1−an=2(n+1)−1−(2n−1)=2，
所以{an}以2为公差的等差数列，
故选：A．
利用an=Sn−Sn−1可求得an=2n−1，从而发现an+1−an=2是一个常数，即{an}以2为公差的等差数列．
本题考查数列前n项和作差法求数列的通项公式，涉及等差数列的定义，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：若an=(−2)n，则存在i=6，j=4，k=2，满足“存在i>j>k，使得ai>aj>ak”，
但{an}为摆动数列，不为递增数列，故充分性不成立；
若{an}为递增数列，则由递增数列的定义可知，一定满足“存在i>j>k，使得ai>aj>ak”，
所以必要性成立，
所以“存在i>j>k，使得ai>aj>ak”是“{an}为递增数列”的必要不充分条件．
故选：B．
根据等比数列的性质以及递增数列的定义可进行判断．
本题主要考查等比数列的性质以及充分必要条件的判断，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由f′(x)=3x2−3=0，
解得x=1或x=−1，
当x∈(−1,1)时，f′(x)0，f(x)在(−∞,−1)、(1,+∞)上单调递增，
故当x=1时，f(x)取极小值−2+a，当x=−1时，f(x)取极大值2+a，
又f(x)=x3−3x+a有唯一的零点，
所以−2+a>02+a>0或−2+a0)在点(t,f(t))处的切线为：
y−(t2−1)=2t(x−t)，即2tx−y−t2−1=0，t>0，
令x=0，可得y=−t2−1；令y=0，可得x=12(t+1t)，
所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)=12×(t2+1)×12(t+1t)，t>0，
所以S(t)=14(t3+2t+1t)，t>0，
所以S′(t)=(t2+1)( 3t+1)( 3t−1)4t2，t>0，
所以当t∈(0, 33)时，S′(t)0，S(t)单调递增，
所以当t= 33时，S(t)取得最小值．
故选：A．
根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，根据函数模型，利用导数即可求解．
本题考查函数的切线问题的求解，函数思想，属中档题．
10.【答案】D
【解析】解：对于A，设f(x)=kx−sinx，x∈(0,+∞)，则f′(x)=k−sinx，
因为k≥1，所以f′(x)=k−sinx≥0恒成立，则f(x)在x∈(0,+∞)上递增，
所以f(x)>f(0)=0，故kx>sinx对任意的x∈(0,+∞)恒成立，排除A；
对于B，当k=1时，x−(x−x3)=x3>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，即x>x−x3，
所以当k≥1时，kx≥x>x−x3对任意的x∈(0,+∞)恒成立，排除B；
对于C，当k≥1时，设g(x)=kx−1+e−x，x∈(0,+∞)，g′(x)=k−e−x在x∈(0,+∞)上递增，
所以g′(x)>g′(0)=k−1≥0恒成立，则g(x)在x∈(0,+∞)上递增，所以g(x)>g(0)=0，
即kx>1−e−x对任意的x∈(0,+∞)恒成立，排除C；
对于D，k=1时，设h(x)=x2−ln(ex)=x2−lnx−1，x∈(0,+∞)，
h′(x)=2x−1x=2x2−1x，x∈(0,+∞)，
当x∈(0, 22)时，h′(x)0，h(x)递增，
h( 22)=12−ln 22−1=−12+12ln2=12(ln2−1)ln(ex)任意的x∈(0,+∞)不恒成立，即x>x−1ln(ex)对任意的x∈(0,+∞)不恒成立．
故选：D．
对各选项不等式进行移项构造函数，利用导数判断其单调性，从而得到是否符合题意．
本题主要考查导数的综合应用和不等式恒成立问题，属于中档题．
11.【答案】5
【解析】解：数列{an}满足an+2=an+1+an，且a1=a2=1，
则a3=a2+a1=2，
a4=a3+a2=3，
a5=a4+a3=5．
故答案为：5．
直接代入求解即可．
本题主要考查数列递推关系式的应用，属于基础题．
12.【答案】−1 第3h附近，原油温度大约以1℃/h的速率下降
【解析】解：因为f(x)=x2−7x+15，
所以f′(x)=2x−7，则f′(3)=−1，即第3h附近，原油温度大约以1℃/h的速率下降．
故答案为：−1；第3h附近，原油温度大约以1℃/h的速率下降．
由已知结合瞬时变化率的定义即可求解．
本题主要考查了瞬时变化率的求解，属于基础题．
13.【答案】1，−2，4(答案不唯一)
【解析】解：因为a1，a2，a3是公比不为1的等比数列，
设这三个数分别为a，aq，aq2，
将a1，a2，a3调整顺序后可构成一个等差数列，
考虑其中一种情况，比如：aq，a，aq2成等差数列，
则2a=aq+aq2，
因为q≠1，
解得q=−2，
则符合题意的一组数据为1，−2，4(答案不唯一)．
故答案为：1，−2，4(答案不唯一)．
由已知结合等差数列与等比数列的性质即可求解．
本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用，属于基础题．
14.【答案】1−xex (−∞,−4)∪(0,+∞)
【解析】解：因为函数f(x)=x−aex(a∈R)，
所以f′(x)=a+1−xex，
当a=0时，f′(x)=1−xex；
设过(0,0)的切线切曲线y=f(x)于点(t,t−aet)，
则切线方程为y−t−aet=a+1−tet(x−t)，又其过(0,0)，
所以−t−aet=a+1−tet(−t)，
所以t2−at−a=0，又根据题意可知该方程有2解，
所以Δ=a2+4a>0，解得a∈(−∞,−4)∪(0,+∞)．
故答案为：1−xex；(−∞,−4)∪(0,+∞)．
根据导数的几何意义，一元二次方程有解建立不等式，即可求解．
本题考查导数的几何意义的应用，函数的切线问题的求解，属中档题．
15.【答案】①③④
【解析】解：①若a1= 2，则a2=f(a1)= 2−1，a3=f(a2)=1 2−1= 2+1，a4=f(a3)= 2，a5=f(a4)= 2−1，
所以a2=a5，①正确；
②f(x)=1x,01，所以an+1=1an,01，若a3=2，
当a2>l时，a2−1=a3=2，解得a2=3．
当a1=m>1时，则a1−1=a2=3，解得a1=4，当a1=m0，f(x)单调递增；
在(−1− 1+a,−1+ 1+a)上，f′(x)